張彪，李舒，許傳龍，王式民

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基于RQPSO的顆粒粒徑分布反演算法

張彪1，李舒2，許傳龍1，王式民1

(1. 東南大學(xué)能源熱轉(zhuǎn)換及其過程測控教育部重點實驗室，江蘇南京，210096；2. 南京市計量監(jiān)督檢測院科技發(fā)展部，江蘇南京，210037)

針對標準量子微粒群算法(BQPSO)，提出改進量子微粒群算法(IQPSO)和含正則化項的改進量子微粒群算法(RQPSO)，并將它們引入到粒徑分布的反演中，利用光全散射法在獨立模式下，通過測量可見光波段內(nèi)不同波長下的光譜消光值反演幾種粒徑分布，其中正問題利用反常衍射近似(ADA)計算得到估計值，測量值則通過Mie理論計算得到。研究結(jié)果表明：與BQPSO相比，IQPSO在計算效率和穩(wěn)定性上得到很大提升；在粒徑分布的反演中，RQPSO提高IQPSO的維數(shù)極限，并具有更高的反演精度、穩(wěn)定性和抗噪性，為粒徑分布的反演提供一種新的方法。

粒徑分布；量子微利群算法；正則化；光全散射法；獨立模式

顆粒粒徑及其尺寸分布是顆粒技術(shù)最重要的參數(shù)和技術(shù)指標之一，在許多情況下，顆粒粒徑不僅直接影響到產(chǎn)品的性能和質(zhì)量，而且與能源的高效利用、環(huán)境污染的防治、生產(chǎn)工藝的優(yōu)化、人身健康的保障等等都密切相關(guān)[1?3]，因此，準確、快速、穩(wěn)定的顆粒粒徑測量技術(shù)對國防、氣象、煤礦、動力、化工等方面有重要意義。光散射法近30年來隨著激光和計算機等技術(shù)的迅速發(fā)展而得到了普遍應(yīng)用，是一種重要的燃燒診斷手段。它通過測量顆粒的散射光強來反演顆粒粒徑分布，能夠?qū)崿F(xiàn)非接觸式在線測量，具有適用性廣、測量范圍寬、響應(yīng)快、易于實現(xiàn)自動化等特 點[4?6]。該方法的最大難點在于如何通過衰減光譜的反演獲得準確的粒徑分布，在理論上歸結(jié)于第一類Fredholm積分方程的求解。這是一個典型的不適定問題，直接求解具有很大的困難，因此，粒徑分布反演算法的研究受到了眾多研究者的重視[7?9]。光全散射粒徑測量方法分為獨立模式算法和非獨立模式算法，獨立模式算法事先無須假定粒徑分布，通過求解離散線性方程組得到粒徑分布；非獨立模式算法需要假設(shè)被測顆粒系的顆粒尺寸分布滿足某個已知的分布函數(shù)，通過一定的優(yōu)化方法確定分布函數(shù)中的待定參數(shù)。事實上，在絕大多數(shù)實際應(yīng)用中，往往不知道被測顆粒系的粒徑分布規(guī)律，或者顆粒系的尺寸分布無法簡單地用某個分布來描述，這就使非獨立模式求得的結(jié)果變得不可靠[10]。目前已經(jīng)發(fā)展了多種獨立模式下的粒徑分布反演算法，每種算法都有各自的應(yīng)用背景和局限性。傳統(tǒng)算法如：Phillips-Twomey算法、Chahine迭代算法、共軛梯度法等，這些算法存在目標函數(shù)及導(dǎo)數(shù)計算復(fù)雜、抗噪聲能力差及多峰粒徑重建困難等問題。近年來，遺傳算法、模擬退火法等智能算法也已用于解決粒徑測量問題，與傳統(tǒng)方法相比，智能算法具有很好的全局搜索和抗噪聲能力，但進化速度慢，反演結(jié)果不穩(wěn)定等缺點突出[11?12]。本文作者利用光全散射法在獨立模式下反演了幾種粒徑分布，其中正問題利用反常衍射近似(ADA)計算得到估計值，測量值則通過Mie理論計算得到；反問題方法采用量子微粒群算法，并在標準量子微粒群算法的基礎(chǔ)上提出了改進提出改進量子微粒群算法，在目標函數(shù)中利用Markov隨機場建立正則化項，提升了算法的反演能力，并進行了數(shù)值反演驗證。

