劉翠紅，王克明，夏　錕，石　峰

(沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

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轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應的逆向分析

劉翠紅，王克明，夏錕，石峰

(沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

不平衡引起的振動故障在航空發(fā)動機故障中最為常見，對不平衡響應進行計算分析在實際工程應用中具有重要意義。根據(jù)轉(zhuǎn)子在單盤激勵和多盤激勵下的不平衡響應分析方法，提出了一種常見不平衡響應分析的逆向分析方法——位移激勵法，即通過控制單盤或多盤的響應位移分析不平衡的方法。對比分析轉(zhuǎn)子在不平衡激勵下各盤的響應幅值和將不平衡盤的響應幅值作為位移激勵時各盤的響應，結(jié)果表明2種方法同轉(zhuǎn)頻時各盤響應一致。為了避免轉(zhuǎn)子撓度過大而發(fā)生碰摩，根據(jù)轉(zhuǎn)子不平衡響應與各盤上不平衡量的分布關(guān)系，利用控制轉(zhuǎn)子各盤響應位移的方法分析轉(zhuǎn)子的不平衡響應，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在某個轉(zhuǎn)速下工作時各盤允許的最大不平衡量。

轉(zhuǎn)子動力特性；不平衡響應；控制位移法；反共振；逆向分析

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機械的重要組件，機械加工誤差及裝配誤差，都將引起轉(zhuǎn)子的不平衡。統(tǒng)計資料表明，旋轉(zhuǎn)機械的故障約有60%源于不平衡引起的振動[1-2]。轉(zhuǎn)子的不平衡響應是轉(zhuǎn)子動力學研究的一個重要問題。目前對轉(zhuǎn)子不平衡響應的研究大都是針對定轉(zhuǎn)速時的穩(wěn)態(tài)響應和變轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)響應特性分析[2]，主要應用2類方法：傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法程序簡單，計算機時較短，但是該方法比較適用于鏈式結(jié)構(gòu)，對于大型復雜結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子動力學問題計算的精度不高；有限元法分析轉(zhuǎn)子動力學問題考慮了轉(zhuǎn)動慣量、陀螺力矩及剪切變形等影響因素，在計算不平衡響應及穩(wěn)定性等方面的問題取得了很好的結(jié)果。

以往不平衡響應的計算大都是在不平衡激振力下計算轉(zhuǎn)子各截面的幅頻響應，本文則通過限制轉(zhuǎn)子模型各盤的響應幅值[3-4]，反求各盤上的不平衡量，即以控制位移的方法限制響應幅值求解不平衡量。已知響應求激勵是振動力學中的逆問題。通過分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在限制了各盤響應幅值后的響應，得到不平衡分布，可以優(yōu)化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計，大大減小由于轉(zhuǎn)子撓度過大引起的碰摩故障，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全性[5]。

1　理論基礎(chǔ)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學方程如式(1)所示。

(1)

不平衡量等于不平衡質(zhì)量m和其質(zhì)心距轉(zhuǎn)子軸線的距離e的乘積如式(2)

U=me

(2)

不平衡產(chǎn)生的激振力如式(3)

F0=Uω2=meω2

(3)

2　有限元模型的建立

參照渦輪發(fā)動機的結(jié)構(gòu)特征，利用ANSYS建立一個具有航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子基本特征的轉(zhuǎn)子盤軸結(jié)構(gòu)三維有限元模型[7-8]，軸長L=1.5m，軸半徑為0.02m，各盤的厚度均為0.04m，半徑為0.2m，材料的彈性模量為2.1×1 011Pa，密度為7 850kg/m3。各輪盤分布如圖1(a)所示，支承方案為兩端簡支。利用ANSYS有限元前處理功能劃分網(wǎng)格，共劃分11 810個單元，節(jié)點數(shù)為14 369，其中4個盤的盤心節(jié)點號分別為4 744，4 768，4 792和4 850，模型如圖1(b)所示。有限元模型中轉(zhuǎn)子為實體單元[9]，單元類型選擇三維八節(jié)點的Solid185，每個節(jié)點有3個自由度，軸承選擇Combin214彈簧阻尼單元，剛度為3×107N/m。

圖1　轉(zhuǎn)子有限元模型

3　轉(zhuǎn)子的固有特性計算

為了更好地分析轉(zhuǎn)子不平衡響應，先對轉(zhuǎn)子模型進行模態(tài)分析[10]，計算前三階固有頻率和主振型以及前三階臨界轉(zhuǎn)速。

