張 飛，劉海龍

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離散交易框架下TIPP策略收益保證的定價研究

張 飛，劉海龍

（上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200052）

TIPP策略是收益保證類金融產(chǎn)品所采用的主要交易策略之一。文章分別采用幾何布朗運(yùn)動與有限跳躍Levy過程來刻畫風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程，并對離散交易框架下的TIPP策略收益保證進(jìn)行定價。由于TIPP策略下投資組合市值過程的復(fù)雜性，文章無法得到收益保證的解析定價公式。文章給出了離散交易框架下TIPP策略的一個特例下的封閉定價公式。數(shù)值分析的結(jié)果表明：離散交易條件下，(1)無論是否存在價格跳躍及借款限制，TIPP策略收益保證均存在缺口風(fēng)險，收益保證的價格大于0；(2)與傳統(tǒng)連續(xù)價格路徑情形相比，價格跳躍條件下TIPP策略收益保證價格更高；(3)TIPP策略收益保證的價格與策略乘數(shù)、收益保證水平、杠桿比率以及調(diào)整周期正相關(guān)，與價值底線百分比負(fù)相關(guān)；(4)借款限制會降低TIPP策略收益保證的價格，且該效應(yīng)隨著策略乘數(shù)、收益保證水平、杠桿比率以及調(diào)整周期的增加而增強(qiáng)，隨著價值底線百分比的上升而減弱。

離散交易；TIPP策略；有限跳躍Levy過程；收益保證；缺口風(fēng)險

0 引言

固定比例投資組合保險(constant proportion portfolio insurance, CPPI)策略是一種動態(tài)投資組合管理技術(shù)，該技術(shù)旨在對投資組合進(jìn)行保護(hù)并使得投資者能夠在上升市場行情中的獲取部分收益①CPPI由Perold[1]針對固定收益市場提出，Black和Jones[2]與Black和Perold[3]將其擴(kuò)展到權(quán)益市場。由于CPPI策略為投資者實(shí)現(xiàn)既定保值目標(biāo)提供了易于操作的工具而為廣大投資者尤其是機(jī)構(gòu)投資者所青睞。CPPI策略廣泛應(yīng)用于收益保證類金融產(chǎn)品市場。盡管CPPI策略具有簡單、可控以及富有靈活性等優(yōu)點(diǎn)，該策略只能對本金進(jìn)行保護(hù)，而未能對投資期內(nèi)的收益進(jìn)行保護(hù)。針對CPPI策略的不足，Estep和Kritzman[4]建議應(yīng)該在市場處于上升行情中提高策略價值底線(floor)以便對投資期間的收益進(jìn)行保護(hù)，并提出了時間不變投資組合保護(hù)(time-invariant portfolio protection, TIPP)策略。假定市場資產(chǎn)價格是連續(xù)變化的且可以無成本地連續(xù)交易，運(yùn)用CPPI策略與TIPP策略對投資組合進(jìn)行保護(hù)，不會出現(xiàn)到期不能兌現(xiàn)收益保證承諾的情形：即不存在缺口風(fēng)險(gap risk)。 但當(dāng)資產(chǎn)價格出現(xiàn)非連續(xù)變化(跳躍)或由于流動性、交易成本等因素而不能連續(xù)交易時，運(yùn)用以上兩種策略可能會面臨缺口風(fēng)險[3-6]。當(dāng)出現(xiàn)缺口風(fēng)險時，運(yùn)用CPPI策略與TIPP策略的收益保證類金融產(chǎn)品的發(fā)行與管理機(jī)構(gòu)會請第三方進(jìn)行擔(dān)?；蛳虻谌劫徺I保險。如何確定一個合適的擔(dān)保費(fèi)用(率)或保險費(fèi)用(率)是一個十分重要的現(xiàn)實(shí)問題。

