董焱章，劉書田

（1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院汽車動(dòng)力傳動(dòng)與電子控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北十堰442002；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

負(fù)折射率材料的實(shí)現(xiàn)模式及傳輸衰減分析

董焱章1，劉書田2

（1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院汽車動(dòng)力傳動(dòng)與電子控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北十堰442002；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

推導(dǎo)了均勻材料折射率完整的解析表達(dá)式，并基于此按照材料導(dǎo)磁性、導(dǎo)電性和介電性的不同情形討論了電磁波的傳輸模式，結(jié)果表明材料的導(dǎo)磁性和介電性是負(fù)折射率的必要條件；進(jìn)而得到了實(shí)現(xiàn)負(fù)折射率的3種可能情形，即磁導(dǎo)率和介電常數(shù)至少一個(gè)參數(shù)為負(fù)值，與此同時(shí)傳輸衰減上升為負(fù)折射率材料的新挑戰(zhàn)；雖然材料的導(dǎo)電性不是負(fù)折射率的決定因素，但導(dǎo)電性與材料的傳輸衰減關(guān)系密切。此外也探討了零折射率材料的凋落波傳輸模式。

負(fù)折射率；零折射率；傳輸衰減；左手材料；超材料設(shè)計(jì)

從場(chǎng)的角度來看，左手超材料的介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ均為負(fù)值，此時(shí)折射率n也相應(yīng)地取負(fù)值；負(fù)折射率的典型體現(xiàn)是負(fù)折射［1］，同時(shí)負(fù)折射也是左手超材料逆斯涅爾定律的直接結(jié)果，由于在第一時(shí)間有力地證實(shí)了左手超材料的存在［2］，負(fù)折射率成為人們研究最多的左手超特性［3-7］，甚至在很大程度上，負(fù)折射率材料就等同于左手超材料。負(fù)折射率是左手超材料最重要的特異性能，它決定了左手超材料的其他奇異特性，如超分辨率成像［8-13］、光子隧穿效應(yīng)［14］等。

負(fù)折射率是一種新穎的電磁新屬性，目前僅存在于人工制備的左手超材料中［15-18］；盡管如此，介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ的雙負(fù)性只是負(fù)折射率的充分非必要條件，自然界中天然物質(zhì)或者其他人工超材料同樣有實(shí)現(xiàn)負(fù)折射率的可能；若能從更一般的途徑獲得負(fù)折射率屬性，那將對(duì)負(fù)折射率的工程應(yīng)用具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。因此，本文中首先推導(dǎo)了均勻材料折射率關(guān)于介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ的完整表達(dá)式，接著根據(jù)材料導(dǎo)磁性、導(dǎo)電性和介電性的不同分別從理論上闡釋了產(chǎn)生負(fù)折射率的可能性，最后討論了相應(yīng)情形下電磁波的傳輸衰減問題。

1　折射率的完整表達(dá)式

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋于1873年建立了電場(chǎng)與磁場(chǎng)的定律，若采用三維空間中的電磁場(chǎng)矢量符號(hào)表示，則微分形式的麥克斯韋方程組為［19］

式中磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H、電位移矢量D、電流密度矢量J、電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B和凈電荷密度ρ等電磁場(chǎng)物理量均是位置坐標(biāo)矢量r和時(shí)間t的實(shí)變函數(shù)。假定傳播材料為線性的、均勻的和各向同性的簡(jiǎn)單媒質(zhì)，則電位移矢量D與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H、電流密度矢量J與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E之間存在簡(jiǎn)單的本構(gòu)關(guān)系：

介電常數(shù)（電容率）ε、磁導(dǎo)率μ和電導(dǎo)率σ暫時(shí)未考慮電極化、磁化和導(dǎo)電過程中的影響因素。

一般傳播材料的整體凈電荷密度ρ為0，此時(shí)麥克斯韋方程組可以歸結(jié)到一個(gè)關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E的時(shí)域形式波動(dòng)方程：

在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的情況下，可以引入一個(gè)正弦/余弦函數(shù)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量試探解：