利用ANSYS中QR阻尼法計算并提取轉(zhuǎn)子前三階固有頻率，它們分別為10.628Hz、42.145Hz和77.140Hz，圖2～圖4為前三階模態(tài)振型。

圖2　第一階模態(tài)振型

圖3　第二階模態(tài)振型

圖4　第三階模態(tài)振型

通過計算轉(zhuǎn)子各轉(zhuǎn)速下的模態(tài)，畫出Campbell圖，如圖5所示。從圖5中可以得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前三階臨界轉(zhuǎn)速[11-12]分別為660.813r/min、2 917.702r/min和5 321.09r/min及對應頻率11.014Hz、48.628Hz和88.685Hz。由于模型中轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生陀螺效應，陀螺力矩使轉(zhuǎn)子不易彎曲，所以前三階臨界轉(zhuǎn)速對應的頻率比前三階固有頻率高。

4　轉(zhuǎn)子不平衡響應分析

4.1單盤激勵下的不平衡響應

假設(shè)在盤上有一不平衡量U=me=10g·cm，等效成不平衡激振力F0=Uω2。由于ANSYS計算中每一步自動載入ω2，所以在1號盤心位置(4 744號節(jié)點)處施加旋轉(zhuǎn)載荷0.000 1 ω2。應用諧響應分析法分析不平衡響應[13-15]，設(shè)置諧響應分析頻率范圍0～100Hz，分析子步數(shù)為100，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)0～100r/min轉(zhuǎn)頻范圍內(nèi)進行諧響應分析。圖6(a)～圖6(d)分別為各盤Y方向的幅頻響應曲線(X方向與Y方向除相位外，其他響應情況一致)，圖6中顯示各節(jié)點均在11Hz、49Hz和88Hz處出現(xiàn)峰值，這是由于在不平衡激振力下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速處發(fā)生共振，距離共振轉(zhuǎn)速越遠，響應幅值越小。

圖5　坎貝爾圖

圖6　盤心幅頻響應曲線

表1為4個盤的盤心節(jié)點在不同轉(zhuǎn)速下的響應位移，轉(zhuǎn)頻為10Hz。比較各盤心節(jié)點處的響應，2號盤和3號盤響應明顯比1號盤和4號盤的響應幅值大，這是因為這一轉(zhuǎn)速靠近第一階臨界轉(zhuǎn)速，振型接近一階模態(tài)振型，2號盤和3號盤比1號盤和4號盤的盤心節(jié)點更靠近轉(zhuǎn)子中心，所以響應幅值較大。另外，查看各節(jié)點在每步轉(zhuǎn)速下的響應幅值時還發(fā)現(xiàn)在25Hz和65Hz這兩個轉(zhuǎn)頻時響應幅值比其他轉(zhuǎn)頻下的幅值普遍小幾個數(shù)量級。

對于相同的轉(zhuǎn)子模型，已知1號盤上有10g·cm的不平衡量，轉(zhuǎn)頻為10Hz時1號盤的響應幅值為1.255 9μm，控制1號盤心節(jié)點的位移X=1.255 9μm，Y=-1.255 9μm。設(shè)置諧響應分析頻率范圍0～100Hz，分析子步數(shù)為100，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行諧響應分析。分析限制1號盤響應幅值時其余盤的幅頻響應曲線。以3號盤心節(jié)點為例畫出Y方向的幅頻響應曲線如圖7。圖中25Hz和65Hz為反共振頻率，所以出現(xiàn)峰值。從圖7(b)中可以看到轉(zhuǎn)頻為10Hz時3號盤心的振動幅值為2.57μm與不平衡力引起的響應幅值相等。

表1　各盤心節(jié)點在力激勵下的響應

圖7　3號盤心幅頻響應曲線

計算各盤心節(jié)點在3個轉(zhuǎn)頻下的響應幅值，結(jié)果見表2。對比表2與表1可以看出，控制1號盤心位移，轉(zhuǎn)頻為10Hz時，轉(zhuǎn)子其他各盤心響應幅值與不平衡激振力下的響應幅值相同。

