劉　彬　姜甲浩　劉　飛　劉浩然　李　鵬

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

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受軋件水平振動(dòng)影響的板帶軋機(jī)非線性振動(dòng)特性

劉彬姜甲浩劉飛劉浩然李鵬

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

基于Roberts摩擦因數(shù)公式和Hill軋制力公式，建立能夠表征不同摩擦狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)軋制力模型；在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮軋機(jī)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和軋件振動(dòng)之間的相互影響，提出軋件-軋輥耦合振動(dòng)模型。根據(jù)廣義耗散的Lagrange原理，分別沿軋制方向和垂直于軋制方向建立動(dòng)力學(xué)平衡方程；采用多尺度法求解出考慮系統(tǒng)內(nèi)共振的幅頻特性方程，并仿真分析不同外部激勵(lì)和非線性參數(shù)作用下的軋機(jī)振動(dòng)規(guī)律。研究結(jié)果表明：滑動(dòng)摩擦狀態(tài)下耦合系統(tǒng)對內(nèi)部非線性參數(shù)變化和外部擾動(dòng)變化的敏感程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于靜摩擦狀態(tài)下的情況；適當(dāng)選取耦合三次項(xiàng)非線性參數(shù)，可以將系統(tǒng)不穩(wěn)定振動(dòng)的出現(xiàn)控制在一個(gè)較小的頻率區(qū)間，削弱軋件-軋輥耦合振動(dòng)對板帶軋機(jī)振動(dòng)的影響。

板帶軋機(jī)；非線性的；動(dòng)態(tài)軋制力；多尺度法；耦合振動(dòng)

0　引言

軋機(jī)振動(dòng)特別是軋機(jī)的垂直振動(dòng)，是冷軋帶鋼產(chǎn)品生產(chǎn)效率低下的關(guān)鍵問題所在，嚴(yán)重影響了軋制產(chǎn)品的質(zhì)量和軋制速度的提高[1]。軋機(jī)的劇烈振動(dòng)甚至有可能造成斷帶或設(shè)備損壞事故，嚴(yán)重威脅生產(chǎn)安全并可能造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失[2-3]。在實(shí)際板帶軋制生產(chǎn)過程中，經(jīng)常會伴隨著軋機(jī)振動(dòng)的發(fā)生[4]；然而，軋機(jī)的振動(dòng)并不是單一結(jié)構(gòu)作用所導(dǎo)致的，而是由多元結(jié)構(gòu)的非線性因素相互耦合引起的，對連軋機(jī)耦合機(jī)理的深入研究是解決這一難題的關(guān)鍵所在[5]。

針對連軋機(jī)耦合振動(dòng)的問題，國內(nèi)外研究人員做了許多研究工作。文獻(xiàn)[6]考慮傾角、自重和偏心角等因素對萬向接軸振動(dòng)的影響，建立了軋機(jī)萬向接軸的彎扭耦合振動(dòng)模型，通過對軋機(jī)實(shí)際數(shù)據(jù)的現(xiàn)場測試證明了軋機(jī)彎扭耦合振動(dòng)的存在。文獻(xiàn)[7]在轉(zhuǎn)子彎扭耦合振動(dòng)的基礎(chǔ)上，分析了一種旋轉(zhuǎn)軸系的轉(zhuǎn)子彎扭擺耦合振動(dòng)，并通過仿真分析得出結(jié)論：當(dāng)機(jī)械高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，扭振和擺振的影響不可忽略。文獻(xiàn)[8]通過對軋機(jī)機(jī)電液多態(tài)耦合振動(dòng)的研究，設(shè)計(jì)了一種二階扭振抑制器，并將其應(yīng)用到軋機(jī)主傳動(dòng)控制系統(tǒng)中，一定程度上控制了軋機(jī)的機(jī)電液耦合振動(dòng)現(xiàn)象。另有學(xué)者考慮軋制力影響下的軋機(jī)水平剛度的動(dòng)態(tài)變化，建立了軋機(jī)系統(tǒng)垂直振動(dòng)、工作輥水平振動(dòng)和主傳動(dòng)系統(tǒng)扭振之間的耦合振動(dòng)模型，通過對實(shí)際軋機(jī)的現(xiàn)場測試，得出調(diào)整軋機(jī)剛度可以減弱軋機(jī)受耦合振動(dòng)影響所發(fā)生的異常振動(dòng)的結(jié)論[9]。以上研究都是分析軋輥單一系統(tǒng)的振動(dòng)情況，沒有考慮軋件水平振動(dòng)對軋機(jī)振動(dòng)的影響。然而當(dāng)輥縫間軋件同軋輥產(chǎn)生相對位移時(shí)，軋件和軋輥這二元結(jié)構(gòu)的振動(dòng)相互影響，軋件和軋輥之間的摩擦力以及軋制力等參數(shù)相應(yīng)地發(fā)生變化，由輥縫軋件水平振動(dòng)所引起的軋機(jī)振動(dòng)不可忽略[10]。為了更加系統(tǒng)而全面地分析軋機(jī)的耦合振動(dòng)行為特性，需要建立反映輥縫摩擦狀態(tài)的耦合模型。