目前，國內(nèi)外的相關(guān)定價研究主要是針對CPPI策略的。離散交易框架下對CPPI策略收益保證的定價研究主要有Hamidi等[7]，Balder等[8]以及Paulot和Lacroze[9,10]。Hamidi等[7]對CPPI策略進(jìn)行了擴(kuò)展，允許策略乘數(shù)隨時間變化，并將策略乘數(shù)設(shè)定為擴(kuò)展期望在險價值(extended expected Value-at-Risk)的函數(shù)。Hamidi等[7]分別采用參數(shù)、半?yún)?shù)以及非參數(shù)方法對條件乘數(shù)模型進(jìn)行了估計并運(yùn)用期權(quán)估值方法對條件乘數(shù)與非條件乘數(shù)模型下的缺口風(fēng)險進(jìn)行了度量。Balder等[8]提出了一種離散時間版本的CPPI策略，該策略滿足三個條件：自融資性、風(fēng)險敞口非負(fù)以及投資組合市值過程是收斂的。Balder等[8]證明了在離散調(diào)整條件下，如果風(fēng)險資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動(geometric Brownian motion，GBM)，那么CPPI策略收益保證存在封閉形式的定價公式。Paulot和Lacroze[9]采用馬科夫算子(Markov operator)來對CPPI策略收益保證進(jìn)行定價。當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格服從齊次過程(homogeneous process)條件下，路徑依賴的CPPI策略可以被重新表述為一個單變量馬科夫過程。Paulot和Lacroze[9]對CPPI策略歐式與美式收益保證進(jìn)行了定價并考察了各種特征(風(fēng)險資產(chǎn)模型、乘數(shù)、最大風(fēng)險敞口、最小風(fēng)險敞口、緩沖額限制、期間收益鎖定以及門限值)對CPPI策略收益保證缺口風(fēng)險的影響。Paulot和Lacroze[10]證明了如果風(fēng)險資產(chǎn)價格服從一個獨(dú)立增量過程(process with independent increments)，那么CPPI策略投資組合在離散調(diào)倉時點(diǎn)上的市值過程可以用一個離散時間的單變量馬科夫過程來描述，并且可以通過轉(zhuǎn)移概率(transition probabilities)來建立高效定價機(jī)制。連續(xù)時間市場環(huán)境下與CPPI策略收益保證定價相關(guān)的研究主要有Cont和Tankov[6]。Cont和Tankov[6]在價格跳躍與隨機(jī)利率條件下考察了CPPI策略的一個特例：即不考慮借款限制或允許賣空無風(fēng)險資產(chǎn)情形下的CPPI策略，并給出了該策略的觸底概率、期望損失以及損失的分布。Cont和Tankov[6]證明了在無借款限制與常利率條件下，如果風(fēng)險資產(chǎn)價格存在跳躍那么即便投資者可以連續(xù)交易，缺口風(fēng)險總是存在的。國內(nèi)有關(guān)CPPI策略收益保證定價的研究非常少，公開可得的僅有王亦奇和劉海龍[11]。王亦奇和劉海龍[11]采用純擴(kuò)散模型來刻畫風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)價格過程，采用Vasicek[12]模型來描述市場瞬時短利率，并在此假定下考察了CPPI策略收益保證的定價問題。盡管TIPP策略在業(yè)界應(yīng)用廣泛，但目前國內(nèi)外還未有對TIPP策略收益保證進(jìn)行定價研究的文獻(xiàn)。本文分別采用GBM與有限跳躍Levy過程來對風(fēng)險資產(chǎn)價格過程進(jìn)行刻畫，并在離散交易假定下考察了TIPP策略收益保證的定價問題，該研究是對已有相關(guān)研究的補(bǔ)充與拓展。

本文余下部分結(jié)構(gòu)安排如下：第1部分給出了離散交易框架下TIPP策略收益保證的定價模型；第2部分給出了收益保證定價的數(shù)值分析結(jié)果；第3部分則對全文進(jìn)行了總結(jié)。

1模型

1.1市場假定

假定市場中有兩種資產(chǎn)可供交易：風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)。假定風(fēng)險資產(chǎn)為未派發(fā)股利的股票，無風(fēng)險資產(chǎn)為期限為T面值為G的零息票債券。假定市場短利率r是固定不變的。零息票債券價格過程B(t,T)(以下簡記為B(t))為

假定風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程S(t)由以下隨機(jī)微分方程刻畫

(2)

