紀華偉　虞文澤　胡小平　于保華

杭州電子科技大學，杭州，310018

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刀具負載對蜂窩復合材料超聲切割聲學系統(tǒng)阻抗特性的影響

紀華偉虞文澤胡小平于保華

杭州電子科技大學，杭州，310018

針對刀具負載對蜂窩復合材料超聲切割聲學系統(tǒng)的影響，利用四端網(wǎng)絡法，將壓電換能器與變幅桿結(jié)合在一起，提出了聲學系統(tǒng)的整體設(shè)計方程，得出了負載與聲學系統(tǒng)阻抗特性的關(guān)系式。利用有限元軟件對聲學系統(tǒng)進行模態(tài)分析及諧響應分析，并利用阻抗分析儀和激光位移傳感器對聲學系統(tǒng)的阻抗﹑諧振頻率和輸出振幅進行檢測。仿真和實驗結(jié)果表明：隨著刀具負載的增大，聲學系統(tǒng)的阻抗值增大，諧振頻率減小，但仿真與實驗得出的輸出振幅與理論分析不同，這是由于刀具的放大作用造成的。研究結(jié)果對聲學系統(tǒng)的設(shè)計及實際應用有指導意義。

刀具負載；蜂窩復合材料；四端網(wǎng)絡法；聲學系統(tǒng)；阻抗

0　引言

隨著蜂窩復合材料在航空等領(lǐng)域占有越來越重要的地位，其加工難題也越來越突出。傳統(tǒng)加工方法采用的是高速銑削的方式，但是加工之后的材料表面出現(xiàn)毛刺和斷裂，并且其加工過程會產(chǎn)生大量的粉塵，對人體有巨大的傷害。實踐證明，超聲加工之后的材料表面平整并且不會產(chǎn)生粉塵。利用直刃刀具對蜂窩復合材料進行超聲切割是針對粗加工提出的，相較于超聲銑削，超聲切割的效率更高，更適合用于進行粗加工。

超聲切割聲學系統(tǒng)的設(shè)計方法主要有傳統(tǒng)解析法、阻抗分析法﹑四端網(wǎng)絡法[1-2]等。由于無法獲取刀具負載阻抗等具體的相關(guān)參數(shù)，故傳統(tǒng)的設(shè)計方法很難將刀具負載與聲學系統(tǒng)一起進行設(shè)計。傳統(tǒng)的設(shè)計方法解析方程十分復雜，并且缺少能夠?qū)Q能器以及變幅桿結(jié)合起來的理論方法。針對負載，郭東明等[3]研究了工具負載對復合變幅桿諧振性能的影響，得出了工具負載的尺寸與諧振頻率之間的關(guān)系；趙波等[4]通過實驗得出不同負載與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系，其研究結(jié)果表明：負載增大時，聲學系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)急劇下降；林書玉等[5]針對阻性負載提出了阻性與諧振頻率及放大系數(shù)之間的關(guān)系；尹曉春等[6]利用瞬態(tài)響應解對考慮工作負載的超聲變幅桿的瞬態(tài)動力學進行了研究，分析了高頻振動下的變幅桿性能變化?，F(xiàn)有的大多數(shù)研究都是針對單一對象進行分析的[7-13]，而不是將各個部件結(jié)合在一起進行理論分析，同時，在設(shè)計時無法對刀具進行參數(shù)化分析，故現(xiàn)有的設(shè)計都是針對空載進行的，從而導致設(shè)計與實際帶負載的情況之間存在很大的偏差。

考慮到以上問題，本文通過理論推導得出了壓電陶瓷四端網(wǎng)絡參數(shù)表達式，并通過四端網(wǎng)絡法將壓電換能器與變幅桿結(jié)合在一起，得出聲學系統(tǒng)輸入阻抗表達式﹑頻率方程和輸出振幅關(guān)系式。利用阻抗分析儀和激光位移傳感器對實際聲學系統(tǒng)進行測試，得出增加刀具負載之后聲學系統(tǒng)的輸入阻抗﹑諧振頻率和輸出振幅的變化規(guī)律。

1　基于四端網(wǎng)絡法的超聲切割聲學系統(tǒng)阻抗分析

對于任意函數(shù)的縱振桿都可以將其等效成一四端網(wǎng)絡[1]，如圖1所示。圖1中，vin、Fin分別為輸入振速和輸入力，vout、Fout分別為輸出振速和輸出力，Ai為四端網(wǎng)絡參數(shù),i=1,2,3,4。