式中：Re［］為取其實(shí)部值的簡(jiǎn)寫符號(hào)；E0為電場(chǎng)強(qiáng)度的實(shí)常數(shù)幅值矢量；Ec為關(guān)于位置坐標(biāo)矢量r和波矢量k的電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)幅值矢量。將試探解（4）代入波動(dòng)方程（3）可得一個(gè)關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量Ec的頻域形式波動(dòng)方程：

進(jìn)而可以得到電磁波在材料中傳播的色散方程：

將該色散方程式中各本構(gòu)參數(shù)用有效值符號(hào)表示，即可獲得具有普遍意義的色散方程：

式（7）中3個(gè)有效電磁本構(gòu)參數(shù)均為復(fù)數(shù)，其復(fù)數(shù)表達(dá)式為

此處有效介電常數(shù)和有效磁導(dǎo)率考慮了電極化和磁化等影響因素，此外電導(dǎo)率σ的相關(guān)項(xiàng)已經(jīng)被歸入到有效介電常數(shù)虛部項(xiàng)的一部分。從式（7）～（8）可以推導(dǎo)出有效折射率的表達(dá)式：

式中：r是指有效介電常數(shù)和有效磁導(dǎo)率除去真空項(xiàng)的相對(duì)值，通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可以推導(dǎo)出有效折射率的實(shí)、虛部滿足式（10）所示的方程組：

式中電磁本構(gòu)參數(shù)的實(shí)虛部均為關(guān)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率ω的實(shí)變函數(shù)，為求表達(dá)式簡(jiǎn)潔，省略這個(gè)函數(shù)關(guān)系標(biāo)記，且r和eff也將省略，如無特別說明，后面出現(xiàn)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均指有效相對(duì)值形式。通過二次方程的求解，且根據(jù)折射率虛部的非負(fù)性可以最終獲得折射率實(shí)、虛部的完整表達(dá)式：

從折射率的實(shí)部表達(dá)式可以明顯看出：只需A項(xiàng)小于0，就可以實(shí)現(xiàn)折射率的實(shí)部為負(fù)值，即通常所說的負(fù)折射率。

2　非磁性材料（μ′≈1和μ″≈0）

2.1絕緣材料（σ=0）

先從非磁性絕緣材料論述，對(duì)于這種相對(duì)簡(jiǎn)單的媒質(zhì)，介電常數(shù)的實(shí)部和虛部嚴(yán)格滿足Kram?ers-Kronig關(guān)系［20］：

式中：［］PV為區(qū)間積分區(qū)間除去ω點(diǎn)的積分主值符號(hào)。一般地，可以認(rèn)為無窮大頻率處的介電常數(shù)ε∞與真空中的介電常數(shù)ε0相等，此時(shí)介電常數(shù)的虛部值為零；從式（12）可以直接推出零頻率處的介電常數(shù)εs虛部值也為零，這符合介電常數(shù)奇函數(shù)的特性，零頻率處的介電常數(shù)εs實(shí)部值是個(gè)有限大的值，即電學(xué)里常用的靜態(tài)場(chǎng)介電常數(shù)，其可以通過查閱相應(yīng)的材料參數(shù)表獲知。

一般絕緣材料的介電常數(shù)虛部值非負(fù)，此時(shí)折射率的完整表達(dá)式（11）可以簡(jiǎn)化為

此時(shí)，材料的折射率實(shí)部值是非負(fù)的，即不存在負(fù)折射率的可能。在特殊情況下（ε′＜0且ε″=0）存在折射率實(shí)部為零的可能，但此時(shí)折射率虛部非零（sqrt（-ε′）），即零折射率的非磁性絕緣材料存在一定的傳輸衰減，但不會(huì)產(chǎn)生能量的耗散（μ″=0且ε″=0），僅僅是一種禁帶傳播模式——凋落波。除此情況之外，折射率實(shí)部均取正值。對(duì)于絕大多數(shù)絕緣材料（|ε′|量級(jí)設(shè)為1，則ε″＜10-1），分別對(duì)應(yīng)2種傳輸模式：

其中（14 a）近似無衰減的常規(guī)傳輸通帶模式對(duì)應(yīng)了自然界中大多數(shù)非磁性透波電介質(zhì)；而（14 b）準(zhǔn)凋落波傳輸禁帶模式則對(duì)應(yīng)了負(fù)介電常數(shù)材料，如電等離子體等。對(duì)于其他情況，傳輸模式為