其中，L(t)是一個一維Levy過程，L(0)=0，該過程定義在帶流概率空間上。P為真實(shí)世界概率測度。當(dāng)L(t)為一帶漂移的布朗運(yùn)動時，S(t)服從Black-Scholes經(jīng)濟(jì)中的經(jīng)典GBM假定；當(dāng)L(t)既包含布朗運(yùn)動成分又包含跳躍成分時，S(t)服從跳躍擴(kuò)散模型。由于現(xiàn)實(shí)金融市場中資產(chǎn)收益分布多呈現(xiàn)出非對稱尖峰厚尾特征(asymmetric leptokurtic feature)，這使得蘊(yùn)含正態(tài)收益分布的GBM模型難以真實(shí)地刻畫資產(chǎn)價格過程。引入跳躍成分的跳躍擴(kuò)散模型可以克服GBM模型的這一缺陷，已被廣泛應(yīng)用于金融相關(guān)領(lǐng)域的研究中。

由方程(2)可得到S(t)的表達(dá)式

(4)

1.2離散時間TIPP策略

TIPP策略的基本原理是將資產(chǎn)的一部分配置在無風(fēng)險資產(chǎn)上并將剩余部分資產(chǎn)或者稱為緩沖額(cushion)加杠桿放大后投資在風(fēng)險資產(chǎn)上，以期通過無風(fēng)險資產(chǎn)取得本金的保護(hù)并通過風(fēng)險性資產(chǎn)獲取上升行情中的收益。為了對期間的收益進(jìn)行保護(hù)，TIPP策略則提出對CPPI的價值底線(floor)進(jìn)行修改使之棘輪上升(ratchet up)，即在上升行情中提高價值底線，而在下行行情中保持原來的價值底線。假定投資期限為T，投資期初的資金為A0，收益保證水平為G，TIPP策略的乘數(shù)記為m，m>1。TIPP策略的價值底線百分比(floor percentage)參數(shù)記為f，0

在時點(diǎn)tj，j=1,2,…,n上，TIPP策略的價值底線為

(7)

TIPP策略的緩沖額，C(tj)，為投資組合市值A(chǔ)(tj)與價值底線F(tj)之差④當(dāng)A(t)F(t)，所有資金均投資于無風(fēng)險資產(chǎn)。，即

(10)

其中，I{}為示性函數(shù)(indicator function)，那么該策略稱為無借款限制離散時間TIPP策略。

(12)

其中，b>0為杠桿比率(leverage ratio)參數(shù)，I{}為示性函數(shù)，那么該策略稱為借款限制離散時間TIPP策略。

據(jù)作者所知，還未有文獻(xiàn)以解析形式對有無借款限制下的TIPP策略進(jìn)行區(qū)分。不難驗(yàn)證，上文定義1與定義2所給出的離散時間TIPP策略均滿足自融資性質(zhì)。

1.3收益保證定價

根據(jù)1.2節(jié)的設(shè)定，到期時TIPP策略收益保證的支付(payoff)為max{G-A(T),0}。從支付的形式不難看出，TIPP策略收益保證等價于一個歐式看跌期權(quán)。但由于TIPP策略投資組合過程具有路徑依賴性(path-dependency)，該看跌期權(quán)并非普通歐式期權(quán)。由風(fēng)險中性定價理論，該收益保證的價格為

價值底線的設(shè)定方式以及借款限制使得TIPP策略投資組合模型形式較為復(fù)雜，這使得我們無法得到收益保證價格的解析解，我們將在第2部分采用數(shù)值算例來揭示模型參數(shù)的變動對收益保證價格的影響。出于示例目的，我們對上述定價問題進(jìn)行簡化以便給出一個封閉形式定價公式。為此我們假定調(diào)整時間格柵是等時間間隔的，即ti-ti-1=，i=1,2,…,n，并且=T，這意味著在0時刻按照TIPP策略建立投資組合后便不再調(diào)整直至到期。命題1與命題2分別給出了有無借款限制下收益保證的定價公式。

命題1TIPP策略的乘數(shù)為m，底部百分比參數(shù)為f，初始資金為A(0)=A0,收益保證水平為G，投資期限為T。假定不存在借款限制，且0時刻按照TIPP策略建立投資組合后便不再進(jìn)行調(diào)整。那么GBM與有限跳躍Levy過程情形下收益保證的定價公式分別為

(15)

(16)

將(16)代入(13)進(jìn)行整理可得

當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格服從GBM過程時，即風(fēng)險資產(chǎn)價格由(3)、(4)進(jìn)行刻畫時，運(yùn)用Black-Scholes期權(quán)定價公式以及期權(quán)平價關(guān)系可得收益保證的價格為