本文在以往軋機(jī)耦合振動(dòng)研究的基礎(chǔ)上，考慮軋制過程中軋輥和輥縫間軋件振動(dòng)行為的相互影響，建立了一種考慮軋件水平振動(dòng)的動(dòng)態(tài)軋制力模型，在此基礎(chǔ)上將軋機(jī)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)同軋件的水平振動(dòng)聯(lián)系起來，提出板帶軋機(jī)振動(dòng)的軋件-軋輥耦合振動(dòng)模型，研究不同輥縫摩擦狀態(tài)下外部擾動(dòng)以及內(nèi)部參數(shù)大小對軋機(jī)系統(tǒng)非線性振動(dòng)行為的影響。

1　考慮軋件水平振動(dòng)的軋制力模型

冷軋軋制力公式一般采用如下形式[11]：

F=BlcQpKTK′

(1)

ε=Δh/HΔh=H-h-2y

摩擦因數(shù)的變化主要與變形區(qū)油膜厚度有關(guān)，可近似地用Roberts摩擦因數(shù)公式計(jì)算[12]:

(2)

式中，K1、K2為摩擦特性系數(shù)，根據(jù)Roberts的統(tǒng)計(jì)型公式，K1的取值應(yīng)該接近0.5，K2的取值應(yīng)界于0.0005～0.002之間，這里取K1=0.51，K2=0.001；D為工作輥直徑；v為軋制速度。

(3)

圖1　輥縫間軋件彈簧-阻尼器模型

整理得到輥縫摩擦因數(shù)的表達(dá)式為

(4)

λ=(K1-0.5)e-K2v0

其中，b0，b1，…，b5均為大于零的待定常數(shù)。

(5)

式中，ΔF為軋制力的動(dòng)態(tài)變化部分。

從式(1)和式(5)中可以看出：參數(shù)In(n=0，1，…，8)的取值和軋件寬度、軋輥半徑、軋件出入口厚度以及前后滑區(qū)張力等軋制參數(shù)有關(guān)；然而，軋件寬度B和軋輥半徑R的數(shù)值在工作過程中的變化很小，且通過人為改變B或R的難度較大。所以，在實(shí)際軋制過程中可以通過調(diào)控軋件的出入口厚度或者前后張力來達(dá)到改變In數(shù)值大小的目的。

摩擦力的表達(dá)式為

Ff=2(μ0+Δμ)(F0+ΔF)

(6)

式中，μ0為輥縫摩擦因數(shù)的穩(wěn)態(tài)值；Δμ為輥縫摩擦因數(shù)的動(dòng)態(tài)變化量；F0為軋制力的穩(wěn)態(tài)值。

摩擦力的動(dòng)態(tài)變化量可以表示為

ΔFf=2μ0ΔF+2ΔμF0

(7)

將式(4)和式(5)代入式(7)得摩擦力的動(dòng)態(tài)變化量為

(8)

2　軋件-軋輥耦合振動(dòng)模型

考慮軋件的水平振動(dòng)，建立如圖2所示的受軋件水平振動(dòng)影響的兩自由度軋機(jī)結(jié)構(gòu)簡化模型。其中m1和m2分別為上部輥系和下部輥系的等效質(zhì)量，k1和c1分別為上部輥系與機(jī)架上橫梁之間的等效剛度和等效阻尼，k2和c2分別為下部輥系與機(jī)架底座之間的等效剛度和等效阻尼；y1為上部輥系的振動(dòng)位移，y2為下部輥系的振動(dòng)位移[11],F*為軋輥受到的外部因素?cái)_動(dòng)。