表2　限制1號盤心位移時各盤的響應

從表2中可看出，同頻率時，單盤不平衡力激勵下的響應與控制位移時其他各盤的響應一致。

4.2雙盤不平衡激勵下的響應

對該轉(zhuǎn)子模型，若3號盤上不平衡量為5g·cm，4號盤上不平衡量為10g·cm，計算系統(tǒng)不平衡響應。4個盤的盤心節(jié)點處幅頻響應曲線如圖8(a)～圖8(d)所示。

表3(a)和表3(b)分別給出了兩盤偏心同向與偏心反向時的各盤心節(jié)點的響應幅值。

由表3可以看出，在轉(zhuǎn)頻為10Hz時，2號盤心節(jié)點和3號盤盤心節(jié)點位置的響應幅值較大，這是由于這一轉(zhuǎn)速非?？拷谝浑A臨界轉(zhuǎn)速，振型接近第一階模態(tài)振型。通過計算各轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的響應還發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子各截面在54Hz轉(zhuǎn)頻下響應幅值比其他轉(zhuǎn)頻下要小幾個數(shù)量級，這一轉(zhuǎn)頻為反共振頻率。與同向不平衡力下的響應幅值相比，反向不平衡力下的不平衡響應在前兩階臨界轉(zhuǎn)速附近振動幅值都減小，第三階臨界轉(zhuǎn)速附近振動峰值增大，這與高階振型耦合有關(guān)。

圖8　盤心幅頻響應曲線

表3(a)　各盤心節(jié)點在偏心同向時的響應

表3(b)　各盤心節(jié)點在偏心反向時的響應

3號盤與4號盤上不平衡量產(chǎn)生的激振力同向時，控制轉(zhuǎn)子這兩個盤的響應位移分別為10Hz轉(zhuǎn)速下的響應幅值5.176 2μm和2.321 1μm，計算同時控制轉(zhuǎn)子兩個盤的響應幅值時各盤的不平衡響應，與控制一個盤的響應幅值時的不平衡響應分析方法相同。圖9為控制轉(zhuǎn)子3號盤和4號盤的位移時，1號盤心節(jié)點Y方向的幅頻響應曲線。幅頻響應曲線中會在反共振頻率54Hz附近出現(xiàn)峰值。

表4給出了各盤盤心節(jié)點分別在三個轉(zhuǎn)速下的響應幅值。表3與表4相對比可以看出，轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)頻為10Hz時各盤的響應與轉(zhuǎn)子在兩同向不平衡激振力下的響應幅值相同。這說明同頻率下，控制位移時的響應與不平衡激振力下其他各盤的響應幅值一致。

4.3控制響應幅值求最大允許不平衡量

由4.1中已知1號盤上有幅值為0.000 1ω2的不平衡激振力，轉(zhuǎn)頻為10Hz時，Y方向上最大響應位移為1.255 9μm。計算此轉(zhuǎn)速下控制1號盤的響應幅值不超過10μm，盤上允許的最大不平衡量U由

圖9　1號盤心的幅頻響應

頻率/Hz各盤心節(jié)點振動幅值/μm1號盤心2號盤心3號盤心4號盤心102.37744.31925.17622.32114510.649011.61205.17622.3211804.93371.37065.17622.3211

算得U=7.962 4×10-4kg·m。因此，若轉(zhuǎn)頻為10Hz要求盤的最大響應位移為10μm時，盤上允許的不平衡量不能超過79.624g·cm。

1號盤上有79.624g·cm的不平衡量時,利用ANSYS有限元軟件計算該盤的最大響應位移。通過計算得到1號盤心節(jié)點Y方向的幅頻響應曲線如圖10所示：

圖10　1號盤心的幅頻響應

在轉(zhuǎn)頻為10Hz時，Y方向的響應幅值為9.999 99×10-6m，約10μm，與理論計算的結(jié)果一致。這說明僅第一級盤上有不平衡量時，若要限制第一級盤在Y方向上的最大響應位移不超過10μm，控制盤上所有不平衡量在此方向上的矢量和不超過79.624g·cm即可達到要求。

實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的每個盤上都有或多或少的不平衡量。這種情況下應先計算每個盤上的不平衡量對轉(zhuǎn)子不平衡的影響，以轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)頻為20Hz時為例，表5中給出了1kg·m的不平衡量分別分布在不同盤上時(同方向)各盤的響應位移。

各盤的響應是各盤不平衡影響的疊加，根據(jù)表5可以列出在不同的不平衡量分布情況下各盤的響應方程組，如式(4)所示

(4)