當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格服從有限跳躍Levy過程時，即風(fēng)險資產(chǎn)價格由(3)、(5)進(jìn)行刻畫時, 運(yùn)用期權(quán)平價關(guān)系及Shreve[18]中Theorem11.7.5可得收益保證的價格為

命題2 TIPP策略的乘數(shù)為m，底部百分比參數(shù)為f，初始資金為A(0)=A0,收益保證水平為G，投資期限為T。假定存在借款限制，杠桿比率b=1，且0時刻按照TIPP策略建立投資組合后便不再進(jìn)行調(diào)整⑥杠桿比率b=1表明投資組合在風(fēng)險資產(chǎn)上的配置比重不能超出其資金總量。假定b=1并不失一般性，具體論證可參見Black和Perold[3]。。那么GBM與有限跳躍Levy過程情形下收益保證的定價公式分別為

(21)

證明：(i) 與命題1的證明相同。

將(22)代入(13)并化簡可得

(23)

2 數(shù)值分析

由于投資組合模型的復(fù)雜形式，我們無法得到收益保證封閉形式的定價公式。本部分通過數(shù)值算例來揭示模型參數(shù)的變動對收益保證價格的影響。為了便于分析，假定調(diào)整時間格柵是等時間間隔的，即ti-ti-1=，i=1,2,…,n。為了模擬S(t)的路徑，首先必須得對跳躍幅度的概率分布做出假定。由Kou[14]引入的DEJD過程可解釋經(jīng)驗(yàn)研究中廣泛存在的資產(chǎn)日收益的非對稱尖峰厚尾特征與期權(quán)定價中的波動率微笑(volatility smile)現(xiàn)象，該過程廣泛應(yīng)用于連續(xù)時間條件下的金融市場研究。本部分便采用DEJD過程來對風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程進(jìn)行模擬?；仡?5)式可知，K為價格跳躍幅度，令Y=log(K)。DEJD過程下Y服從雙指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為

表1 模擬參數(shù)值的設(shè)定

2.1收益保證價格與策略乘數(shù)

圖1 收益保證價格與乘數(shù)關(guān)系圖

圖1報告了TIPP策略收益保證的價格(C)與策略乘數(shù)(m)之間的關(guān)系。從圖1不難看出，離散交易條件下，(1) TIPP策略收益保證存在缺口風(fēng)險，收益保證的價格大于0且隨著策略乘數(shù)的增大而增加；(2) 價格跳躍情形下的收益保證價格要高于傳統(tǒng)連續(xù)價格路徑下的收益保證價格；(3) 借款限制使得收益保證的價格下降，且策略乘數(shù)越大該效應(yīng)越顯著。本部分的數(shù)值算例表明，即便風(fēng)險資產(chǎn)價格路徑是連續(xù)的，如果不能連續(xù)交易，那么TIPP策略總是存在缺口風(fēng)險。再者，當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格存在跳躍條件下，風(fēng)險資產(chǎn)價格的向下跳躍風(fēng)險使得TIPP策略投資組合在投資期內(nèi)更可能跌破策略價值底線，策略的缺口風(fēng)險上升，收益保證的價格也會相應(yīng)上升。當(dāng)策略乘數(shù)越大時，TIPP策略投資組合配置在風(fēng)險資產(chǎn)上的比重也就越大，TIPP策略變得更為激進(jìn)(aggressive)，離散交易所引致的投資組合不能有效地應(yīng)對風(fēng)險資產(chǎn)價格下行風(fēng)險的效應(yīng)也就越突出，收益保證的缺口風(fēng)險越嚴(yán)重，收益保證的價格也就越高。