1 正問題模型

1.1 光全散射法測量原理

光全散射法以光的散射理論為基礎(chǔ)，當一束光強為0，波長為的平行單色光照射到厚度為的懸浮待測顆粒系時，由于顆粒對入射光的吸收和散射作用，穿過顆粒系透射光的光強將減弱。根據(jù)Lambert-Beer定律，如果假設(shè)顆粒系為服從一定粒徑分布范圍的多分散球形粒子系，并且顆粒間滿足不相關(guān)單散射的條件(忽略多次散射效應(yīng))，則多分散球形顆粒系在波長為時的消光值可以表示為[13]

式中：0為入射激光強度；為透射光強；為波長為的消光值，它可以通過人工實驗測量得到；為待測顆粒系的顆?？倲?shù)；為顆粒系的體積頻度分布；max和min分別為顆粒粒徑分布的上、下限；為消光系數(shù)，它是波長介質(zhì)復(fù)折射率以及顆粒粒徑的函數(shù)。

將粒徑分布區(qū)間劃分為個子區(qū)間后，積分項可以變成離散項求和：

式中：c為數(shù)值積分系數(shù)；為整個待測粒徑范圍[min,max]內(nèi)劃分的子區(qū)間個數(shù)；D為各子區(qū)間的等效粒徑。

1.2 Mie理論計算公式

Mie理論是一種球形顆粒散射特性的嚴格計算方法，Mie散射利用光的電磁波性質(zhì)，應(yīng)用Maxwell方程對散射顆粒形成的邊界條件進行求解，以得到光散射的物理量。可用于計算在單色平行光照射下任意尺寸和任意成分的球形顆粒的散射場[1]。利用Mie理論推導(dǎo)得到的顆粒消光系數(shù)的計算公式為

(4)

(6)

(7)

1.3 ADA計算公式

由于Mie理論公式計算繁瑣，特別是計算中涉及到無窮級數(shù)求和問題，占用大量內(nèi)存資源和計算時間，不適合作為在線檢測的正問題求解模型。反常衍射近似(ADA)假設(shè)顆粒的消光主要是吸收以及透射光與衍射光之間的干涉引起的，它的計算速度要遠快于Mie理論的計算速度。最初的ADA只能適用于滿足＞＞1和＜＜ 1條件的粒子，ZHAO等[14]引入邊界效應(yīng)，提出了修正ADA算法，擴展了的適用范圍。

(9)

當粒徑為0.1~10 μm時，修正消光系數(shù)為

2 反問題模型

2.1 標準量子微粒群算法(BQPSO)

量子微粒群算法是由SUN等[15]提出。量子微粒群算法將PSO系統(tǒng)看成是一個量子系統(tǒng)，每個粒子具有量子行為，量子的狀態(tài)由波函數(shù)決定，為粒子的位置的概率密度。在第次迭代中，粒子在維搜索空間內(nèi)以粒子的局部吸引因子為中心在領(lǐng)域內(nèi)搜索。

(12)

(13)

式中：，1和2為[0,1]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機數(shù)；1和2為加速系數(shù)；p為粒子的個體歷史最優(yōu)位置在第維上的坐標；為群體歷史最優(yōu)位置在第維上的坐標；為吸引擴散系數(shù)，在＜1.781時可以保證量子微粒群的全局收斂。

2.2 改進量子微粒群算法(IQPSO)

對于一般的優(yōu)化過程來說，初始粒子位置相對分散有利于群體的尋優(yōu)，在標準量子微粒群算法中，初始化中是利用隨機數(shù)產(chǎn)生位置的，這樣有可能在初始化的過程中，產(chǎn)生位置相近的粒子，本文將典型的logistic映射應(yīng)用于產(chǎn)生混沌的信號，這樣初始化得到的粒子位置會相對分散。

如同其他群體智能優(yōu)化算法一樣，標準量子微粒群算法在進化后期容易喪失種群的多樣性，這樣也不利于優(yōu)化，本文引進了基因變異機制，它可以幫助粒子逃出局部最優(yōu)位置而增加種群的多樣性。位置更新可由下式來確定：

(17)

2.3 含正則化項的量子微粒群算法(RQPSO)