式中所列舉的情形，其傳輸衰減都比較高，但目前尚未發(fā)現(xiàn)自然界中與之相對(duì)應(yīng)的非磁性絕緣材料，工程上若要求高衰減超材料，則超高衰減模式式（15 a）將是不錯(cuò)的選擇。

2.2導(dǎo)電材料（σ＞0）

此時(shí)，材料介電常數(shù)的實(shí)部和虛部不再嚴(yán)格滿足Kramers-Kronig關(guān)系，介電常數(shù)的虛部多了一個(gè)電導(dǎo)率項(xiàng)：

跟絕緣材料的差別也源于這個(gè)電導(dǎo)率項(xiàng)。值得注意的是零頻率（ω=0）或者超導(dǎo)（σ=∞）情況下，介電常數(shù)的虛部值將趨于無窮大，這種現(xiàn)象在反演超材料電磁本構(gòu)參數(shù)時(shí)經(jīng)常遇到，這跟前面絕緣材料的“零頻率時(shí)介電常數(shù)虛部值為零”有很大差別，問題出在電導(dǎo)率被人為地歸入到介電常數(shù)的虛部項(xiàng)上。而無窮大頻率（ω=∞）或者不導(dǎo)電（σ=0）情況下，電導(dǎo)率項(xiàng)的貢獻(xiàn)為零，此時(shí)介電常數(shù)的虛部將退回到絕緣材料的情形。

如果不再區(qū)分電導(dǎo)率項(xiàng)和材料極化損耗項(xiàng)，把介電常數(shù)的虛部看作一個(gè)整體，那么其折射率的變化情形將類似絕緣材料的討論結(jié)果，只不過導(dǎo)電材料的介電常數(shù)虛部值往往比較大（ε″≥1），式（15）所列舉的傳輸模式對(duì)于導(dǎo)電材料將成為常態(tài)，跟導(dǎo)電引起的歐姆損耗密切相關(guān)。

此外還可按照導(dǎo)電和極化的情況分類討論：低頻率或者高電導(dǎo)率時(shí)，導(dǎo)電材料（如金屬導(dǎo)體）具有很強(qiáng)的電磁屏蔽作用；而高頻率或者低電導(dǎo)率時(shí)，導(dǎo)電材料可以在一定程度上被看做絕緣材料。

對(duì)于非磁性材料，無論是絕緣材料，還是導(dǎo)電材料都不存在負(fù)折射率的可能，但存在單負(fù)介電常數(shù)引起的凋落波禁帶傳輸模式。

3　磁性材料（一般102＜　||μ′＜103）

3.1絕緣材料（σ=0）

此時(shí)，介電常數(shù)的實(shí)部和虛部嚴(yán)格滿足Kram?ers-Kronig關(guān)系，前面所得的關(guān)于介電常數(shù)的定性結(jié)論仍然是成立的。若電的極化特性很弱（ε′=1 和ε″=0），那么折射率的情形完全類同非磁性絕緣材料，只是討論對(duì)象由介電常數(shù)變成磁導(dǎo)率，這跟折射率完整表達(dá)式中介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的對(duì)偶地位是一致的。此時(shí)磁性絕緣材料也不存在負(fù)折射率的可能，僅存在單負(fù)磁導(dǎo)率引起的凋落波禁帶傳播模式。如果電的極化因素不容忽略，則折射率的表達(dá)式需要退回到完整表達(dá)式式（11）。

1）介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的實(shí)部均為非負(fù)值（ε′≥0和μ′＞0），由式（11）容易推知此時(shí)折射率的實(shí)部非負(fù)，即不存在負(fù)折射率的可能。此外，對(duì)于較小值的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率虛部（ε″＜10-1和μ″＜1），折射率情形為

這種傳輸模式對(duì)應(yīng)了大多數(shù)磁性透波電介質(zhì)，具備極低衰減的常規(guī)傳輸通帶。對(duì)于較大值的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率虛部（ε″＞102和μ″＞104），折射率情形為