2.2收益保證價格與收益保證水平

圖2收益保證價格與收益保證水平關(guān)系圖

圖2給出了收益保證水平(G)對TIPP策略收益保證價格(C)的影響。圖2的結(jié)果表明，(1) 無論是否存在價格跳躍及借款限制，TIPP策略收益保證的價格皆隨著收益保證水平的上升而上升，且二者呈凸函數(shù)關(guān)系；(2) 同等收益保證水平下，當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格存在跳躍條件下，TIPP策略收益保證的價格更高；(3) 無論是否存在價格跳躍，借款限制會降低收益保證的價格，且收益保證水平越高該效應(yīng)越顯著。以上幾點(diǎn)不難理解：收益保證水平設(shè)定的越高，風(fēng)險資產(chǎn)價格的向下波動風(fēng)險所引致缺口風(fēng)險的可能性越高，收益保證的價格就越高。且風(fēng)險資產(chǎn)價格存在向下跳躍時，相同的風(fēng)險資產(chǎn)持有量所面臨的價格下行風(fēng)險上升，投資組合的缺口風(fēng)險也相應(yīng)上升，收益保證的價格也就更高。而借款限制則通過限制風(fēng)險資產(chǎn)的最大持有量而對缺口風(fēng)險進(jìn)行限制，從而降低了收益保證的價格。

2.3收益保證價格與價值底線百分比

圖3報告了TIPP策略收益保證價格(C)與價值底線百分比(f)之間的關(guān)系。從圖3可以看出，(1)無論是否存在價格跳躍及借款限制，TIPP策略收益保證價格與價值底線百分比之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；(2)不論是否存在價格跳躍，借款限制降低了收益保證的價格，且價值底線百分比越低，該效應(yīng)越顯著；(3)無論是否存在借款限制，價格跳躍因素提升了收益保證的價格，且價值底線百分比越低，該效應(yīng)越顯著。價值底線百分比越低，TIPP策略配置在無風(fēng)險資產(chǎn)上的資金比重就越低，配置在風(fēng)險資產(chǎn)上的比重就越高，不利價格波動所引致的缺口風(fēng)險就越顯著，收益保證的價格就越高。當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格存在向下跳躍時，價值底線百分比對缺口風(fēng)險的影響就越強(qiáng)；而存在借款限制時，價值底線百分比對于缺口風(fēng)險的影響就越弱。

圖3 收益保證價格與價值底線百分比關(guān)系圖

2.4收益保證成本與杠桿比率

圖4 收益保證價格與杠桿比率關(guān)系圖

圖4給出了杠桿比率(b)的變動對TIPP策略收益保證價格(C)的影響。圖4的結(jié)果表明，(1)無論是否存在價格跳躍，TIPP策略收益保證價格與杠桿比率呈正相關(guān)關(guān)系，且收益保證的價格隨著杠桿比率的提高而緩慢增加；(2)風(fēng)險資產(chǎn)價格存在跳躍條件下的收益保證價格要高于連續(xù)路徑條件下的情形，且二者之間的差距隨著杠桿比率的上升而上升。杠桿比率越大，TIPP策略就越激進(jìn)，投資組合對于不利波動的風(fēng)險敞口就越大，收益保證的缺口風(fēng)險就越嚴(yán)重，收益保證的價格就越高。隨著價格跳躍因素的引入，杠桿比率對于缺口風(fēng)險的放大作用就更加顯著。

2.5收益保證成本與調(diào)整周期

圖5收益保證價格與調(diào)整周期關(guān)系圖

3 結(jié)論

將價格跳躍因素與借款限制因素考慮在內(nèi)，本文在離散交易框架下對TIPP策略收益保證的定價問題進(jìn)行了考察。由于TIPP策略投資組合過程的復(fù)雜性，我們無法得到收益保證封閉形式的定價公式。文章通過數(shù)值算例考察了策略乘數(shù)m、收益保證水平參數(shù)G、價值底線百分比參數(shù)f、杠桿比率參數(shù)b,以及調(diào)整周期參數(shù),的變動對收益保證價格的影響。數(shù)值分析的結(jié)果表明：離散交易條件下，(1) 無論是否存在價格跳躍及借款限制， TIPP策略收益保證均存在缺口風(fēng)險，收益保證的價格大于0；(2) 價格跳躍條件下TIPP策略收益保證價格要高于傳統(tǒng)連續(xù)價格路徑情形；(3) TIPP策略收益保證的價格與策略乘數(shù)、收益保證水平、杠桿比率以及調(diào)整周期正相關(guān)，與價值底線百分比負(fù)相關(guān)；(4) 借款限制會降低TIPP策略收益保證的價格，且該效應(yīng)隨著策略乘數(shù)、收益保證水平、杠桿比率以及調(diào)整周期的增加而增強(qiáng)，隨著價值底線百分比的提高而減弱。本文的研究可以為TIPP策略收益保證產(chǎn)品市場提供定價基準(zhǔn)。此外，本文的研究結(jié)果還具有以下兩方面含義：(1) 傳統(tǒng)GBM假定下的定價研究會低估收益保證的價格，因而會對為收益保證進(jìn)行擔(dān)保的第三方機(jī)構(gòu)的利益造成損害；(2) 收益保證類金融產(chǎn)品的發(fā)行方與管理方可選取合適的策略乘數(shù)、杠桿比率以及價值底線百分比參數(shù)來控制保本費(fèi)率并以此來增強(qiáng)產(chǎn)品的吸引力。