當反演參數(shù)過多時，標準量子微粒群算法和改進量子微粒群算法容易達到維數(shù)極限，導(dǎo)致反演結(jié)果不穩(wěn)定而失效，這時通常需要對目標函數(shù)進行光滑化處理。本文在改進量子微粒群算法的基礎(chǔ)上，利用Markov隨機場理論認為每個待測粒徑范圍[min,max]的子區(qū)間上的體積頻率密度僅僅與它鄰近子區(qū)間的體積頻率密度有關(guān)，與其他子區(qū)間內(nèi)的體積頻率密度無關(guān)，整個待測粒徑范圍內(nèi)的體積頻率密度為一個Markov隨機場，因而建立起目標函數(shù)的正則化項，其中目標函數(shù)的表達式如下：

(20)

式中：為測量值；為估計值；為光順矩陣；為向量的2-范數(shù)。

3 結(jié)果與討論

3.1 正問題驗證

為了驗證ADA的可靠性，本文通過Mie理論的計算結(jié)果來進行檢驗。在可見光范圍內(nèi)，光全散射法的最佳粒徑測量范圍為0.1~10.0 μm[1]，本文粒子的復(fù)折射率參照典型飛灰粒子，它的范圍分別為和[6]。因此，分別利用Mie理論和ADA計算復(fù)折射率為的粒子在波長為0.45 μm下消光因子和復(fù)折射率為的粒子在波長為0.73 μm下消光因子，計算結(jié)果如圖1所示。

(a) m=1.44+1.00i，λ=0.45 μm; (b) m=1.235+0.01i，λ=0.73 μm

從圖1可以看出：ADA的計算結(jié)果與Mie理論的計算結(jié)果十分吻合，但ADA的計算效率是Mie理論的1 758倍。因此，ADA適合作為粒徑反演中正問題的求解方法，而Mie理論的計算結(jié)果可以作為粒徑反演中的測量值。

3.2 函數(shù)反演

為了比較標準量子微粒群算法(BQPSO)和改進量子微粒群算法(IQPSO)的性能，文中通過選用Sphere函數(shù)、Rastrigin函數(shù)和Schaffer函數(shù)3種標準測試函數(shù)對這2個算法進行研究，其具體參數(shù)如表1所示。

在這2種算法中粒子的總數(shù)都為p=50，最大迭代次數(shù)都為t=50 000，吸引擴散系數(shù)隨著迭代從0.9線性下降到0.4，在改進量子微粒群算法中混沌系數(shù)為3.9，變異因子為0.05，本文中若未作特別說明，算法的參數(shù)設(shè)置保持不變。為了對比這3種算法的計算效率和魯棒性，將每種算法都獨立執(zhí)行100次，計算結(jié)果如表2所示。從表2可以看出：隨著測試函數(shù)維數(shù)的增加，這2種算法的迭代次數(shù)均增加，標準偏差也在增大；相比于標準量子微粒群算法而言，改進量子微粒群算法在計算效率和穩(wěn)定性上得到了很大的提升，說明了改進量子微粒群算法在性能上具有很大的優(yōu)勢。在后續(xù)的算例中，本文都采用改進量子微粒群算法作為反問題的求解方法。

表1 3個測試函數(shù)的具體參數(shù)

表2 在固定精度下3種算法執(zhí)行100次的迭代次數(shù)

3.3 單峰分布反演

為了考察量子微粒群算法在粒徑反演中的效果，本文利用改進量子微粒群算法(IQPSO)和含正則化項的改進量子微粒群算法(RQPSO)反演1個服從單峰R-R分布的顆粒系，表達式為

已知顆粒系的粒徑范圍為0.01~1.00 μm，顆粒的復(fù)折射率為。首先將粒徑范圍均勻的分成10個子區(qū)間，通過在可見光波段內(nèi)選擇10個波段來測量粒子系的消光值，反演出10個子區(qū)間內(nèi)的體積頻率密度，反演結(jié)果如圖2(a)所示，其中算法的搜索范圍為。為了衡量反演結(jié)果的優(yōu)劣，定義誤差為

(22)

式中：ret和ori分別為顆粒體積頻率密度的反演值和真值。

為了考察2種算法的維數(shù)極限，將粒徑分布范圍的子區(qū)間劃分成20份，反演的誤差水平分別為和，反演結(jié)果如圖2(b)所示。從圖2(b)可以看出：IQPSO算法的反演結(jié)果已經(jīng)嚴重偏離真實分布，而RQPSO算法的反演結(jié)果能很好地符合真實分布。