該情形屬于準(zhǔn)凋落波傳輸模式，目前尚未發(fā)現(xiàn)自然界中與之相對(duì)應(yīng)的磁性絕緣材料。而對(duì)于其他情況，如介電常數(shù)和磁導(dǎo)率實(shí)虛部量級(jí)相同（1＜ε″＜10 和102＜μ″＜103），折射率情形為

其中式（20 a）情形對(duì)應(yīng)一定衰減的常規(guī)傳輸通帶模式。式（20 b）情形的分支結(jié)果取決于B項(xiàng)的正負(fù)性：取正值則對(duì)應(yīng)上支，即對(duì)應(yīng)極低衰減的常規(guī)傳輸通帶模式；取負(fù)值則對(duì)應(yīng)下支，即對(duì)應(yīng)準(zhǔn)凋落波禁帶傳輸模式。該分支判定規(guī)則同樣適用于式（20 c）情形，區(qū)別在于式（20 c）情形分別對(duì)應(yīng)較低或較高衰減的常規(guī)傳輸通帶模式。

2）介電常數(shù)的實(shí)部非負(fù)而磁導(dǎo)率的實(shí)部為負(fù)（ε′≥0和μ′＜0），由式（11）容易推知此時(shí)折射率的實(shí)部可能取負(fù)值，即存在負(fù)折射率的可能。此外，鑒于此時(shí)B項(xiàng)的恒負(fù)性，由式（11）也可以推知此時(shí)折射率的虛部值總是大于其實(shí)部絕對(duì)值，即其品質(zhì)因子（FOM）不高。具體折射率情形為

其中式（21 a）情形的負(fù)折射率對(duì)應(yīng)由單負(fù)磁導(dǎo)率引起的左手傳輸模式，同時(shí)伴隨較高的衰減。式（21 b）情形對(duì)應(yīng)了較大衰減的常規(guī)傳輸模式，對(duì)于磁諧振型的負(fù)磁導(dǎo)率材料，這種傳輸模式是它的常態(tài)。式（21 c）情形對(duì)應(yīng)凋落波禁帶傳輸模式，屬于過渡階段的零折射率磁性絕緣材料，其更一般的準(zhǔn)凋落波禁帶傳輸模式為

3）介電常數(shù)的實(shí)部為負(fù)而磁導(dǎo)率的實(shí)部非負(fù)（ε′＜0和μ″＞0），類似單負(fù)磁導(dǎo)率材料，單負(fù)介電常數(shù)材料也存在負(fù)折射率的可能。此時(shí)，B項(xiàng)的值仍為恒負(fù)，即折射率的虛部值仍恒大于其實(shí)部絕對(duì)值。具體折射率情形為

比較式（23）和（21）可以發(fā)現(xiàn)它們互為對(duì)偶情形，這依然跟折射率完整表達(dá)式中介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的對(duì)偶地位相關(guān)。

4）介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的實(shí)部均為負(fù)值（ε′＜0 和μ′＜0），這是左手材料的定義情形，目前尚未發(fā)現(xiàn)具有這種雙負(fù)電磁本構(gòu)參數(shù)的天然材料。盡管如此，從理論上容易判斷此時(shí)的折射率實(shí)部值恒負(fù)，即負(fù)折射率將作為左手材料的固有屬性存在。折射率完整表達(dá)式中介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的對(duì)偶特性，加之“負(fù)負(fù)得正”的法則，雙負(fù)材料的折射率變化情形將類似雙正的常規(guī)材料，區(qū)別在于前者的折射率實(shí)部前多添了一個(gè)負(fù)號(hào)。具體情形為

若追求高傳輸效率的左手材料設(shè)計(jì)，式（24 a）所示情形將是首選。而對(duì)于介電常數(shù)和磁導(dǎo)率實(shí)虛部量級(jí)相同等其他情況，折射率情形為

其中式（25 a）所示情形對(duì)應(yīng)一定衰減的左手傳輸模式。類似式（20 b～c）情形的分支結(jié)果取決于B項(xiàng)的正負(fù)性：取正值則對(duì)應(yīng)上支，即對(duì)應(yīng)近似無衰減的左手傳輸模式（或較低衰減的左手傳輸模式）；取負(fù)值則對(duì)應(yīng)下支，即對(duì)應(yīng)準(zhǔn)凋落波禁帶傳輸模式（或較高衰減的左手傳輸模式）。