圖2　板帶軋機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)廣義耗散的Lagrange原理，軋輥在垂直方向上的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

(9)

考慮軋機(jī)上下部輥系的結(jié)構(gòu)和振動(dòng)特性的對稱性，有m1=m2，c1=c2，y1=-y2，k1=k2。這樣式(9)中的兩個(gè)方程就具有相同的表達(dá)形式[11]。為簡化分析步驟，就軋機(jī)上部輥系進(jìn)行分析，且令M為上部輥系的等效質(zhì)量；K為上部輥系與機(jī)架上橫梁間的等效剛度；C為上部輥系與機(jī)架上橫梁間的等效阻尼；所以式(9)可以表示為

(10)

由于在冷軋過程中軋輥接近于完全彈性壓扁，即軋輥與軋件的接觸面近似為平面，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造軋件水平振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程如下：

(11)

m=ρV

V=Blc(H+h)/2

式中，m為接觸區(qū)軋件質(zhì)量；ρ為軋件密度；V為接觸區(qū)軋件的體積。

(12)

3　耦合方程求解

設(shè)軋輥受到周期性的外部擾動(dòng)力作用，令F*=F′cosΩt，其中，F(xiàn)′為外激勵(lì)幅值。對振動(dòng)方程進(jìn)行簡化得

(13)

η11=2b0/mη12=2I0/mβ2=C/M

(14)

引入兩種時(shí)間尺度T0=t、T1=εt，對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可寫為

(15)

(16)

將式(15)、式(16)代入式(14)得

(17)

(18)

設(shè)零次項(xiàng)方程組式(17)的解為

(19)

將式(19)代入一次項(xiàng)方程組式(18)中，并考慮系統(tǒng)內(nèi)共振，令Ω=ω20+εσ，ω10=ω20+εσ1，其中，σ、σ1為頻率調(diào)諧因子。為了避免方程組中出現(xiàn)久期項(xiàng)，必須滿足：

(20)

為了求解方程，引入復(fù)函數(shù)A、B的極坐標(biāo)形式:

其中，a、b、θ1、θ2都是時(shí)間T1的函數(shù)。引入中間變量φ、φ，定義φ=θ2-θ1-σ1T1、φ=σT1-θ2，將A、B、φ、φ代入式(20)中，令等式兩邊的實(shí)部和虛部系數(shù)相等，可得

(21)

(22)

cosφ=

sinφ=

式(22)即為耦合振動(dòng)的幅頻方程。從方程的解可以看出，幅頻特性方程中包含軋輥振動(dòng)幅值的高次項(xiàng)以及耦合項(xiàng)，振動(dòng)情況情況十分復(fù)雜，得到的耦合振動(dòng)的幅頻方程是進(jìn)一步研究板帶軋機(jī)非線性振動(dòng)行為的基礎(chǔ)。

4　仿真分析

以某廠1780連軋機(jī)實(shí)際參數(shù)為例，對本模型所建立的軋件-軋輥耦合振動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值解析，模型中所用到的軋機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1　軋件-軋輥耦合振動(dòng)系統(tǒng)仿真參數(shù)

4.1時(shí)域特性

軋件和軋輥的振動(dòng)分別受到非線性摩擦力和非線性軋制力約束的影響，而且軋制力和摩擦力之間存在著耦合關(guān)系。因此，本文以表1中實(shí)際軋機(jī)參數(shù)為例，研究外激勵(lì)幅值變化時(shí)軋機(jī)系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，仿真結(jié)果如圖3～圖4所示。

從圖3所示的系統(tǒng)響應(yīng)可以看出，在給定系統(tǒng)參數(shù)下仿真得到的摩擦因數(shù)的變化呈現(xiàn)正負(fù)幅值不相等的波形，軋制力變化量關(guān)于零值線不對稱分布且波峰出現(xiàn)“凹陷”現(xiàn)象。比較圖3和圖4所示的系統(tǒng)響應(yīng)，當(dāng)外激勵(lì)幅值增大時(shí)，摩擦因數(shù)變化為負(fù)值的區(qū)域增大，軋制力變化量的波峰幅值減小，且隨著外激勵(lì)幅值的增大，軋制力變化將出現(xiàn)只減不增的情況；同時(shí)，軋件水平振動(dòng)速度在對應(yīng)軋制力波峰凹陷的時(shí)刻出現(xiàn)波動(dòng)，且隨著時(shí)間的推移，軋件水平振動(dòng)的方向有多次切換的趨勢。