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Pricing of TIPP-managed rate of return guarantees under discrete-time trading

ZHANG Fei, LIU Hai-long

(Antai College of Economics and Management, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200052, China)

Constant proportion portfolio insurance (CPPI) strategy is a dynamic investment technique that aims to protect the underlying portfolio and retain some upside potential. The great applicability of CPPI strategy gains popularity among investors, especially institutional investors. Despite its simplicity, tractability and flexibility, CPPI strategy focuses on securing the principal and fails to protect the interest and profit generated during the course. Time-invariant portfolio protection (TIPP) strategy, as a variant of CPPI strategy, specifies that the floor should be ratcheted up as the market price rises and should retain the previous floor as the market price declines. If there are no jumps in asset price and trading without transaction costs, there is no risk of going below the pre-specified floor while employing CPPI strategy or TIPP strategy to manage the underlying portfolios. In another word, there is no gap risk. However, when asset price dose exhibit that discontinuous moves (jumps) or continuous trading is infeasible because of illiquidity or transaction costs, there is a gap risk with CPPI- and TIPP-managed portfolios. In the presence of gap risk, the issuers of the rate of return guaranteed products must turn to third parties for guarantee or reinsurance. How to figure out a proper reinsurance rate or a proper reinsurance fee is an important practical issue. Although several papers have investigated the valuation of CPPI-managed rate of return guaranteed products, there is no paper exploring the valuation of the TIPP-managed rate of return guaranteed products. This paper aims to fill this gap and investigates the pricing of TIPP-managed rate of return guaranteed products. Since our paper takes into consideration the effect of jumps in asset price, discrete rebalancing and borrowing constraints, our research findings have great practical importance.

Specifically, this study employs geometric Brownian motion and finite-activity Levy process to characterize the price process of the active asset and investigates the valuation of the TIPP-managed rate of return guarantees under the framework of discrete rebalancing. Because of the complexity of the TIPP-managed portfolio, closed form pricing formulas cannot be obtained. For illustrative purposes, closed form pricing formulas are given for a special case of TIPP strategy. Our numerical results indicate that under the framework of discrete rebalancing, (1) there is a gap risk with the TIPP-managed portfolio and the price of the rate of return guarantee is positive, irrespective of the presence or absence of jumps in active asset price and borrowing constraints; (2) the price of the rate of return guarantee in the presence of jumps in active asset price is higher than its counterpart under the traditional assumption of continuous sample path of asset price; (3) the price of the rate of return guarantee is positively correlated with the multiple, the guarantee level, the leverage ratio and the rebalancing period, but negatively correlated with the floor percentage; (4) borrowing constraints can decrease the price of the rate of return guarantee and exercise more influence with bigger multiple, higher guarantee level, higher leverage ratio, longer rebalancing period but lower floor percentage.

This study can provide a benchmark for the valuation of TIPP-managed rate of return guaranteed products. Moreover, the study has the following two practical implications: (1) valuation under the traditional assumption of geometric Brownian motion underestimates the costs of rate of return guarantees and thus hurts the interests of the third parties who insure the guarantees; (2) the issuers or managers of the rate of return guaranteed products can properly choose the multiple, the leverage ratio and the floor percentage to keep insurance fees under control, thereby enhancing the attractiveness of their products.

discrete-time trading; time-invariant portfolio protection (TIPP) strategy; finite-activity Levy process; rate of return guarantee; gap risk

中文編輯：杜 健；英文編輯：Charlie C. Chen

F830.59

A

1004-6062(2016)01-0185-06

10.13587/j.cnki.jieem.2016.01.023

2013-08-23

2013-12-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71273169）

張飛（1983—），男，河南開封人。上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院博士研究生，研究方向：金融工程。