羅　垚　陳柏超　周　洪

（1. 武漢大學動力與機械學院　武漢　430072　2. 武漢大學電氣工程學院　武漢　430072）

有限長圓柱磁屏同軸線圈電感計算方法

羅垚1陳柏超2周洪1

（1. 武漢大學動力與機械學院武漢4300722. 武漢大學電氣工程學院武漢430072）

對放置于有限長圓柱磁屏中的同軸載流圓環(huán)，借助其磁標勢在復平面上的積分表達式，以圍道變形和留數(shù)定理得到了一種收斂速度很快的屏蔽圓環(huán)互感級數(shù)表達式，該表達式比傳統(tǒng)公式的運算速度快至少兩個數(shù)量級。隨后引入對磁標勢的一種擬設，并借助磁標勢在圓環(huán)所圍區(qū)域上的跳躍性質求出屏蔽圓環(huán)磁標勢的另一種級數(shù)表達式，其本征值依賴于零階Bessel函數(shù)的正零點。在這種表達式基礎上，求得放置于有限長圓柱磁屏中的同軸矩形截面圓柱線圈的自感和互感表達式，并將它們在數(shù)值計算中與有限元模擬的結果進行了對比，其結果顯示所提出的表達式與有限元模擬結果具有很好的一致性。

電感圓柱磁屏留數(shù)定理磁標勢

0　引言

圓柱線圈是電力及電子設備中大量采用的電磁元件，而其自感、互感是相關電磁結構的重要參數(shù)。對置于空氣中的圓柱線圈自感、互感的計算，已有大量文獻進行了討論［1-12］。然而在實際應用中，為了減小高強度磁場對周圍環(huán)境的影響以及降低其對人體健康的潛在危害［13］，往往需要將圓柱線圈置于某種屏蔽結構之內(nèi)?？紤]到低頻磁場激發(fā)的渦流效應不夠強，故實際中對低頻線圈采用較多的是磁屏，即利用屏蔽材料的高磁導率而形成屏蔽作用。在計算磁屏蔽對圓柱線圈自感和互感的影響時，可視磁屏的磁導率μ→∞，其相關計算方法可在文獻［5］中查到。對于磁屏的這種理想化處理，文獻［5］中已指出在一般工程計算中準確度已經(jīng)足夠。對于同軸線圈置于圓柱磁屏（有限長且兩端有與圓柱軸線相垂直的平蓋）中的情形，文獻［5］中提供的方法需要對廣義積分式和級數(shù)式進行數(shù)值求解，其形式對于實際應用是較為復雜的，且數(shù)值計算效率也不夠高。對此，本文將基于載流圓環(huán)的磁標勢來求得一組新的電感計算表達式，在線圈徑向參數(shù)未重合的情形下，將以復平面積分解析延拓的方式，通過積分圍道變形和留數(shù)定理求得一組收斂很快的級數(shù)解；而對線圈徑向參數(shù)重合的情形，將基于載流圓環(huán)磁標勢的擬設（Ansatz）給出對徑向參數(shù)無限制的同軸圓柱線圈的電感級數(shù)表達式。在數(shù)值驗證部分，本文給出的結果將與文獻［5］中提供的計算方法以及有限元法（Finite Element Method， FEM）數(shù)值模擬的結果進行比對。數(shù)值驗證結果顯示，本文提出的計算方法較已有方法運算效率更高，計算準確度亦可充分保證，且能處理已有方法難以處理的更一般情形。有限長圓柱磁屏同軸線圈結構如圖 1所示。本文計算中所用到的各種特殊函數(shù)見表1。

圖1　有限長圓柱磁屏同軸矩形截面圓柱線圈側視及俯視圖Fig.1　Side and plan view of coaxial circular coils of rectangular cross section shielded by the cylindrical magnetic screen of finite length