4.2頻域特性

考慮到軋件運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對非線性軋制力模型和非線性摩擦力模型的影響，將軋件和軋輥之間的摩擦狀態(tài)分為靜摩擦狀態(tài)和滑動(dòng)摩擦狀態(tài)兩種情況討論，研究非線性軋制力和非線性摩擦力模型中的參數(shù)變化以及外激勵(lì)幅值的變化對系統(tǒng)幅頻特性的影響規(guī)律。

(a)軋件水平振動(dòng)速度曲線

(b)軋制力變化曲線

(c)軋制力變化曲線局部放大圖

(d)摩擦因數(shù)變化曲線圖3　外激勵(lì)幅值F′=0.5 MN時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)

(23)

式(23)即為軋件和軋輥處于靜摩擦狀態(tài)下，軋輥垂直振動(dòng)的幅頻方程，由此分析軋輥振動(dòng)受模型中的非線性參數(shù)I2、I8以及外激勵(lì)幅值F′變化的影響，仿真結(jié)果如圖5所示。

(a)軋件水平振動(dòng)速度曲線

(b)軋件水平振動(dòng)速度曲線局部放大圖

(c)軋制力變化曲線

(d)摩擦因數(shù)變化曲線圖4　外激勵(lì)幅值F′=2 MN時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)

考慮系統(tǒng)外部的影響，通過改變外激勵(lì)的幅值得到軋輥垂直振動(dòng)的幅頻特性曲線，如圖5a所示，增大外激勵(lì)幅值使得軋輥垂直振動(dòng)的幅值增大，但軋輥振動(dòng)的幅頻特性曲線并未出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；考慮系統(tǒng)內(nèi)部的影響，通過改變系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)I2、I8的大小來研究軋輥垂直振動(dòng)的規(guī)律。圖5b中，增大I2的絕對值，軋輥垂直振動(dòng)的共振頻率向右平移；圖5c中，增大I8的絕對值，隨著外激頻率的變化，軋輥垂直振動(dòng)的幅值逐漸向右偏移，軋輥垂直振動(dòng)幅值出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的頻率區(qū)段。然而從圖5c中也可見，系統(tǒng)的幅頻特性曲線對I8的變化極不敏感，想要觀察到明顯的跳躍現(xiàn)象，需要將I8的大小做幾個(gè)數(shù)量級的調(diào)整，這在系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)的約束下是很難實(shí)現(xiàn)的。因此，當(dāng)軋件和軋輥處于靜摩擦狀態(tài)時(shí)，軋輥的垂直振動(dòng)較為穩(wěn)定。

(a)外激勵(lì)幅值F′變化時(shí)軋輥垂直振動(dòng)幅頻特性曲線

(b)非線性參數(shù)I2變化時(shí)軋輥垂直振動(dòng)幅頻特性曲線

(c)非線性參數(shù)I8變化時(shí)軋輥垂直振動(dòng)幅頻特性曲線圖5　靜摩擦狀態(tài)下軋輥垂直振動(dòng)幅頻特性曲線

當(dāng)軋件和軋輥之間為滑動(dòng)摩擦狀態(tài)時(shí)，根據(jù)計(jì)算得到的耦合振動(dòng)幅頻方程式(23)，研究外激勵(lì)幅值F′以及內(nèi)部非線性參數(shù)I6、I7大小變化對系統(tǒng)幅頻特性的影響，仿真結(jié)果如圖6所示。