為了考察RQPSO算法能力的提升程度，將粒徑分布范圍的子區(qū)間分別劃分成30份和50份，它們的反演誤差水平分別為和，反演結(jié)果分別如圖2(c)~(d)所示。從圖2可以看出：反演的分布都基本符合真實分布。說明RQPSO的反演能力得到了很大提升，不僅提高了反演的維數(shù)極限，而且提高了反演的精度。

子區(qū)間數(shù)量/份：(a) 10；(b) 20；(c) 30；(d) 50

3.4 雙峰分布反演

為了進一步的考察含正則化項的改進量子微粒群算法的性能，本文利用其反演了1個服從雙峰R-R分布的顆粒系，表達式為

(23)

顆粒系的粒徑范圍和復(fù)折射率與上述顆粒系相同，分別將粒徑范圍劃分成20份和30份，它們的反演誤差水平分別為和，反演結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：反演的分布都基本符合真實分布，進一步證明了RQPSO算法的可靠性。

3.5 誤差分析

為了考察測量誤差對反演結(jié)果的影響，本文以單峰分布為例，將粒徑范圍劃分成30份，分別加入0，2%，5%和10%的測量誤差后，反演誤差水平分別為，，和，反演結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出：隨著測量誤差的增大，反演的誤差水平有所增加，但反演的分布基本符合真實分布，說明了含正則化的改進量子微粒群算法具有很好的抗噪性能。

子區(qū)間數(shù)量/份：(a) 20；(b) 30

測量誤差/%：1—Original；2—0；3—2；4—5；5—10。

4 結(jié)論

1) 針對標準量子微粒群算法，提出了改進量子微粒群算法和含正則化項的改進量子微粒群算法，通過函數(shù)反演證明了改進量子微粒群算法相對于標準量子微粒群算法具有更高的效率和穩(wěn)定性。

2) 將改進的量子微粒群算法引入到粒徑分布的反演當中，利用光全散射法在獨立模式下反演了服從單峰分布和雙峰分布的顆粒系粒徑分布，得出含正則化項的改進量子微粒群算法提高了改進量子微粒群算法的維數(shù)極限，并具有更高的精度和可靠性。

3) 含正則化項的改進量子微粒群算法具有很好的抗噪性能，為獨立模式下的粒徑分布反演提供了一個新的方法。

參考文獻：

[1] 唐紅. 光全散射法顆粒粒徑分布反演算法的研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院, 2008: 1?8. TANG Hong. Study of inversion algorithm of particle size distribution using total light scattering method[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology. School of Electrical Engineering and Automation, 2008: 1?8.

[2] QI Hong, RUAN Liming, WANG Shenggang, et al. Application of multi-phase particle swarm optimization technique to retrieve the particle size distribution[J]. Chinese Optics Letters, 2008, 6(5): 346?349.

[3] TANG Hong. Retrieval of spherical particle size distribution with an improved Tikhonov iteration method[J]. Thermal Science, 2012, 16(5): 1400?1404.

[4] 菅立川, 齊宏, 阮立明, 等. 微粒群算法反演粒徑分布的研究[J]. 節(jié)能技術(shù), 2007, 141(25): 7?13. JIAN Lichuan, QI Hong, RUAN Liming, et al. Inverse analysis of particles size distribution by particle swarm optimizer algorithm[J]. Energy Conservation Technology, 2007, 141(25): 7?13.

[5] HE Zhenzong, QI Hong, WANG Yuqing, et al. Inverse estimation of the spheroidal particle size distribution using Ant Colony Optimization algorithms in multispectral extinction technique[J]. Optics Communications, 2014, 328(19): 8?22.

[6] QI Hong, NIU Chunyang, GONG Shuai, et al. Application of the hybrid particle swarm optimization algorithms for simultaneous estimation of multi-parameters in a transient conduction- radiation problem[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2015, 83(4): 428?440.

[7] 孫曉剛, 唐紅, 原桂彬. 非獨立模式算法下粒徑分布反演及分類的研究[J]. 光譜學(xué)與光譜分析, 2008, 28(5): 1111?1114. SUN Xiaogang, TANG Hong, YUAN Guibin. Study of inversion and classification of particle size distribution under dependent model algorithm[J]. Spectroscopy and Spectral Analysis, 2008, 28(5): 1111?1114.