圖1　四端網(wǎng)絡示意圖

超聲切割聲學系統(tǒng)包含壓電陶瓷、前端蓋、變幅桿以及負載，分別考慮壓電陶瓷、前端蓋以及變幅桿形成的四端網(wǎng)絡系統(tǒng)，并根據(jù)聲學系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)將其組合在一起，則超聲切割聲學系統(tǒng)可以等效成如圖2所示的四端網(wǎng)絡。圖2中，U、I分別為聲學系統(tǒng)輸入電壓和輸入電流，ai、bi、ci分別為壓電陶瓷、前端蓋以及變幅桿的四端網(wǎng)絡參數(shù)，分別求出各參數(shù)表達式并將其組合在一起即形成聲學系統(tǒng)四端網(wǎng)絡參數(shù)。

圖2　超聲切割聲學系統(tǒng)四端網(wǎng)絡示意圖

1.1變幅桿四端網(wǎng)絡

一維縱振桿波動方程[1]為

(1)

變幅桿的四端網(wǎng)絡表達式為

(2)

邊界條件為：F2=-F(0),F3=-F(L3),v2=v(0),v3=-v(L3)。其中，L3為變幅桿長度。

以圓錐形變幅桿為例，變幅桿四端網(wǎng)絡中的參數(shù)如下：

α=(N-1)/(NL3)

式中，ρ3為變幅桿密度； c3為變幅桿中的聲速； S3、S4分別為變幅桿大端面面積和小端面面積。

1.2壓電陶瓷四端網(wǎng)絡分析

壓電陶瓷不同于變幅桿，它并不是一個單純力輸入輸出的元件，而是將電能轉(zhuǎn)化成機械能的元件，輸入為電壓和電流，輸出為振速和力，其四端網(wǎng)絡示意圖見圖2。

選擇圓柱形壓電陶瓷，取長度為Lp、端面面積為Ap的壓電陶瓷，在距離壓電陶瓷端面z處取微分單元dz為分析對象，如圖3所示。其中,u3為z處的位移。

圖3　壓電陶瓷模型

當壓電陶瓷滿足一維縱振時，X1、X2方向的應力T1、T2，電場強度E1、E2，電位移D1、D2可忽略不計，即

T1=T2=0

E1=E2=0

D1=D2=0

對于無損耗的壓電材料，e型壓電方程[14]為

(3)

結(jié)合牛頓第二定律和電荷守恒方程可得

(4)

又因

(5)

式中，φ為電勢。

將式(3)、式(5)代入式(4)可得

(6)

利用分離變量的方法，可將位移和電勢的空間和時間函數(shù)表示如下：

(7)

將式(7)代入式(6)可得

(8)

根據(jù)式(8)可得到：

(9)

利用邊界條件即可求得c1、c2、c3、c4。

同理可解得：

(10)

通過電位移在電極面積上的積分，再對時間求導就可得到電流，通過位移對時間的微分可得到壓電陶瓷的振速，則有

(11)

根據(jù)式(11)以及邊界條件u3(z=0)=0,φ(z=0)=0，T3(z=Lp)=F3/Ap,φ(z=Lp)=-U，可得到壓電陶瓷四端網(wǎng)絡傳遞參數(shù)：

1.3前端蓋四端網(wǎng)絡分析

壓電陶瓷的兩個輸出端分別連接著壓電換能器的前端蓋和后端蓋，而變幅桿及負載均連接在前端蓋上，所以只需要研究前端蓋方向上的等效模型即可。前端蓋采用圓柱形，因此可將前端蓋看成一節(jié)圓柱形變幅桿，其四端網(wǎng)絡示意圖見圖2，四端網(wǎng)絡參數(shù)的推導方法與變幅桿相同。通過計算，可得前端蓋四端網(wǎng)絡參數(shù)為

b1=b4=cos(k2L2)

k2=ω2/c2

式中,ρ2為前端蓋密度；S2為前端蓋端面面積；c2為前端蓋中的聲速；L2為前端蓋長度。

1.4超聲切割聲學系統(tǒng)阻抗特性

根據(jù)變幅桿、壓電陶瓷以及前端蓋的四端網(wǎng)絡分析，由圖2可得到聲學系統(tǒng)傳輸矩陣：

(12)

(13)

式中，ZF為負載。

則輸入阻抗：

(14)

由式(14)可知，當負載ZF增大時，輸入阻抗|Zi|也隨之變大。

當ZF=0，即不存在負載時

(15)

當Zi為純阻時，可得如下頻率方程：

(16)

參考變幅桿放大系數(shù)M的定義，可提出超聲切割聲學系統(tǒng)的輸入輸出的關(guān)系式：

(17)

如果刀尖處的瞬時位移為s=Asin(2πft+b)(A為刀尖振幅)，則刀尖瞬時速度為v=2πfAcos(2πft+b)，故刀尖的最大速度與振幅的關(guān)系為vmax=2πfA。

結(jié)合上述條件可得到振幅﹑負載和電流的關(guān)系式：

(18)

2　帶刀具負載的有限元仿真

由以上分析可知刀具負載對聲學系統(tǒng)的阻抗值和諧振頻率的影響。除了這兩個參數(shù)之外，對于超聲切割而言，影響切割效果的另一個參數(shù)振幅，也是極其重要的。