表5　不同的不平衡量分布下各盤響應位移

注：負號(-)表示節(jié)點的振動方向為不平衡合力矢量的反方向。

提取系數(shù)矩陣

D=-10-3×

定義列向量U

U=[U1U2U3U4]T

(5)

其中，U1、U2、U3和U4分別為4個盤上的不平衡量，此時4個盤的響應位移X1、X2、X3和X4通過公式(6)可以求出

X=[X1X2X3X4]T=DU

(6)

其中，D-1為D的逆矩陣。將計算求得的不平衡量分別添加在4個盤上，利用ANSYS軟件分析不平衡響應，各盤在轉(zhuǎn)頻為20Hz時的響應幅值如表6所示。

表6　各盤響應幅值

由表6可看出，將求解的4個盤的不平衡量分別加在盤上，各盤的響應位移不超過規(guī)定的最大振動幅值，其響應幅值與限定的振動幅值基本一致，其中的微小誤差來源于響應系數(shù)矩陣與不平衡量的取位精度。這說明控制各盤響應幅值計算得出的各盤上允許的最大不平衡量是正確的。

5　結(jié)論

文中利用控制位移求響應的方法(位移激勵法)，根據(jù)最大允許的響應位移反求出不平衡量的范圍，這對實際轉(zhuǎn)子的設(shè)計及制造有一定的參考價值。具體結(jié)論如下：

(1)對比分析同轉(zhuǎn)頻時不平衡力激勵和位移激勵的響應情況，結(jié)果表明各盤的響應幅值是一致的，驗證了控制位移求響應這種方法是可行的；

(2)不平衡激勵下各盤的幅頻響應曲線在臨界轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)峰值。位移激勵下施加激勵的盤的幅頻響應為一條水平直線，其他各盤的響應曲線在臨界轉(zhuǎn)速不會出現(xiàn)峰值，而是在不平衡盤的反共振頻率對應的轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)峰值；

(3)不平衡激勵可以求出轉(zhuǎn)子各盤的響應，而控制位移反求不平衡量的方法只能求出控制位移的盤上的不平衡量。這是由于此方法限定一個盤的響應位移時，計算過程中認為此位移是由該盤上不平衡量引起的，其他盤均不存在不平衡；

(4)多盤不平衡響應是每個不平衡盤分別引起的響應的疊加。若要控制轉(zhuǎn)子n個盤的響應位移就可以列出相應的n元方程組，求出對應的n個盤上的不平衡量。

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(責任編輯：宋麗萍英文審校：趙歡)

Reverseanalysisofrotorunbalanceresponse

LIUCui-hong，WANGKe-ming，XIAKun，SHIFeng

(FacultyofAerospaceEngineering,ShenyangAerospaceUniversity,Shenyang110136,China)

Vibrationfaultcausedbyunbalanceisthemostcommonfaultforaero-engine,andthecalculationandanalysisofunbalanceresponseissignificantforthepracticalengineeringapplication.Accordingtotheanalysismethodofrotorunbalanceresponseexcitedbyonediscandmorediscs,areversemethodofthecommonunbalanceresponseanalysis,i.e.displacementexcitationmethodwasproposed.Thismethodanalyzesrotorunbalancebycontrollingonediscormorediscsresponsedisplacement.Theresponsedisplacementsofthediscsexcitedbyunbalanceandtheresponseofthediscsexcitedbytheresponsedisplacementsofunbalancediscswerecomparedandanalyzed.Theresultsshowthattheresponsedisplacementofeachdiscisidenticalforthetwotypesofexcitationatthesamerotatingspeed.Inordertopreventtherubbingcausedbyoverlargedeflectionofrotor,themaximumallowableunbalanceisobtainedbythedisplacementrestrictionmethodaccordingtotheunbalanceresponsesofrotorandunbalancedistributionofthediscs.

rotordynamiccharacteristic;unbalanceresponse;displacementrestrictionmethod;anti-resonance;reverseanalysis

2015-11-18

劉翠紅(1990-),女，山東荷澤人，碩士研究生，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲，E-mail：565582372@qq.com；王克明(1954-)，男，遼寧沈陽人，教授，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲，E-mail:wmk308@126.com。

2095-1248(2016)04-0030-08

V231.92

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2016.04.006