王學(xué)文,羅月娥,潘偉偉,楊　豐

(1.貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽　550018;2.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院，江西景德鎮(zhèn)　333403)

?

帶有隨機(jī)激活機(jī)制的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型研究

王學(xué)文1,羅月娥1,潘偉偉1,楊豐2

(1.貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550018;2.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院，江西景德鎮(zhèn)333403)

在一般的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點(diǎn)從活性態(tài)到鈍化態(tài)的變化是一個(gè)絕對(duì)鈍化過程，即不可逆的老化過程.在實(shí)際情況中，已經(jīng)失去活性的節(jié)點(diǎn)在某一情況下又會(huì)被重新激活，成為活性態(tài)節(jié)點(diǎn).本文提出了帶有隨機(jī)激活行為的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型,采用差分方程和率方程分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)演化過程中的活性態(tài)節(jié)點(diǎn)和休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了描述，對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的度分布進(jìn)行解析求解和數(shù)值模擬，得到了相一致的結(jié)果.

鈍化網(wǎng)絡(luò)；鈍化；激活；度分布；

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是研究復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具.如果網(wǎng)絡(luò)中用節(jié)點(diǎn)來代表個(gè)體，用節(jié)點(diǎn)之間的連邊來表示個(gè)體間的相互作用，真實(shí)系統(tǒng)就能夠抽象成網(wǎng)絡(luò)來進(jìn)行研究[1-2].自從BA模型提出以來，有關(guān)增長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)模型的性質(zhì)和動(dòng)力學(xué)得到了深入研究[3-6].然而在真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)世界中，節(jié)點(diǎn)的老化效應(yīng)也非常重要，由此人們對(duì)于老化網(wǎng)絡(luò)也進(jìn)行了深入研究[7-11].Dorogovtsev等[7]在BA模型的基礎(chǔ)上考慮了時(shí)間因素的影響，提出了新進(jìn)節(jié)點(diǎn)與老節(jié)點(diǎn)的連接概率正比于老節(jié)點(diǎn)連接度和老節(jié)點(diǎn)年齡的冪τ-α.他們通過理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α>1時(shí)網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度屬性消失.2003年，Zhu等[8]也在BA模型的連接概率中引入了與節(jié)點(diǎn)年齡相關(guān)的指數(shù)衰減函數(shù).根據(jù)理論分析與數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)生成的網(wǎng)絡(luò)除了度分布發(fā)生變化之外還有很多明顯的變化.另外，Klemm和Eguiluz[9-10]通過研究科學(xué)引文網(wǎng)絡(luò)，觀察到了節(jié)點(diǎn)年齡和連接概率之間存在負(fù)相關(guān).在此基礎(chǔ)上，他們考慮了個(gè)體的有限集體記憶并提出了一個(gè)高聚類系數(shù)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型.該模型解釋了三種經(jīng)驗(yàn)特征,偏好連接，冪律分布以及節(jié)點(diǎn)年齡與連接概率之間的負(fù)相關(guān)性.但是在這個(gè)模型中，節(jié)點(diǎn)一旦老化就再也不能獲得新的連接，這個(gè)條件太過于絕對(duì).

在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，廣泛存在著老化態(tài)節(jié)點(diǎn)再次被激活的現(xiàn)象.最近,Xiong等[11]在綜合考慮了基于節(jié)點(diǎn)個(gè)體消耗的老化過程和鈍化態(tài)節(jié)點(diǎn)通過與活性態(tài)節(jié)點(diǎn)相鄰來進(jìn)行激活的效應(yīng)，提出了一個(gè)帶有鄰居激活機(jī)制的耗散網(wǎng)絡(luò)模型.在這個(gè)模型中，隨著新節(jié)點(diǎn)的不斷加入，活性節(jié)點(diǎn)可能疲于相互作用而慢慢地失去活性成為老化態(tài)節(jié)點(diǎn).但是，這些老化態(tài)節(jié)點(diǎn)又有可能通過與活性態(tài)節(jié)點(diǎn)相鄰而被激活.他們通過數(shù)值模擬得到了冪律形式的度分布，并且得到了高的聚集系數(shù)和度正相關(guān)性.

本文在鈍化網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)帶有隨機(jī)激活行為的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型.將網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)分為活性態(tài)和休眠態(tài)兩種.在該網(wǎng)絡(luò)模型中，同時(shí)考慮了新進(jìn)活性態(tài)節(jié)點(diǎn)不斷地加入和老節(jié)點(diǎn)狀態(tài)不斷轉(zhuǎn)變的過程.并且就該模型給出了一致的網(wǎng)絡(luò)度分布的理論與模擬解析結(jié)果.