表1　本文用到的特殊函數(shù)Tab.1　Special functions applied

1　有限長圓柱磁屏中同軸圓環(huán)的磁標勢的級數(shù)解

1.1有限長圓柱磁屏中同軸圓環(huán)的磁標勢的復平面積分表示法

設有一橫截面無窮小的理想載流圓環(huán)，其半徑為a1且流過電流I?，F(xiàn)將其置于一對相距2l的平行無窮大平面磁屏（μ→∞）之間，且圓環(huán)軸線與磁屏面垂直。將圓環(huán)軸線取為圓柱坐標（ρ， ?， z）的 z軸，坐標原點則取為z軸被兩平行磁屏所截線段的中點。設在此設置下，記圓環(huán)中心點坐標為（0， 0，ζ1），則此系統(tǒng)的磁標勢可寫為［6］

對式（1）在t平面的正實軸上進行廣義積分。由于極角方向的對稱性，磁標勢不含?。為了求解這對積分，文獻［6］中以第一類Hankel函數(shù)將它們解析延拓到復t平面上，其結果為

式（2）、式（3）中的積分路徑 W1平行于實 t軸，從t平面的-∞方向延伸至+∞方向，且其與虛軸的交點iτ 滿足0＜τ ＜π/（2l），如圖2所示。

圖2　屏蔽圓環(huán)磁標勢的復平面積分表達式的圍道及其在虛軸上的極點Fig.2　The contours and the poles of the complex integrals of the magnetic scalar potential of the shielded circular rings

現(xiàn)將以上平行雙平面磁屏的結果拓展至有限長同軸圓柱磁屏的情形。該屏蔽結構的各項參數(shù)及坐標系如圖 1所示。為了計入圓柱磁屏的影響，現(xiàn)將式（2）中第二式的徑向函數(shù)中添加一項，以代替原式中的并注意到邊值條件

即可得

故有

從而得到有限長同軸圓柱磁屏圓環(huán)磁標勢的復平面積分表達式為

式（4）、式（5）中，在復t平面的正半虛軸上具有一階極點，即

因此，為了運用留數(shù)定理解出式（4）、式（5），將圍道 W1變形為W2（見圖2），即一條從+i∞出發(fā)向下，逆時針圍繞iπ/（2l），并再次延伸至+i∞的路徑。此路徑將虛軸上所有極點均包含在內(nèi)，故可運用留數(shù)定理將式（4）、式（5）解為級數(shù)，即

對z＜ζ1的情形，只需將式（6）中第一式的第一項置換為其他各項均保持不變。

1.2有限長圓柱磁屏中同軸圓環(huán)的磁標勢的擬設

式（6）的級數(shù)需要對徑向參數(shù)的大小關系進行區(qū)分。為了隨后可以處理圓柱線圈徑向參數(shù)重疊的情形，現(xiàn)推導一種對徑向參數(shù)無限制的磁標勢級數(shù)表達式。為此引入對磁標勢的擬設（Ansatz）為

式中，Aλ為待定系數(shù)；pλ為本征值，使得bpλ是J0（x）的第λ個正零點；f （pλ， z， ζ1）為待求的軸向函數(shù)。由于一個載有電流 I的圓環(huán)在物理上可視為一具有常數(shù)密度I的磁雙層勢，則在磁標勢V穿過該圓環(huán)所包圍的區(qū)域（記為FR）時，V將有一大小為I的躍變，而在圓環(huán)所在平面的剩余區(qū)域（記為 F）保持連續(xù)，即

則

因此，結合式（7）、式（8）和式（10）可得

將式（11）兩邊同時乘以本征函數(shù)，得

因而有

應用正交關系

可得

最終得到磁標勢為

2　有限長圓柱磁屏中同軸圓柱線圈自感、互感的級數(shù)解

2.1同軸圓環(huán)互感的級數(shù)解

設有一圓環(huán)（圓環(huán)2），其圓心坐標為（0， 0， ζ2），半徑為a2，與第1節(jié)中所述圓環(huán)（圓環(huán)1）同軸地置于有限長圓柱磁屏中。為了得到這兩個圓環(huán)之間的互感，可計算穿過圓環(huán)2所圍區(qū)域的磁通，即

