徐鴻鵬，尹社會，張勇

（河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院河南南陽473000）

一個超混沌類Lorenz系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為及計算機仿真

徐鴻鵬，尹社會，張勇

（河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院河南南陽473000）

利用Mat1ab軟件和數(shù)學(xué)微分方程理論分析給出了一個新五維超混沌類Lorenz系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。通過定性分析和定量分析相結(jié)合的手段探討了主要包括對稱性、耗散性、平衡點的穩(wěn)定性、空間相圖、時序波形圖等方面的非線性動力學(xué)行為，并運用Wo1f方法計算出了系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)，結(jié)合系統(tǒng)的不同運動狀態(tài)的分岔圖、Poincaré映射圖和功率譜圖等手段進一步表明該系統(tǒng)具有復(fù)雜的動力學(xué)特性，為進一步的混沌控制、同步與加密通信等工程應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

類Lorenz超混沌系統(tǒng)；分岔；耗散性；功率譜

著名的Lorenz系統(tǒng)是研究混沌現(xiàn)象的典型范例［1_2］。自從Lorenz在一個簡單的三維自治系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)了蝴蝶混沌吸引子之后，又有新的混沌吸引子不斷被發(fā)現(xiàn)，1999年，Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)相繼被提出［3_4］，隨后一個統(tǒng)一的混沌系統(tǒng)也被陳關(guān)榮和呂金虎提出并研究［5］。此后，國內(nèi)外不少學(xué)者相繼提出新的混沌或超混沌系統(tǒng)［6_7］，新系統(tǒng)的提出促進了人們對混沌現(xiàn)象的深入研究和認識，提高了混沌理論在工程上的應(yīng)用能力。文獻［8］提出了構(gòu)造新超混沌系統(tǒng)的必要條件并構(gòu)造了一類新的五維超混沌類Lorenz系統(tǒng)［8］，但并未進行動力學(xué)方面的研究，文中通過數(shù)值仿真給出了系統(tǒng)的相圖、時序波形圖、分岔圖、Poincaré映射、功率譜圖等，結(jié)果驗證了該系統(tǒng)屬于超混沌系統(tǒng)及其豐富的動力學(xué)行為。

1　數(shù)學(xué)模型及其吸引子的存在性

章秀君等構(gòu)造了一個五維超混沌類Lorenz系統(tǒng)的方程為［：

其中：（x，y，z，w，u）∈R5為狀態(tài)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)實參數(shù)。當(dāng)a=10，b=8/3，c=28，d=2時，系統(tǒng)相空間的時間平均散度為

可知系統(tǒng)為一個耗散非線性動力系統(tǒng)，其軌線隨著時間不斷演化到一個不變的吸引子集合中，其初值?。?.1，0.4，0.1，0.1，0.1），系統(tǒng)（1）的吸引子軌線的相圖如圖1所示。

2　系統(tǒng)的LyaPunoV指數(shù)和LyaPunoV維數(shù)

由數(shù)值計算可得系統(tǒng)的5個Lyapunov指數(shù)分別為：λ1=1.863 9，λ2=0.043 589，λ3=_0.733 93，λ4=_4.612 6，λ5=_12.117 6，其中有兩個Lyapunov指數(shù)大于0，說明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。進一步通過Kap1an_Yorke猜想可以得到其分形維數(shù)為：

可見系統(tǒng)具有分數(shù)維數(shù)，進一步驗證了系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖1　吸引子相圖

3　系統(tǒng)在超混沌態(tài)的時序波形、功率譜和Polncaré映射

對混沌系統(tǒng)的吸引子分析，其空間結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，軌線無窮延伸、壓縮和折疊，其軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性。時域分析如圖2所示也表明，序列具有典型的非周期性，且具有對初值敏感依賴性。各個變量隨時間演化的時序波形圖如圖2所示。如果初值發(fā)生細微的變化，系統(tǒng)的行為會發(fā)生明顯的變化，如圖3所示為初值?。?.1，0.4，0.1，0.1，0.1）和（0.1，0.4+0.00001，0.1，0.1，0.1）的時序圖形。吸引子的非周期性也可以通過系統(tǒng)的連續(xù)功率譜表現(xiàn)出來，采用快速Fourier變換法，對系統(tǒng)的第一個狀態(tài)變量x的時間序列進行功率譜分析如圖4所示。由于是非周期運動，所以表現(xiàn)出連續(xù)功率譜，又由于存在分叉現(xiàn)象，所以有峰值出現(xiàn)。