通過增加刀具長度的方式來增大刀具的負載值。利用ANSYSWorkbench軟件對空載以及帶載荷的聲學系統(tǒng)進行模態(tài)分析和諧響應分析。

2.1帶刀具負載的模態(tài)分析

對空載聲學系統(tǒng)進行模態(tài)分析， 求解前25階模態(tài)。得到空載聲學系統(tǒng)的縱振模態(tài)諧振頻率為20 609Hz。在空載聲學系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加不同長度的刀具之后得到同樣的模態(tài)圖，將數(shù)據(jù)進行整理之后得到圖4。

由圖4可知，隨著刀具長度的增加，聲學系統(tǒng)的諧振頻率呈直線下降的趨勢，下降率大約是15Hz/mm，而與空載相比，諧振頻率下降約400～700Hz，二者的偏差很大，這與理論分析的結(jié)果相同。

圖4　刀具長度與諧振頻率關(guān)系圖(仿真結(jié)果)

2.2帶刀具負載的諧響應分析

分別對空載和帶刀具載荷的聲學系統(tǒng)進行諧響應分析。在法蘭處施加位移約束。在壓電陶瓷處施加位移為4μm的位移力，設(shè)置諧振頻率值，并求解。

從圖5可以看到，空載聲學系統(tǒng)小端面的最大振幅約為26μm，相較于輸入端的4μm，放大了6倍多，可見放大的倍數(shù)很大。將聲學系統(tǒng)帶上刀具之后進行諧響應分析，將得到的數(shù)據(jù)進行整理，得到圖6。從圖6可見，隨著刀具長度的增加，刀尖處的輸出振幅也增大，這種增長基本呈現(xiàn)線性增長態(tài)勢，刀具長度增加20mm時，輸出振幅增加約6μm。 但是，根據(jù)前面的分析，當負載阻抗越大時，輸出振幅應該變小，仿真出的結(jié)果明顯與理論不符。通過諧響應分析，如圖7所示，可以看到刀具本身存在振幅放大的現(xiàn)象，說明刀具并不只是一個純負載，其放大作用對振幅的影響比其作為一個負載的抑制作用更大，故呈現(xiàn)的是放大效果。

圖5　空載聲學系統(tǒng)諧響應分析

圖6　刀具長度與輸出振幅的關(guān)系圖(仿真結(jié)果)

圖7　帶刀具聲學系統(tǒng)諧響應分析

3　刀具負載對聲學系統(tǒng)的影響實驗

利用阻抗分析儀和激光位移傳感器對聲學系統(tǒng)的阻抗特性和輸出振幅進行測試，實驗平臺組成如圖8所示。圖8中，換能器的諧振頻率為20kHz，功率為1500W；變幅桿的大小端直徑分別為62mm和17mm；激光位移傳感器的采樣頻率最大為392kHz，采樣精度為±0.02%。

圖8　刀具負載實驗圖

3.1刀具負載對阻抗值的影響

測得的空載的聲學系統(tǒng)的阻抗值和帶刀具的聲學系統(tǒng)阻抗值如表1所示。

表1　聲學系統(tǒng)阻抗值　Ω

由表1可知，隨著刀具負載的增大，聲學系統(tǒng)的整體負載也增大，這與理論上的分析相同，并且阻抗值從36.596 Ω增大到332.025 Ω，可見刀具質(zhì)量雖然占整體質(zhì)量的比例很小，但是對聲學系統(tǒng)的阻抗值影響巨大。

3.2刀具負載對諧振頻率的影響

測得的空載的聲學系統(tǒng)的諧振頻率為22 068.8 Hz，而理論上空載聲學系統(tǒng)的諧振頻率為20 609 Hz，這種差距并不是理論或者制作出現(xiàn)錯誤，而是人為使之存在的。超聲波發(fā)生器的工作頻率范圍從18.5 kHz到22 kHz，并且正常工作時，聲學系統(tǒng)都是帶刀具的，需要保證帶刀具的聲學系統(tǒng)諧振頻率在此范圍內(nèi)，故在制作的時候故意將諧振頻率向上偏移。