1　網(wǎng)絡(luò)模型

帶有隨機(jī)激活機(jī)制的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型描述了帶有激活機(jī)制的有向增長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò).網(wǎng)絡(luò)中已有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)分為兩種，活性態(tài)和休眠態(tài).新加入的節(jié)點(diǎn)一開始總是處于活性態(tài)，并且發(fā)出一定數(shù)目的連邊.隨著網(wǎng)絡(luò)的演化，活性態(tài)節(jié)點(diǎn)可能會(huì)老化暫時(shí)失去活性成為休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)；然而由于某種原因，休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)可能被選擇激活再次成為活性態(tài)節(jié)點(diǎn).在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)演化的過程中，只有活性態(tài)節(jié)點(diǎn)能夠被新進(jìn)節(jié)點(diǎn)連接.下面就網(wǎng)絡(luò)演化模型進(jìn)行具體介紹：

1)初始時(shí)刻有m0個(gè)度為m的節(jié)點(diǎn)，其中有m個(gè)為活性態(tài)節(jié)點(diǎn)(這里要求m0>m)，其他節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)均為鈍化態(tài)；

3)激活新進(jìn)節(jié)點(diǎn)i，即新進(jìn)節(jié)點(diǎn)的初始狀態(tài)為活性態(tài)；

6)返回步驟2，進(jìn)行演化直到網(wǎng)絡(luò)尺寸達(dá)到N為止.

該模型可以應(yīng)用于引文網(wǎng)絡(luò)中，活性態(tài)節(jié)點(diǎn)通過老化可能成為休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)，這個(gè)過程可以認(rèn)為是一個(gè)“遺忘”的過程.休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)也能夠通過再次被激活成為活性態(tài)節(jié)點(diǎn)，從而再次受到關(guān)注與新進(jìn)的活性態(tài)節(jié)點(diǎn)連接，即再次被新的文獻(xiàn)引用，該過程也是一個(gè)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)過程.

2　度分布的理論計(jì)算及數(shù)值模擬

定義A(k′,t)和D(k′,t)分別為t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中具有入度為k′的活性態(tài)節(jié)點(diǎn)和休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目.根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的演化過程可以寫出網(wǎng)絡(luò)的演化方程.

對(duì)于活性態(tài)節(jié)點(diǎn)可以寫出差分方程

(1)

對(duì)于鈍化態(tài)節(jié)點(diǎn)可以寫出率方程

(2)

其中,μ(k′,t)和π(k′,t)分別為t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中具有入度為k′的節(jié)點(diǎn)的激活和鈍化的概率.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模足夠大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中活性態(tài)節(jié)點(diǎn)的度分布趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即

代入(1)式有

(3)

(4)

為了便于分析，本文主要考慮了一種隨機(jī)激活和偏好鈍化的情況.在這種情況下，任意一個(gè)休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)被激活的概率均相等，則t時(shí)刻入度為t休眠態(tài)節(jié)點(diǎn)被激活的概率為

(5)

應(yīng)用極限條件D(k′)=tp(k′)，代入(5)式可得到

(6)

根據(jù)(4)式有

(7)

2.1隨機(jī)鈍化

此處的鈍化概率為隨機(jī)概率，即每個(gè)活性態(tài)節(jié)點(diǎn)被鈍化的概率相等，可得

(8)

將(7)式和(8)式代入(3)式得到

(9)

對(duì)上述方程進(jìn)行求解有

(10)

根據(jù)初始條件可知A(0)的值為1，即表示新進(jìn)的活性節(jié)點(diǎn)的入度為0.因此，可以得到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的入度分布為

(11)

為了得到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的整體度分布，這里只需要把上述方程變換成如下的形式

(12)

其中k=k′+m.

生成網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為m0=m+1，生成網(wǎng)絡(luò)的尺寸為n=105，實(shí)線為(12)式的最小二乘法擬合結(jié)果

圖1度分布的模擬和理論解析解的比較

Fig1Simulatedandtheoreticalresultsofdegreedistribution

圖1給出了這種情況下網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為105的整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的度分布的模擬和理論解析解的結(jié)果，通過最小二乘法擬合，得到對(duì)應(yīng)于m=20，40和80的衰減指數(shù)1/(m+1)分別為0.048(8),0.024(7)和0.012(4).可以看出網(wǎng)絡(luò)度分布為指數(shù)分布，并且與解析結(jié)果完全一致.

2.2偏好鈍化

此處采用了偏好鈍化機(jī)制，即節(jié)點(diǎn)被鈍化的概率正比于該節(jié)點(diǎn)的入度.由此可以得到，當(dāng)前活性節(jié)點(diǎn)j被鈍化的概率為

(13)

(14)

對(duì)上述方程進(jìn)行求解有

(15)

由初始條件A(0)=1，代入(4)式可得到網(wǎng)絡(luò)入度的分布為

(16)

根據(jù)上式可得網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的整體度分布，這里將上式變換為

(17)

(18)

由上式可以看出，指數(shù)γ依賴于a和m的取值.當(dāng)a=m+2時(shí)，γ=2.圖2給出了這種情況下網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為105的整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的度分布的模擬和解析解的結(jié)果.通過最小二乘法擬合，得到對(duì)應(yīng)于m=20,40和80的衰減指數(shù)γ+1分別為2.83(7),2.91(6)和2.92(9).可以看出網(wǎng)絡(luò)度分布為冪律分布，并且與理論解析結(jié)果完全一致.