進一步由式（6）并考慮

可得

當 a2＞a1時交換式（18）中 a1和 a2的位置即可。類似地，由式（16）可得

當ζ2＜ζ1時交換式（19）中ζ1和ζ2的位置即可。式（18）和式（19）分別以兩圓環(huán)間的半徑和軸向位置間的大小關系進行區(qū)分，且在形式上前者的本征值αλ較后者的本征值pλ簡單。對圓環(huán)自感也可用同樣的方式給出一個級數(shù)解，但由于理想圓環(huán)的截面積被假定為無窮小，故其自感將趨于無窮大，在此處不再對其進行討論。

2.2同軸矩形截面圓柱線圈自感、互感的級數(shù)解

設有兩同軸矩形截面圓柱線圈，匝數(shù)分別為N1、N2，其他幾何參數(shù)及布置方式如圖1所示。它們的自、互感可在 2.1節(jié)得到的級數(shù)基礎上進行徑向和軸向積分得到。式（18）雖具有本征值αλ形式簡單的優(yōu)點，但不適合用來推導此處矩形截面圓柱線圈的自感、互感，因為對于徑向參數(shù)重疊的情形，其積分將導致極為復雜的結果。因此以下推導將基于式（19）。對式（19）的軸向參數(shù)ζ1、ζ2和徑向參數(shù)a1、a2分別積分，并運用［14-16］

得到以下結果：

式中

式中

式中

于是，置于有限長圓柱磁屏中的一對同軸矩形截面圓柱線圈的互感即可由式（21）～式（23）的級數(shù)完全描述。進一步，對一個參數(shù)為R1、R2、h1、z1和N1的屏蔽同軸線圈可完全類似地得到其自感為

式中

有限長圓柱磁屏中的同軸螺線管（薄壁圓柱線圈）或圓盤線圈的自感和互感亦可類似地求出，此處限于篇幅不再贅述。

3　數(shù)值計算

3.1同軸屏蔽圓環(huán)互感公式的數(shù)值驗證

對同軸屏蔽圓環(huán)的互感，文獻［5］中給出的計算方法是運用無屏蔽同軸圓環(huán)互感公式

計算得出基礎值 M0，再以文獻［5］中給出的式（11-49）和式（11-123）分別求出增量Δ1M和Δ2M，最后求和 M=M0+Δ1M+Δ2M。本文給出的式（18）、式（19）將與這種方法進行數(shù)值計算對比。設圓柱磁屏的直徑和高度分別為 2b=1.2m和 2l=0.8m，兩線圈半徑分別為a1=0.5m、a2=0.4m。則根據(jù)它們軸向位置ζ1和ζ2的一組取值，計算結果見表2。t2、t3分別表示以式（19）和文獻［5］中方法算出表2中第三列同一結果所耗的計算時長。式（18）的耗時 t1未列入表中，針對表2中所有參數(shù)的計算耗時均在1ms以內(nèi)。因此，式（18）的數(shù)值性能較之另外兩種方法具有極為明顯的優(yōu)勢。式（18）收斂迅速的原因首先是其本征值αλ形式簡單；其次是其中包含呈指數(shù)衰減的函數(shù) Kn（z）。式（19）由于需要估計Bessel函數(shù)的零點值，故其較文獻［5］中的方法速度偏慢。因此對于同軸屏蔽圓環(huán)互感的計算，推薦采用式（18）。

表2　本文方法與文獻［5］中已有方法對屏蔽同軸圓環(huán)互感的計算性能比較Tab.2　Comparison of the mutual inductance for shielded coaxial circular rings evaluated with the proposed method and that in Ref.［5］

3.2同軸屏蔽矩形截面圓柱線圈自、互感公式的數(shù)值驗證

驗證同軸屏蔽矩形截面圓柱線圈的自感、互感（見式（21）～式（24））時，由于文獻［5］中并未提供一般情況下的相關公式（僅有線圈中心與圓柱磁屏中心重合等特殊情況），加之以文獻［5］中的圓環(huán)互感公式為基礎進行積分，結果相當復雜不便采用，因此將以有限元數(shù)值模擬軟件CST EM Studio仿真的結果來驗證式（21）～式（24）的正確性。設圓柱磁屏的直徑和高度分別為 2b=2m 和 2l= 2.6m，兩線圈幾何參數(shù)分別為：R1=0.6m，R2= 0.9m，R3=0.2m，R4=0.5m，h1=0.4m，h2=0.6m，匝數(shù)分別為N1=550，N2=500。其互感計算結果見表3?？梢钥闯鰞煞N方法顯示出很高的一致性。式（21）～式（23）算出表中各數(shù)據(jù)所用時間均在10s以內(nèi)。