圖2　時序波形圖

混沌系統(tǒng)的Poincaré截面上是沿幾條曲線弧分布著一些具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，如圖5所示，圖中給出了x_y平面上的Poincaré映射，進一步說明了系統(tǒng)處于混沌態(tài)。

4　系統(tǒng)的平衡點分析

令系統(tǒng)（1）右邊等于0，當(dāng)a=10，b=8/3，c=28，d=2時，經(jīng)計算系統(tǒng)有無窮多個平衡點：S0（0，0，0，0，0），S1（0，c，0，0，_10c），S2（4.32，0，14.0，0，43.2），S3（_4.32，0，14.0，0，_43.2），S4（_ 13.3，25.3，1.33，16.9，_284.0）。

圖3　初值敏感性時序波形圖

圖4　功率譜圖

圖5　Poincaré映射

在平衡點S0（0，0，0，0，0）處線性化系統(tǒng)（1）可得其Jacobi矩陣，

由|λI_J|=0可得5個特征值為λ1=_1，λ2=_10，λ3=_2.6667，λ4=_2，λ5=0。其中4個負的實根表示在這4個方向收縮，因此平衡點S0（0，0，0，0，0）為穩(wěn)定的結(jié)點。

在系列平衡點S1（0，c，0，0，_10c）處線性化系統(tǒng)（1）可得其Jacobi矩陣（為分析方便取c=1），

由|λI_J|=0可得5個特征值為λ1=_1，λ2=_10.099，λ3= 0.099，λ4=_2，λ5=_2.6667。其中4個負的實根表示在這2個方向收縮，1個正的實根表示在這1個方向擴張，因此平衡點S1（0，c，0，0，_10c）為不穩(wěn)定的指標(biāo)1的鞍點。

在平衡點S2（4.32，0，14.0，0，43.2）處線性化系統(tǒng)（1）可得其Jacobi矩陣，

由|λI_J|=0可得5個特征值為λ1=_19.4534，λ2=5.5193+ 3.1942i，λ3=5.5193_3.1942i，λ4=_6.1224，λ5=_1.1295。其中3個負的實根表示在這3個方向收縮，一對共軛復(fù)根的實部為正說明平衡點S2（4.32，0，14.0，0，43.2）為指標(biāo)2的不穩(wěn)定鞍點。

在平衡點S3（_4.32，0，14.0，0，_43.2）處線性化系統(tǒng)（1）可得其Jacobi矩陣，

由|λI_J|=0可得5個特征值為λ1=_6.9549+12.1504i，λ2=_ 6.9549_12.1504i，λ3=_0.4746+4.2467i，λ4=_0.4746_4.2467i，λ5=_0.8076。其中1個負的實根表示在這1個方向收縮，2對共軛復(fù)根的實部為負說明平衡點S3（_4.32，0，14.0，0，_43.2）為穩(wěn)定焦點。

在平衡點S4（_13.3，25.3，1.33，16.9，_284.0）處線性化系統(tǒng)（1）可得其Jacobi矩陣，

由|λI_J|=0可得5個特征值為λ1=_9.1149，λ2=_2.6059+ 4.5315i，λ3=_2.6059_4.5315i，λ4=_0.67+0.3003i，λ5=_0.67_ 0.3003i。其中1個負的實根表示在這1個方向收縮，2對共軛復(fù)根的實部為負說明平衡點S4（_13.3，25.3，1.33，16.9，_284.0）為穩(wěn)定焦點。

通過以上分析，在參數(shù)a=10，b=8/3，c=28，d=2下，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

