卜旭輝， 程子豪， 余發(fā)山， 楊俊起

（河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，河南焦作454000）

具有數(shù)據(jù)丟失二維Roesser系統(tǒng)的量化狀態(tài)反饋控制

卜旭輝， 程子豪， 余發(fā)山， 楊俊起

（河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，河南焦作454000）

探討存在數(shù)據(jù)丟失二維Roesser系統(tǒng)的量化狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問題。假設(shè)二維系統(tǒng)在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中運(yùn)行且系統(tǒng)狀態(tài)全部可測，測量到的狀態(tài)數(shù)據(jù)量化后經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸，同時由于網(wǎng)絡(luò)自身限制伴隨數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象的發(fā)生。首先將數(shù)據(jù)丟失描述成取值為0或1的隨機(jī)伯努利序列，定義了隨機(jī)意義下二維系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性。其次，采用扇形界方法處理數(shù)據(jù)量化造成的誤差，給出一個閉環(huán)系統(tǒng)均方漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件，基于該條件可通過求解線性矩陣不等式設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器。最后，仿真示例驗(yàn)證了所提設(shè)計(jì)方法的有效性。

二維系統(tǒng)；網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；量化控制；數(shù)據(jù)丟失；隨機(jī)系統(tǒng)

0　引言

二維系統(tǒng)理論在多維數(shù)字濾波、圖像處理、信號處理、過程控制以及迭代學(xué)習(xí)控制中有著廣泛的應(yīng)用，目前已經(jīng)成為控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)［1-4］。二維系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定、H∞控制、自適應(yīng)控制、最優(yōu)保成本控制以及滑?？刂频确矫嬉呀?jīng)有較多文獻(xiàn)發(fā)表，詳見文獻(xiàn)［5-9］。另一方面，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)目前在實(shí)際中廣泛應(yīng)用，相比與傳統(tǒng)的點(diǎn)對點(diǎn)控制模式，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有低成本、安裝簡便、維護(hù)方便以及可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。但網(wǎng)絡(luò)通信機(jī)制的引入，使得控制系統(tǒng)產(chǎn)生一些不確定性的因素，如網(wǎng)絡(luò)傳輸誘導(dǎo)延時、數(shù)據(jù)包丟失等。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究目前也有大量的文獻(xiàn)發(fā)表，見文獻(xiàn)［10-15］，但大多是針對一維被控對象給出的。網(wǎng)絡(luò)約束條件下二維系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)目前僅有少量文獻(xiàn)發(fā)表，見文獻(xiàn)［16-17］，且主要研究數(shù)據(jù)包丟失的影響。文獻(xiàn)［16］研究了二維Fornasini-Marchesini系統(tǒng)存在測量數(shù)據(jù)丟失時的魯棒H∞濾波問題，文獻(xiàn)［17］研究了二維Roesser系統(tǒng)存在數(shù)據(jù)丟失時的H∞控制器設(shè)計(jì)問題。然而，文獻(xiàn)［16-17］針對網(wǎng)絡(luò)二維系統(tǒng)的研究均假設(shè)數(shù)據(jù)在傳輸過程中精度是無限大的，未考慮數(shù)據(jù)量化的影響。

實(shí)際網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，由于傳輸信道容量以及傳感或執(zhí)行設(shè)備的精確度限制，系統(tǒng)數(shù)據(jù)在傳輸前首先被量化處理。因此，數(shù)據(jù)量化是影響網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)控制性能的一個重要因素。實(shí)事上，針對非網(wǎng)絡(luò)控制模式下一維系統(tǒng)的量化控制問題已經(jīng)被廣泛研究。文獻(xiàn)［18］研究了線性系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)量化的穩(wěn)定性問題，文獻(xiàn)［19］研究了線性、非線性系統(tǒng)控制輸入數(shù)據(jù)量化的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)［20］提出了一種處理量化誤差的扇形界方法，并基于該方法研究了線性系統(tǒng)的輸出量化、輸入量化以及狀態(tài)量化問題。針對網(wǎng)絡(luò)模式下的一維系統(tǒng)，文獻(xiàn)［21］研究了系統(tǒng)存在狀態(tài)和輸入量化的保成本控制，文獻(xiàn)［22］研究了線性時變系統(tǒng)的H∞量化反饋控制，文獻(xiàn)［23］研究了線性系統(tǒng)的輸出反饋控制。然而，上述結(jié)果均是針對一維系統(tǒng)給出的，基于量化數(shù)據(jù)的二維系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)目前尚無研究。

