吉枳霖，鄭永愛

（揚(yáng)州大學(xué)江蘇揚(yáng)州225127）

分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的控制與反相延遲同步

吉枳霖，鄭永愛

（揚(yáng)州大學(xué)江蘇揚(yáng)州225127）

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信和振蕩器設(shè)計(jì)等領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景。利用分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析了分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)線性反饋控制并依據(jù)分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的混沌控制，提供了抑制混沌到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的充分條件。結(jié)合反相同步和延遲同步，提出了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的反相延遲同步，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的非線性控制器實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的反相延遲同步。數(shù)值仿真結(jié)果表明了該方法的有效性和可行性。

分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)；混沌控制；分?jǐn)?shù)階赫爾維茨判據(jù)；反相延遲同步

分?jǐn)?shù)階微積分起源于17世紀(jì)，其發(fā)展幾乎與整數(shù)階微積分具有同樣長的歷史。分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)際是整數(shù)階微積分的推廣，分?jǐn)?shù)階微積分的記憶性和遺傳性更能反映系統(tǒng)呈現(xiàn)的工程物理現(xiàn)象，從而促進(jìn)了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究和發(fā)展。

由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信和振蕩發(fā)生器設(shè)計(jì)等領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步已成為混沌和控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌理論的深入研究，人們從不同角度提出了多種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)控制和同步的方法，例如，利用分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則和選擇特定的線性反饋控制器，文獻(xiàn)［1］控制分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)到它的平衡點(diǎn)；進(jìn)一步結(jié)合分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的混合投影同步。結(jié)合廣義T-S模糊模型和自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制，文獻(xiàn)［2］提出了控制分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的一種簡單但非常有效的方法。基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和非線性動(dòng)力學(xué)理論，文獻(xiàn)［3］構(gòu)造出相應(yīng)的非線性控制器，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)維數(shù)不同，分?jǐn)?shù)階次不相等異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)與超混沌系統(tǒng)的完全同步與反相同步。通過設(shè)計(jì)非線性時(shí)延觀察器，文獻(xiàn)［4］分別實(shí)現(xiàn)了整數(shù)階Rossler混沌系統(tǒng)和Chua混沌系統(tǒng)的延遲同步?；诜?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，結(jié)合反饋控制和主動(dòng)控制方法，文獻(xiàn)［5］提出了實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)延遲同步的一種新方法。

文中首先利用分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析了分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)線性反饋控制實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的混沌控制，并利用分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則求出了控制參數(shù)的取值范圍，避免了每取一組值就要代入公式進(jìn)行驗(yàn)算，加強(qiáng)了取值的明確性。然后，再結(jié)合反相同步和延遲同步提出了分?jǐn)?shù)階反相延遲同步。通過設(shè)計(jì)非線性反饋控制器實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的反相延遲同步，從理論上證明了該方案的可行性。利用預(yù)估-校正算法［6-7］對(duì)分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)進(jìn)行的數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方案的有效性。

1　分?jǐn)?shù)階微積分定義

盡管分?jǐn)?shù)階微積分有Riemann-Liouville（R-L）定義和Caputo定義兩種常用定義，下面是經(jīng)常使用的Caputo定義：

在這里m是不小于α的第一個(gè)整數(shù)，y（m）表示m階導(dǎo)數(shù)，yβ表示如下β階R-L積分算子：通常表示α階微分算子，Γ（·）是Gamma函數(shù)。

2　分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)的控制

描述如下三維分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)：

這里0＜q≤1。利用分?jǐn)?shù)階微分方程的預(yù)估-校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真。取a=35，b=3，c=28，q=0.9，初始值為（x，y，z）=（2，1，3），時(shí)間步長h=0.01，圖1呈現(xiàn)了Chen混沌系統(tǒng)（3）的混沌吸引子。

圖1　分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的吸引子相空間

下面給出分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，考慮三維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

其中q∈（0，1］。上述系統(tǒng)（4）在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣為：

在平衡點(diǎn)處的特征方程為：

判別式為：

引理1：分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（4）是局部漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣（5）的任意特征值λ滿足|arg（λ）|＞

引理2（分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則）［8］：

（i）若D（P）＞0，則系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的充分必要條件是a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0。

（ii）若D（P）＜0，a1≥0，a2≥0，a3＞0，則當(dāng)α＜2/3時(shí)，系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；若D（P）＜0，a1＜0，a2＜0，a＞2/3，則方程（6）的所有根滿足

（iii）若D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2-a3=0，則對(duì)于0＜q≤1，系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

（iv）系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的必要條件是a3＞0。

我們首先來討論系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。當(dāng)參數(shù)a= 35，b=3，c=28時(shí)，系統(tǒng)（3）有3個(gè)平衡點(diǎn)：

性質(zhì)1：當(dāng)參數(shù)a=35，b=3，c=28時(shí)，對(duì)于任意的q∈（0，1］，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E1始終是不穩(wěn)定的。

證明:當(dāng)參數(shù)a=35，b=3，c=28時(shí)，系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)E1處的特征多項(xiàng)式為：

式（8）的特征值為：λ1=-30.8359，λ2=23.8359，λ3=-3.0000。因?yàn)棣?＞0，根據(jù)引理1，對(duì)于任意的q∈（0，1］，平衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的。