5　系統(tǒng)參數(shù)的影響

非線性動力系統(tǒng)的動力學(xué)行為主要由系統(tǒng)參數(shù)決定，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出極限環(huán)（周期軌或擬周期軌）和奇怪吸引子等不同的非線性行為，即出現(xiàn)Hopf分叉和混沌現(xiàn)象。分岔圖顯示，當(dāng)固定其余參數(shù)只有一個參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的動力學(xué)行為，為敘述方便，這里只列出改變參數(shù)的區(qū)間范圍。在a∈［10，16］，b∈［2.4，4.5］，c∈［8，28.5］，d∈［0，20］，區(qū)間內(nèi)變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌或超混沌行為，如圖6所示。下面通過吸引子相圖可以進一步驗證分岔圖中的結(jié)論，如圖7所示。

圖6　參數(shù)對變量x的分岔圖

6　結(jié)論

文中研究了一種五維超混沌類Lorenz系統(tǒng)，對系統(tǒng)的基本動力學(xué)行為進行了深入的研究，包括功率譜、Poincare截面、分岔圖等。分析表明該系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)行為，系統(tǒng)在參數(shù)變化時的動力學(xué)行為的演變呈現(xiàn)出周期、復(fù)雜周期（擬周期）、混沌以及超混沌運動，這些結(jié)論為系統(tǒng)的電子振蕩電路的實現(xiàn)和通信工程設(shè)計等應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

圖7　周期軌或擬周期軌相圖

［1］Lorenz E.N.Deterministic non_periods f1ows［J］.Journa1 of Atmosphere Science，1963，20（2）：130_141.

［2］尹社會，張勇，張付臣，等.基于Lorenz系統(tǒng)的強迫Lorenz混沌系統(tǒng)的動力學(xué)研究［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，46（1）：42_47.

［3］Guan_rong CHEN，Tetsushi UETA.Yet another chaotic attractor［J］.Internationa1 Journa1 of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465_1466.

［4］Jin_hu Lü，Guan_rong Chen.A new chaotic attractor coined［J］.Internationa1 Journa1 of Bifurcation and Chaos，2002，12 （3）：659_661.

［5］Jin_hu Lü，Guan_rong Chen，Dai_zhan CHENG，etc.Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system［J］. Internationa1 Journa1 of Bifurcation and Chaos，2002，12 （12）：2917_2926.

［6］尹社會，張勇，皮小力.自治混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為及計算機仿真［J］.廣西物理，2015，36（1）：32_37.

［7］高智中.一個新超混沌系統(tǒng)及其線性反饋同步［J］.中山大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，51（6）：30_34.

［8］章秀君，吳志強，方正.超混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法研究［J］.計算機工程與應(yīng)用，2014，50（2）：92_98，151.

Nonllnear dynamlc behaVlor of a lorenz-llke hyPerchaotlc system and lts comPuter slmulatlon

XU Hong-peng，YIN She-hui，ZHANG Yong
（Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China）

The non1inear characteristic properties of a nove1 five-dimensiona1 Lorenz-1ike hyper-chaotic system is further investigated by differentia1 equation theoretica1 ana1ysis and simu1ative ana1ysis based on Mat1ab software.The symmetry of system，dissipation，the stabi1ity of the equi1ibrium points，the phase diagram，time domain waveform，Lyapunov exponents and Lyapunov dimension，bifurcation diagram，Poincaré mapping diagram and the power spectrum are given by Mat1ab software.The resu1ts showed the nove1 chaotic system has rich dynamic behavior.The theoretica1 basis is provided for chaotic contro1，sychronization and encryption communications engineering and so on.

Lorenz-1ike hyper-chaotic system；bifurcation；dissipation；power spectrum

TN911.6；TN918.1

A

1674_6236（2016）10_0038_04

2015_07_13稿件編號：201507087

河南省科學(xué)技術(shù)發(fā)展計劃項目（142300410416）

徐鴻鵬（1980—），男，河南南陽人，講師。研究方向：計算物理和大學(xué)物理教學(xué)。