3　結(jié)束語

鈍化網(wǎng)絡(luò)模型考慮了節(jié)點(diǎn)的有限記憶性，能夠體現(xiàn)真實(shí)世界的許多特性，冪律度分布，高的集團(tuán)系數(shù)和非負(fù)的連通相關(guān)性.但是鈍化網(wǎng)絡(luò)模型只考慮了不可逆的老化效應(yīng)，節(jié)點(diǎn)從活性態(tài)到鈍化態(tài)的變化是一個(gè)絕對(duì)鈍化過程，而實(shí)際情況是鈍化態(tài)節(jié)點(diǎn)也有可能會(huì)被重新激活.本文在原有的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上考慮了隨機(jī)激活機(jī)制，采用率方程和差分方程分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的活性態(tài)節(jié)點(diǎn)和鈍化態(tài)節(jié)點(diǎn)的演化過程進(jìn)行了描述，并且找出了這兩個(gè)演化方程的內(nèi)在聯(lián)系.本文就隨機(jī)鈍化和偏好鈍化兩種情況對(duì)網(wǎng)絡(luò)的度分布進(jìn)行了理論解析求解和數(shù)值模擬.通過最小二乘法擬合，得到了與理論解析解相一致的結(jié)果.該模型拓展了原有的鈍化網(wǎng)絡(luò)模型，為網(wǎng)絡(luò)模型的進(jìn)一步應(yīng)用創(chuàng)造了條件.

生成網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為m0=m+1，α=m+2,生成網(wǎng)絡(luò)的尺寸為n=105，實(shí)線為公式(17)的最小二乘法擬合結(jié)果

圖2度分布和理論解析解的比較

Fig2Simulatedandtheoreticalresultsofdegreedistribution

[1]ALBERTR,BARABASIAL.Statisticalmechanicsofcomplexnetworks[J].Reviews of Modern Physics,2002,74(1):47.

[2]NEWMAN M E J.The structure and function of complex networks[J].SocietyforIndustrialandAppliedMathematics,2003,45(2):167.

[3]BARABASI A L,ALBERT R.Emergence of scaling in random networks[J].Science,1999,286(15):509.

[4]BARABASI A L,ALBERT R,JEONG H.Mean-field theory for scale-free random networks[J].PhysicaA,1999,272(1-2):173.

[5]DOROGOVTSEV S N,MENDS J F F,SAMUKHIN A N.Structure of growth networks with preferential linking[J].PhysicalReviewLetters,2000,85(21):4633.

[6]SHI D H,CHEN Q H,LIU L M.Markov chain-based numerical method for degree distribution of growing networks[J].PhysicalReviewE,2005,71(3):036140.

[7]DOROGOVTSEV S N,MENDS J F F.Evolution of networks with aging of sites[J].PhysicalReviewE,2000,62(2):1842.

[8]ZHU H,WANG X R,ZHU J Y.Effect of aging on network structure[J].PhysicalReviewE,2003,68(5):056121.

[9]KLEMM K,EGUILUZ V M.Highly clustered scale-free networks[J].PhysicalReviewE,2002,65(3):036123.

[10]KLEMM K,EGUILUZ V M.Growing scale-free networks with small-worid behavior[J].PhysicalReviewE,2002,65(5):057102.

[11]XIONG F,LIU Y,ZHU J,et al.A dissipative network model with neighboring activation[J].TheEuropeanPhysicalJournalB,2011,84(84):115.

(責(zé)任編輯孫對(duì)兄)

The deactivation network model with random activation mechanism

WANG Xue-wen1,LUO Yue-e1,PAN Wei-wei1,YANG Feng2

(1.School fo Physics and Electronic Sciences,Guizhou Normal College,Guiyang 550018,Guizhou,China; 2.School of Mechanical and Electronic Engineering,Jingdezhen Ceramic Institute,Jingdezhen 333403,Jiangxi,China)

In the general deactivation network model,the state change of node is an absolutely deactivation process,it is an irreversible aging process.Considering the actual situation,an inactive node will be reactivated again and become an active node in some cases,this paper presents a deactivation network model with random activation behavior,and the finite difference equations and rate equations are used for describing network evolution process of the active node and dormant node respectively.This paper gives the network degree distributions of the theory analytical solution and numerical simulation,and obtains the consistent results.

deactivation network;deactivation;activation;degree distribution.

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.012

2016-04-23;修改稿收到日期:2016-07-29

貴州省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(黔教合KY字[2015]355)；貴州師范學(xué)院自然科學(xué)研究基金項(xiàng)目(13BS013,13BS012)；貴州省科技廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目 黔科合J字([2014]2143號(hào))；江西省學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JXYJG-2015-091)

王學(xué)文(1976—)，男，江西景德鎮(zhèn)人，副教授,博士.主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).

E-mail:icewater0397@163.com

N 94

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0051-04