本文針對存在數(shù)據(jù)丟失的二維系統(tǒng)，考慮基于狀態(tài)量化的反饋控制器設(shè)計(jì)方法。首先將數(shù)據(jù)丟失描述成取值為0或1的隨機(jī)伯努利序列，定義了隨機(jī)意義下二維系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性。其次，采用扇形界方法處理量化數(shù)據(jù)的影響，給出一個閉環(huán)系統(tǒng)均方漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件，基于該條件設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器。最后，仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。

1　問題描述

考慮如下二維Roesser系統(tǒng)

式中xh（i，j）∈Rn1，xv（i，j）∈Rn2，u（i，j）∈Rm分別表示水平狀態(tài)分量、垂直狀態(tài)分量以及控制輸入量，A，B為系統(tǒng)矩陣。

假設(shè)1系統(tǒng)（1）的邊界條件滿足

假設(shè)系統(tǒng)的測量信號在通過網(wǎng)絡(luò)傳輸前首先進(jìn)行量化處理，并采用如下邏輯量化器［24］：

式中ρ為量化密度［24］，其量化函數(shù)q（·）定義為

考慮如下狀態(tài)反饋控制器

當(dāng)上述控制策略通過網(wǎng)絡(luò)控制模式實(shí)現(xiàn)時，狀態(tài)測量的量化信號q（x（i，j）通過網(wǎng)絡(luò)在控制器和被控對象間傳輸。由于網(wǎng)絡(luò)條件的約束，使得q（x（i，j）經(jīng)常產(chǎn)生數(shù)據(jù)包的丟失。此時，控制器（4）可被描述為

式中｛αi，j｝為取值0和1的隨機(jī)伯努利序列，且滿足

式中0≤α≤1為已知常數(shù)。

注1由于隨機(jī)變量｛αi，j｝的引入，使得上述二維閉環(huán)系統(tǒng)為一個隨機(jī)系統(tǒng)。因此，已有確定性二維系統(tǒng)的分析和控制器設(shè)計(jì)方法在這里無法適用。為了進(jìn)行的控制器設(shè)計(jì)，我們首先給出如下二維系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性定義。

定義1若二維系統(tǒng)（1）對于零輸入條件和假設(shè)1中的有界邊界條件滿足

則系統(tǒng)均方漸進(jìn)穩(wěn)定。

至此，研究內(nèi)容可描述為：對于滿足假設(shè)1邊界條件的二維系統(tǒng)（1），如何設(shè)計(jì)量化狀態(tài)反饋控制器（4），使得系統(tǒng)存在數(shù)據(jù)丟失的情況下閉環(huán)二維系統(tǒng)均方漸進(jìn)穩(wěn)定。

2　主要結(jié)果

為了分析二維隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們采用扇形界方法處理量化誤差［20］，即對于給定的量化密度ρ滿足

此時狀態(tài)反饋控制器（4）可重寫為

由式（1）和式（6）可得如下閉環(huán)系統(tǒng)表達(dá)式

代入二維閉環(huán)系統(tǒng)（7）中可得

定理1若二維系統(tǒng)滿足假設(shè)1的邊界條件，當(dāng)存在正定矩陣P=diag｛Ph，Pv｝＞0滿足如下條件時

二維閉環(huán)系統(tǒng)（8）均方漸進(jìn)穩(wěn)定，式中θ2=α（1-α）。

證明定義

考慮如下指標(biāo)

將式（8）帶入上述指標(biāo)可得

式中

根據(jù)（9）式可知Ψ＜0，因此，對于所有x≠0可得

式（11）兩端相加得

由上述關(guān)系可得

上式意味著

上式兩端相加可得

注2定理1給出了二維閉環(huán)系統(tǒng)均方漸進(jìn)穩(wěn)定的一個充分條件。當(dāng)系統(tǒng)不存在數(shù)據(jù)丟失時，即α=1和θ=0，條件（9）變?yōu)?/p>

特殊的，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不存在量化誤差時，即Δx（i，j）= 0，上述條件變?yōu)?/p>

該條件為二維確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制的結(jié)果，參見文獻(xiàn)［2］。因此，定理1的結(jié)果更具有一般意義。

定理1是在控制器G已知的情況下給出的，論文的設(shè)計(jì)目標(biāo)為基于系統(tǒng)矩陣A，B和參數(shù)α設(shè)計(jì)G。在給出設(shè)計(jì)結(jié)果前，我們首先給出如下引理。