表3　本文方法與有限元模擬對屏蔽同軸圓柱線圈互感的計算結果比較Tab.3　Comparison of the mutual inductance of shielded coaxial circular coils evaluated with the proposed method and that by FEM simulations

保持第一個線圈參數(shù)（R1、R2、h1和N1）以及磁屏圓柱的參數(shù)不變，采用式（24）計算其自感并與CST EM Studio模擬的結果進行比對，其結果見表4。

表4　本文方法與有限元模擬對屏蔽同軸圓柱線圈自感的計算結果比較Tab.4　Comparison of the self-inductance of shielded coaxial circular coil evaluated with the proposed method and that by FEM simulations

由表4可以看出，兩種方法亦顯示出較高的一致性。式（24）算出表中各數(shù)據(jù)所用時間均在 10s以內(nèi)。

4　結論

本文以磁標勢的復平面解析延拓和留數(shù)定理給出的有限長圓柱磁屏同軸圓環(huán)互感表達式（見式（18））比傳統(tǒng)公式的運算速度快至少兩個數(shù)量級。然而該表達式由于需要在徑向參數(shù)上進行區(qū)分而不適合于作為推導屏蔽同軸矩形截面圓柱線圈的自、互感表達式的基礎。為解決這一問題，引入基于零階Bessel函數(shù)J0（z）的正零點的磁標勢擬設，而相應地磁場強度以及穿過圓環(huán)的磁通可由此求得，再借助對圓環(huán)互感的軸向和徑向參數(shù)積分，即能得到所需的矩形截面圓柱線圈自、互感表達式（見式（21）～式（23））。這些表達式的適用情況已超過文獻［5］中相關公式的適用范圍，因文獻［5］中公式僅能處理圓柱線圈對稱放置于屏蔽圓柱中的情形（即圓柱線圈需與屏蔽圓柱中心重合），而本文表達式（見式（21）～式（24））對圓柱線圈的軸向位置沒有任何限制。與FEM模擬的數(shù)值計算對比表明了本文提出的屏蔽同軸矩形截面圓柱線圈自、互感公式的正確性，且其運算效率也完全滿足實際應用要求。

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Approach for Inductance Calculations of Coaxial Circular Coils Shielded by Cylindrical Magnetic Screen of Finite Length

Luo Yao1Chen Baichao2Zhou Hong1
（1. School of Power and Mechanical EngineeringWuhan UniversityWuhan430072China 2. School of Electrical EngineeringWuhan UniversityWuhan430072China）

For the coaxial circular rings carrying currents which are placed into the cylindrical magnetic screen of finite length， a series expression of the mutual inductance is obtained. Herein， the formula of the magnetic scalar potential on the complex plane， as well as the contour deformation and the residue theorem is applied. The obtained expression is at least one hundred times faster than the traditional one. An ansatz of the magnetic scalar potential is then introduced. An alternative series expression of the mutual inductance of the coaxial circular rings is obtained， by using the spring characteristics of the magnetic scalar potential when it passing through the area surrounded by the ring. The eigenvalues of the series depend on the positive zeroes of the zero-order Bessel function. Consequently， the self and mutual inductances of the shielded coaxial circular coils with rectangular cross section are further obtained. The results of the numerical calculations are compared with those of the FEM simulations， which show good consistency.

Inductance， cylindrical magnetic screen， residue theorem， magnetic scalar potential

TM12；TM153

羅垚男，1983年生，博士，主要研究方向為電磁場解析計算及函數(shù)論的應用。

E-mail： ostpreussen@qq.com（通信作者）

陳柏超男，1960年生，教授，博士生導師，主要研究方向為磁控電抗器理論及應用、輸配電系統(tǒng)過電壓、電力電子技術在高電壓中的應用和電能質量及控制等。

E-mail： whgycbc@163.com

2015-05-20改稿日期 2016-02-03