性質(zhì)2：當(dāng)參數(shù)a=35，b=3，c=28時(shí)，如果q＜0.8244，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E2或者E3是漸近穩(wěn)定的；如果q＞0.8244，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E2或者E3是不穩(wěn)定的。

證明：當(dāng)參數(shù)a=35，b=3，c=28時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E2或者E3得到特征多項(xiàng)式：

上式（9）的特征值為：

這里λ1是個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)。根據(jù)引理1，當(dāng)q＜2|arg（λi）|/π≈0.8244（i=2，3）時(shí)，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E2或者E3是漸近穩(wěn)定的。如果q＞0.8244，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E2或者E3是不穩(wěn)定的。

下面我們利用反饋控制和分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則來抑制三維分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)到它的一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，三維分?jǐn)?shù)階Chen混沌受控系統(tǒng)描述如下：

其中k1，k2，k3為控制參數(shù)，是系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)。這里我們僅利用線性反饋來穩(wěn)定系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E1（0，0，0）。當(dāng)a=35，b=3，c=28，系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)E1（0，0，0）處的Jacobian矩陣為：

相應(yīng)的特征多項(xiàng)式為：

判別式為：

其中

雖然這里我們很難同時(shí)求出3個(gè)控制參數(shù)的取值范圍，但是我們經(jīng)過計(jì)算可以先給兩個(gè)參數(shù)賦值，利用分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則求出第三個(gè)控制參數(shù)的取值范圍。這樣避免了每取一組值就要代入公式進(jìn)行驗(yàn)算，加強(qiáng)了取值的明確性。所以將k1=20，k2=-13代入（14）式中，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算，如果要滿足D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2=a3成立，則k3＜3即可。

3　分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的反相延遲同步

考慮分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)（3）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，那么響應(yīng)系統(tǒng)為：

這里u1，u2，u3為控制器。對(duì)于系統(tǒng)（3）與（15），如果存在常數(shù)τ使得則稱分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)（3）與（15）達(dá)到分?jǐn)?shù)階反相延遲同步。其中X（t）=（x（t），y（t），z（t））T，Y（t）=（x1（t），y1（t），z1（t））T分別為系統(tǒng)（3）和（15）的狀態(tài)向量。結(jié)合反饋控制和主動(dòng)控制方法，設(shè)計(jì)控制器為：

誤差系統(tǒng)為：

當(dāng)a=35，b=3，c=28時(shí)，通過計(jì)算要使D（P）＞0，a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0成立，則k＞23.8359。根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)條件，當(dāng)k＞23.8359時(shí)，誤差系統(tǒng)（17）在平衡點(diǎn)E1（0，0，0）處漸近穩(wěn)定，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）和響應(yīng)系統(tǒng)（15）實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階反相延遲同步。

4　數(shù)值仿真

利用分?jǐn)?shù)階微分方程的預(yù)估-校正算法，對(duì)分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)的控制和反相延遲同步進(jìn)行數(shù)值仿真，其中選取步長h=0.01，q=0.9，a=35，b=3，c=28。首先對(duì)分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)E1（0，0，0）進(jìn)行混沌控制。選取初始點(diǎn)x（0）=2，y（0）=1，z（0）=3。參數(shù)k1=20，k2=-13，k3=2，q=0.9。仿真結(jié)果如圖2所示。其次對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（3）和響應(yīng)系統(tǒng)（15）的反相延遲同步進(jìn)行仿真。當(dāng)k=25，時(shí)間t=40 s，延遲時(shí)間τ=10 s，q=0.9，步長h=0.01，系統(tǒng)（3）和（15）的初值分別為x（0）=（2，1，3）T，y（0）=（3，3，6）T時(shí)，圖3給出了分?jǐn)?shù)階線性誤差系統(tǒng)（17）中分?jǐn)?shù)階反相延遲同步誤差收斂曲線。

圖2　系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)E1（0，0，0）控制結(jié)果

圖3　同步誤差系統(tǒng)的時(shí)間序列曲線

5　結(jié)論

本文以分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)為例，利用分?jǐn)?shù)階Routh-Hurwitz準(zhǔn)則和線性反饋控制混沌系統(tǒng)到平衡點(diǎn)。通過對(duì)分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)構(gòu)造相應(yīng)的非線性控制器實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)反相延遲同步。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。該方法同樣可以簡潔地實(shí)現(xiàn)高維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的反相延遲同步。

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Control and inverse lag synchronization of the fractional order Chen system

JI Zhi-lin，ZHENG Yong-ai
（Yangzhou University，Yangzhou 225127，China）

Fractional order chaotic system has a very great prospect in the fields of secure communication and oscillator design. In this article the local stability of the fractional order Chen chaotic system at various equilibrium points is analyzed using the stability theory of fractional order linear systems.Feedback control is designed to realize chaos control of the fractional order Chen system according to fractional order Routh-Hurwitz criterion，and provide the sufficient conditions suppressing chaos to a unstable equilibrium point.Combining inverse synchronization with lag synchronization，a novel fractional order inverse lag synchronization method is proposed.A corresponding nonlinear controller is designed to reach the inverse lag synchronization of fractional order Chen system.Numerical simulation shows effective and feasibility of the proposed method.

fractional order Chen system；chaos control；fractional routh-hurwitz criteria；inverse lag synchronization

TN93

A

1674－6236（2016）12-0070-03

2015-07-01稿件編號(hào)：201507007

吉枳霖（1987—），男，江蘇南通人，碩士研究生。研究方向：混沌控制。