引理1假設(shè)X，Y為一定維數(shù)的矩陣或向量，對于任意標(biāo)量ε＞0和所有滿足ΔΔT≤I的矩陣Δ，如下不等式成立

根據(jù)上述引理，我們可以給出如下結(jié)果。

定理2對于二維閉環(huán)系統(tǒng)（8），若存在矩陣Y，P0，正定矩陣P和標(biāo)量ε＞0滿足

則二維閉環(huán)系統(tǒng)（8）均方漸進(jìn)穩(wěn)定。此時，狀態(tài)反饋控制器（4）的增益矩陣可設(shè)計(jì)為G=P0-1Y。

證明定理1的條件可寫為

式中

根據(jù)Schur補(bǔ)引理，條件（15）轉(zhuǎn)化為如下不等式

上述不等式可進(jìn)一步寫為

式中

根據(jù)引理1和式（16）可知

對不等式（17）分別左乘和右乘diag（I，P，P，I），并記PB=BP0，可得

記Y=P0G可知定理2成立。

注3定理2給出了一個二維閉環(huán)系統(tǒng)均方漸進(jìn)穩(wěn)定的線性矩陣不等式條件，該條件可以通過Matlab的LMI具箱給出一個可行解，同時給出了一個滿足要求的狀態(tài)反饋增益矩陣。

3　仿真示例

考慮如下參數(shù)的二維系統(tǒng)式（1）：

假設(shè)α=0.8，即數(shù)據(jù)經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)膩G失率為20%。量化器（2）中的參數(shù)選擇為u0=0.1，ρ=0.9，經(jīng)計(jì)算可知該選擇使得量化等級覆蓋了系統(tǒng)狀態(tài)變量的所有取值。根據(jù)定理2，將上式參數(shù)代入不等式（14）中，通過Matlab的LMI工具箱求解出如下結(jié)果

因此，反饋增益可選擇為

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的有效性，我們通過Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真。假設(shè)系統(tǒng)初始條件為

仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。圖1給出了xh（i，j）的狀態(tài)響應(yīng)軌跡，圖2給出了xv（i，j）的狀態(tài)響應(yīng)軌跡，仿真結(jié)果表明二維系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此，所提方法針對量化誤差和數(shù)據(jù)丟失的二維狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)是有效的。

4　結(jié)論

本文給出了一種存在數(shù)據(jù)丟失時的二維系統(tǒng)量化狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法。定義了二維隨機(jī)系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性，基于線性矩陣不等式給出了一個閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，并基于該條件設(shè)計(jì)了控制器，數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。本文是在隨機(jī)系統(tǒng)定義下進(jìn)行二維系統(tǒng)狀態(tài)控制器設(shè)計(jì)的，在此框架下也可以進(jìn)行其他隨機(jī)因素的二維系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)。

圖1　狀態(tài)響應(yīng)xh（i，j）Fig.1　State response of xh（i，j）

圖2　狀態(tài)響應(yīng)xv（i，j）Fig.2　State response of xv（i，j）

［1］KACZOREK T.Two-dimensional linear systems［M］.Berlin：Springer-Verlag，1985：1-43.

［2］DU Chunling，XIE Lihua.H∞control and filtering of two-dimensional systems［M］.Berlin：Springer，2002：100-114.

［3］BORS D，WALCAZK S.Application of 2-D systems to investigation of a process of gas filtration［J］.Multidimens.Syst.Signal Process，2012，23（1-2）：119-130.

［4］SINGH V.Stability analysis of 2-D discrete systems described by the Fornasini-Marchesini second model with state saturation［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Express Briefs，2008，55（8）：793-796.

［5］DU Chunling，XIE Lihua，ZHANG Cishen.H∞control and robust stabilization of two-dimensional systems in Roesser models ［J］.Automatica，2001，37（2）：205-211.

［6］GUAN Xinping，LONG Chengnian，DUAN Guangren.Robust optimal guaranteed cost control for 2-D discrete systems［J］.IEE Proceedings on Control Theory and Applications，2001，148（5）：355-361.

［7］吳敏，陳詩桓，佘錦華，等.基于二維混合模型的改進(jìn)型重復(fù)控制系統(tǒng)保性能設(shè)計(jì)方法［J］.自動化學(xué)報(bào)，2009，35（1）：54 -64 WU Ming，CHEN Shihuan，SHE Jinhua，et al.Guaranteed cost design of modified repetitive control systems based on 2-D hybrid model［J］.Acta Automatica Sinica，2009，35（1）：54-64.

［8］WU Ligang，GAO Huijun.Sliding mode control of two-dimensional systems in roesser model［J］.IET Control Theory&Applications，2008，2（4）：352-364.

［9］CUI Jiarui，HU Guangda.State estimation of 2-D stochastic systems represented by FM-II model［J］.Acta Automatica Sinica，2010，36（5）：755-761.