[8] QI Hong, HE Zhenzong, GONG Shuai, et al. Inversion of particle size distribution by spectral extinction technique using the attractive and repulsive particle swarm optimization algorithm[J]. Thermal Science, 2015, 19(6): 2151?2160.

[9] HE Zhenzong, QI Hong, YAO Yuchen, et al. Inverse estimation of the particle size distribution using the fruit fly optimization algorithm[J]. Applied Thermal Engineering, 2015, 88(9): 306?315.

[10] 徐峰, 蔡小舒, 蘇明旭, 等. 獨立模式算法求解顆粒粒徑分布的研究[J]. 中國激光, 2004, 31(2): 223?228. XU Feng, CAI Xiaoshu, SU Mingxu, et al. Study of independent model algorithm for determination of particle size distribution[J]. Chinese Journal of Lasers, 2004, 31(2): 223?228.

[11] 王麗, 孫曉剛. 基于模式搜索的光譜消光粒徑分布反演算法的研究[J]. 光譜學(xué)與光譜分析, 2013, 33(3): 618?622. WANG Li, SUN Xiaogang. Research on pattern search method for inversion of particle size distribution in spectral extinction technique[J]. Spectroscopy and Spectral Analysis, 2013, 33(3): 618?622.

[12] HE Zhenzong, QI Hong, YAO Yuchen, et al. An effective inversion algorithm for retrieving bimodal aerosol particle size distribution from spectral extinction data[J]. Journal of Quantitative Spectrascopy and Radiative Transfer, 2014, 149(18): 117?127.

[13] QI Hong, ZHANG Biao, REN Yatao, et al. Retrieval of spherical particle size distribution using ant colony optimization algorithm[J]. Chinese Optics Letters, 2013, 11(11): 112901.

[14] ZHAO Jianqi, HU Yinqiao. Bridging technique for calculating the extinction efficiency of arbitrary shaped particles[J]. Applied Optics, 2003, 42(24): 4937?4945.

[15] SUN Jun, FENG Bin, XU Wenbo. Particle swarm optimization with particles having quantum behavior[C]// Pedro Isasi. CEC2004, Proceedings of the 2004 Congress on Evolutionary Computation. Piscataway N J, US: IEEE, 2004: 325?331.

(編輯 陳愛華)

Retrieval of particle size distribution based on RQPSO algorithm

ZHANG Biao1, LI Shu2, XU Chuanlong1, WANG Shimin1

(1. Key Laboratory of Energy Thermal Conversion and Control of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China;2. Technology Development Department, Nanjing Institute of Measurement and Testing Technology, Nanjing 210037, China)

An improved quantum behavior particle swarm optimization (IQPSO) and regularized quantum behavior particle swarm optimization (RQPSO) were developed based on basic quantum behavior particle swarm optimization (BQPSO). Furthermore, these three algorithms were introduced in retrieval of particle size distribution (PSD). Several types of PSDs were retrieved by measuring the spectral extinction values in the visible spectrum, which used total light scattering method under independent mode. In the direct problem, the anomalous diffraction approximation was used to calculate the estimation values, and Mie theory was used for measurement values. The results show that the efficiency and stability of the IQPSO algorithm was proved to be more greatly improved than the BQPSO algorithm. For the retrieval of these PSDs, the RQPSO algorithm has better performances on dimension limit, accuracy, stability and noise immunity than the IQPSO algorithm. Thus, this algorithm provides a new method for retrieving of PSDs.

particle size distribution; quantum behavior particle swarm optimization; regularization; total light scattering; independent mode

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.11.040

TP212

A

1672?7207(2016)11?3922?07

2016?01?02；

2016?03?20

國家自然科學(xué)基金資助項目(51506030, 51376049)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20150622)；國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局科技計劃項目(2012QK176) (Projects(51506030, 51376049) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(BK20150622) supported by theNatural Science Foundation of Jiangsu Province; Project(2012QK176) supported by the State Administration of Quality Supervision, Inspection and Quarantine Science and Technology)

許傳龍，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事多相流測試方面的研究；E-mail: chuanlongxu@seu.edu.cn