外激勵(lì)幅值變化時(shí)耦合系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律如圖6所示。增大外激勵(lì)幅值，軋輥垂直振動(dòng)的幅值增大且出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的頻率區(qū)域減?。卉埣l(fā)生水平振動(dòng)的有效頻率段增大，軋件水平振動(dòng)不穩(wěn)定頻率段減小。內(nèi)部非線性參數(shù)變化時(shí)耦合系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律如圖6c和圖6d所示。增大非線性參數(shù)I6的絕對值大小，軋輥垂直振動(dòng)的共振頻率向右平移；增大非線性參數(shù)I7的絕對值大小，軋輥垂直振動(dòng)幅頻曲線向右偏轉(zhuǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定頻率段增大。對比圖5和圖6中相同參數(shù)的仿真結(jié)果可見，滑動(dòng)摩擦狀態(tài)下軋輥垂直振動(dòng)對外激勵(lì)幅值和內(nèi)部非線性參數(shù)大小變化的敏感程度以及振動(dòng)幅值的數(shù)量級遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于靜摩擦狀態(tài)下的情況。

5　結(jié)論

(1)本文考慮輥縫間軋件的振動(dòng)狀態(tài)，建立了包含輥縫軋件和軋輥間靜摩擦和滑動(dòng)摩擦兩種情況下的動(dòng)態(tài)軋制力模型；并建立了滑動(dòng)摩擦狀態(tài)下軋件-軋輥耦合振動(dòng)模型。將軋件和軋輥這兩個(gè)相對獨(dú)立單元的振動(dòng)行為聯(lián)系起來。

(a)外激勵(lì)幅值F′變化時(shí)軋輥垂直振動(dòng)幅頻特性曲線

(b)外激勵(lì)幅值F′變化時(shí)軋件水平振動(dòng)幅頻特性曲線

(c)非線性參數(shù)I6變化時(shí)軋輥振動(dòng)幅頻特性曲線

(d)非線性參數(shù)I7變化時(shí)軋輥振動(dòng)幅頻特性曲線圖6　滑動(dòng)摩擦狀態(tài)下系統(tǒng)振動(dòng)幅頻特性曲線

(2)輥縫間軋件和軋輥間處于滑動(dòng)摩擦狀態(tài)時(shí)，軋輥垂直振動(dòng)的幅值以及對外激勵(lì)幅值和內(nèi)部非線性參數(shù)大小變化的敏感程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于靜摩擦狀態(tài)下的情況，軋件和軋輥間處于滑動(dòng)摩擦狀態(tài)時(shí)，軋機(jī)輥系更容易發(fā)生振動(dòng)。

(3)軋機(jī)系統(tǒng)出現(xiàn)軋件-軋輥耦合振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)抗外激勵(lì)擾動(dòng)的能力下降，隨著外激頻率的變化，系統(tǒng)振幅出現(xiàn)明顯的跳躍現(xiàn)象；通過合理選取內(nèi)部非線性耦合三次項(xiàng)參數(shù)I6、I7的數(shù)值可以控制系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定振動(dòng)的頻率段，減弱耦合振動(dòng)對軋機(jī)系統(tǒng)的影響。

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(編輯王艷麗)

Nonlinear Vibration Characteristics of Strip Mill Influenced by Horizontal Vibration of Rolled Piece

Liu BinJiang JiahaoLiu FeiLiu HaoranLi Peng

Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Based on the Roberts friction factor formula and the Hill rolling force formula, a kind of dynamic rolling force model was established. The model might characterize different friction states. On the basis of further consideration of the interaction between the structure of rolling mill vibrations and rolled piece vibrations, a coupling vibration model of rolled piece-roll was proposed. According to the Lagrange principle of generalized dissipation, a dynamic equilibrium equation was established respectively both of in rolling direction and in vertical direction. Then by using the method of multiple scales, the amplitude-frequency characteristic equation of the system was solved. The law of mill vibration influenced by different internal nonlinear parameters and external excitations was analyzed. Research results show that when rolled piece is slided, the coupling system is far more sensitive to the change of internal nonlinear parameters and external excitation than static state. If the coupling cube nonlinear parameters are reasonable, the occurance of system unstable vibration may be controlled in a small frequency range, which may weaken the impacts from rolled piece-roll coupling system on the vibration of strip mill.

strip mill; nonlinear; dynamic rolling force; multiple scale method; coupling vibration

2015-11-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405068)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2015203349)

TG113；TB123

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.18.017

劉彬，男，1953年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)檐垯C(jī)振動(dòng)及控制。姜甲浩，男，1991年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。劉飛，男，1986年生。燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院博士研究生。劉浩然，男，1980年生。燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授。李鵬，男，1990年生。燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。