［10］HESPANHA J P，NAGHSHTABRIZI P，XU Yonggang.A survey of recent results in networked control systems［J］.Proceedings of the IEEE，2007，95（1）：138-162.

［11］ZHANG Wei，BRANICKY M S，PHILLIPS S M.Stability of networked control systems［J］.IEEE Control Systems magazine，2001，21（1）：85-99.

［12］黨向東，張慶靈.時變時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13（4）：592-602. DANG Xiangdong，ZHANG Qingling.Stability analysis of NCS with time-varying delay［J］.2009，13（4）：592-602.

［13］WANG Zidong，YANG Fuwen，HO D W C，et al.Robust H∞control for networked systems with random packet losses［J］. IEEE Trans.Systems，Man and Cybernetics-Part B，2007，37 （4）：916-924.

［14］王常虹，奚伯齊，李清華，等.網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)魯棒L2-L∞控制器設(shè)計(jì)［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2010，14（2）：25-30. WANG Changhong，XI Boqi，LI Qinghua，et al.Robust L2-L∞controller design for networked control systems［J］.Electric Machines and Control，2010，14（2）：25-30.

［15］游科友，謝立華.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最新研究綜述［J］.自動化學(xué)報(bào)，2013，39（2）：101-118. YOU Keyou，XIE Lihua.Survey of recent progress in networked control systems［J］.Acta Automatica Sinica，2013，39（2）：101-118.

［16］LIU Xiuming，GAO Huijun，SHI Peng，et al.Robust H∞filtering for 2-D systems with intermittent measurements［J］.Circuits.Systems&Signal Processing.2009，28（2）：283-303.

［17］BU Xuhui，WANG Hongqi，ZHENG Zheng，et al.H∞control for network-based 2-D systems with missing measurements［J］. Abstract and Applied Analysis，2014，2014（5）：1-11.

［18］BROCKETT R W，LIBERZON D.Quantized feedback stabilization of linear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45（7）：1279-1289.

［19］LIBERZON D.Hybrid feedback stabilization of systems with quantized signals［J］.Automatica，2003，39（9）：1543 -1554.

［20］Fu Minyue，XIE Lihua.The sector bound approach to quantized feedback control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（11）：1698-1710.

［21］YUE Dong，PENG Chen，TANG Gongyou.Guaranteed cost control of linear systems over networks with state and input quantizations［J］.IEE Proceedings：Control Theory and Applications，2006，153（6）：658-664

［22］PENG Chen，TIAN Yuchu.Networked H∞control of linear systems with state quantization［J］.Information Sciences，2007，177（24）：5763-5774.

［23］TIAN Engang，YUE Dong，PENG Chen.Quantized output feedback control for networked control systems［J］.Information Sciences，2008，178（12）：2734-2749.

［24］ELIA N，MITTER K.Stabilization of linear systems with limited information［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2001，46（9）：1384-1400.

（編輯：賈志超）

Quantized state feedback control for 2-D Roesser systems with packet dropouts

BU Xu-hui， CHENG Zi-hao， YU Fa-shan， YANG Jun-qi
（School of Electrical Engineering&Automation，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China）

The problem of quantized state feedback control was investigated for 2-D Roesser systems with packet dropouts.It is assumed that the 2-D system is implemented via a networked control system and the states of the controlled system are available.The measurements of state signal are quantized by logarithmic quantizer before being communicated.Moreover，the measurements missing often occur due to the communication channel failure.Firstly，the data missing phenomena was modeled by a Bernoulli distributed stochastic variable taking values of 1 and 0，and the stochastic stability for the 2-D system is defined. Then，a sufficient condition was derived in virtue of the method of sector-bounded uncertainties，which guarantees that the closed-loop system was stochastically stable.Based on the condition，quantized state feedback controller was designed by using linear matrix inequalities technique.Finally，the simulation example was given to illustrate the proposed method.

2-Dsystems；networkedcontrolsystems；quantizedcontrol；missingmeasurements；stochastic system

10.15938/j.emc.2016.03.015

TP 273

A

1007-449X（2016）03-0096-06

2014-11-27

國家自然科學(xué)基金（61203065，61573129）；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目（2014GGJS-041）；河南省高等學(xué)?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)基金項(xiàng)目

卜旭輝（1981—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)榈鷮W(xué)習(xí)控制、網(wǎng)絡(luò)控制以及智能交通；

程子豪（1990—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)槎S系統(tǒng)控制、網(wǎng)絡(luò)控制；

余發(fā)山（1952—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楣I(yè)過程控制、電力電子傳動；

楊俊起（1979—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)楣收显\斷、狀態(tài)估計(jì)理論。

卜旭輝