3.2導(dǎo)電材料（σ＞0）

同非磁性導(dǎo)電材料的討論類似，電導(dǎo)率影響磁性材料的也僅僅是介電常數(shù)的虛部：零頻率（ω=0）或者超導(dǎo)（σ=∞）情況下，電導(dǎo)率項(xiàng)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了極化項(xiàng)，介電常數(shù)的虛部值將趨于無窮大；無窮大頻率（ω=∞）或者不導(dǎo)電（σ=0）情況下，電導(dǎo)率項(xiàng)的貢獻(xiàn)為零，問題將退回到磁性絕緣材料的情形。

若把介電常數(shù)的虛部看作一個(gè)整體，那么其折射率的變化情形也將類似磁性絕緣材料的討論結(jié)果，只不過此時(shí)導(dǎo)電材料的介電常數(shù)虛部值比較大，式（19）所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)凋落波傳輸模式對(duì)于磁性導(dǎo)電材料將成為常態(tài)，式（21 a）、式（23 a）、式（25 a）所示情形也將變得更為可能，亦即伴隨較大的衰減，這當(dāng)然跟導(dǎo)電引起的歐姆損耗是密切相關(guān)的。

4　結(jié)論

對(duì)于均勻材料來說，材料的導(dǎo)磁性和介電性是負(fù)折射率的必要條件，同時(shí)產(chǎn)生負(fù)折射率還需要磁導(dǎo)率和介電常數(shù)至少一個(gè)為負(fù)值，盡管如此，單負(fù)電磁本構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)折射率虛部往往較大，這將導(dǎo)致其左手帶寬的傳輸性能大打折扣；負(fù)折射率是左手材料（雙負(fù)電磁本構(gòu)參數(shù)）的固有屬性，其左手傳輸?shù)乃p水平取決于介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的實(shí)虛部對(duì)比情況，雖然存在近似無衰減的左手傳輸模式可能，但其產(chǎn)生條件（ε″＜＜||ε′和μ″＜＜||μ′）所對(duì)應(yīng)的材料尚未被發(fā)現(xiàn)。材料的導(dǎo)電性不是負(fù)折射率的決定因素，但會(huì)顯著影響材料的介電常數(shù)虛部值，伴隨導(dǎo)體而來的傳輸衰減，與導(dǎo)電引起的歐姆損耗是密切相關(guān)的。特殊情況下，材料折射率可以為零值，此時(shí)電磁波處于（準(zhǔn)）凋落波傳輸模式。

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Analysis on Realization Modes and Transmission Attenuation of Negative Refractive Index Materials

Dong Yanzhang1，Liu Shutian2
（1.Hubei Key Laboratory of Automotive Power Train and Electronic Control，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China；2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

The complete analytical expression of the refractive index was theoretically derived.Based on the expression，the transmission modes of electromagnetic wave were discussed in terms of different cas?es about permeability，conductivity and dielectricity.The results show that the permeability and dielec?tricity are necessary conditions of the negative refractive index；then three possible cases are obtained to generate a negative refractive index，that is at least permeability or permittivity is negative.At the same time，the transmission attenuation becomes a new challenge of the negative refractive index mate?rials.The conductivity is not a determining factor of the negative refractive index.However，there is a close relation between the conductivity and transmission attenuation.In addition，the transmission modes of the evanescent waves from the zero refractive index materials were discussed.

negative refractive index；zero refractive index；transmission attenuation；left-handed mate?rials；metamaterial design

O441

A

1008-5483（2016）02-0043-06

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.02.011

2016-03-16

國家自然科學(xué)基金（11502075，11504102）；湖北省自然科學(xué)基金（2014CFB629）；湖北汽車工業(yè)學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金（BK201501）

董焱章（1983-），男，山東諸城人，博士，從事工程力學(xué)、結(jié)構(gòu)與多學(xué)科優(yōu)化、超材料設(shè)計(jì)等方面的研究。E-mail：dongyz@huat.edu.cn