圖9中虛線部分為2.1節(jié)的仿真結(jié)果，可以看出，隨著刀具長度的增加，聲學系統(tǒng)諧振頻率呈下降趨勢，可以看到這種趨勢相對平穩(wěn)，并且下降的數(shù)值并不大，刀具長度增加10 mm，諧振頻率從19.6 kHz降到19.5 kHz，只下降了100 Hz，下降的趨勢也是線性下降。實線部分為實際測得的諧振頻率，可看出隨著刀具長度的增加，聲學系統(tǒng)的諧振頻率同樣呈下降趨勢，但是很明顯的是這種下降的趨勢更大，刀具長度增加10 mm，聲學系統(tǒng)的諧振頻率下降了大約400 Hz，是理論值的4倍。理論模型是忽略其他因素的模型，而實際的聲學系統(tǒng)受到環(huán)境﹑裝配等因素的影響，刀具的負載增大會導致其他條件的改變，這些綜合因素都會體現(xiàn)在刀具負載的增加量上。不過同樣也可以看出這些因素的共同作用結(jié)果會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。實際的聲學系統(tǒng)諧振頻率與刀具長度的關(guān)系曲線的斜率比理論分析結(jié)果更大。這也說明我們在設(shè)計刀具尺寸的時候需要考慮到綜合因素。文獻[6]中，刀具長度增加10 mm，變幅桿的諧振頻率下降近1000 Hz，比本文中的數(shù)據(jù)大得多，說明刀具負載對聲學系統(tǒng)的影響比對變幅桿的影響小。

3.3刀具負載對輸出振幅的影響

通過激光位移傳感器測得的數(shù)據(jù)如圖10所示。

圖10　刀具長度與輸出振幅的關(guān)系(實驗結(jié)果)

從圖10可以看出，實際測得的數(shù)據(jù)與仿真得到的理論數(shù)據(jù)的趨勢基本吻合，在數(shù)值上實驗值沒有理論值大。從實際的數(shù)值看，刀具的長度增加10 mm，輸出振幅值增大了2 μm，可見增長很小，這么小的增幅對切削效果而言幾乎可以忽略不計。由此也可以看出，刀具確實是具有放大效果，只是這種放大效果不明顯。

4　結(jié)論

(1)基于一維縱振桿波動方程及壓電方程，在分析變幅桿﹑壓電陶瓷﹑前端蓋四端網(wǎng)絡理論模型的基礎(chǔ)上，利用四端網(wǎng)絡法將壓電換能器﹑變幅桿和負載結(jié)合在一起，推導出了超聲切割聲學系統(tǒng)整體阻抗模型，從分析的結(jié)果看，無論負載的形式是阻值﹑抗值還是阻值加抗值，都會增加阻抗值的大小。而實驗的結(jié)果很好地驗證了理論分析結(jié)果，即刀具對系統(tǒng)阻抗的影響很大。

(2)在理論分析時，隨著負載的增大，輸出振幅會隨之減小，但在有限元分析時得出的卻是相反的結(jié)論，通過聲學系統(tǒng)諧響應分析可以看出，刀具并不是純粹的負載，而是存在一定的放大作用，這導致輸出的振幅與理論不同，實驗的結(jié)果也驗證了仿真結(jié)果是正確的。

(3)通過理論分析和實驗研究可知，隨著刀具負載的增大，聲學系統(tǒng)的諧振頻率呈下降趨勢，但實際測得的這種趨勢確比仿真得到的結(jié)果更大，分析認為仿真的結(jié)果是種理想狀態(tài)，忽略了很多周圍的因素，故實際的影響會比理論上的影響更大，而在實際應用中需考慮這樣的影響。

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(編輯盧湘帆)

Influences of Cutting Tool Load on Impedance Characteristics of Honeycomb Composite Material Ultrasonic Cutting Acoustic System

Ji HuaweiYu WenzeHu XiaopingYu Baohua

Hangzhou Dianzi University,Hangzhou，310018

The impedance characteristics of a honeycomb composite material ultrasonic cutting acoustic system varied with the cutting tool load. By combing piezoelectric transducer with horn, a hybrid design equation of the acoustic system was put forward based on four-terminal network, and the relationship between load and the impedance characteristics of acoustic system was obtained. The modal analysis and the harmonic response analysis to the acoustic system were carried on by using of the finite element software and the impedance, resonant frequency and output amplitude of the acoustic system were measured by the impedance analyzer and laser displacement sensor. Simulation and experimental results show that the impedance of the acoustic system is increased, and the resonance frequency decreases with the increase of the tool load, but the output amplitudes among theoretical analysis, simulation and experiment are different, which is due to the amplification of the tool. The study has a guiding significance for the design and applications of honeycomb composite material ultrasonic cutting acoustic system.

cutting tool load; honeycomb composite material; four-terminal network; acoustic system; impedance

2015-10-23

國家自然科學基金資助項目(51475130)；國防科工局重大專項(A3920133001)；浙江省科技計劃資助項目(2016C31045)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.016

紀華偉，男，1976年生。杭州電子科技大學機械工程學院副教授、博士。主要研究方向為精密定位與微納驅(qū)動、特種加工。發(fā)表論文20余篇。虞文澤，男，1990年生。杭州電子科技大學機械工程學院碩士研究生。胡小平，女，1970年生。杭州電子科技大學機械工程學院教授、博士。于保華，男，1978年生。杭州電子科技大學機械工程學院高級實驗師、博士。