陶雙平，王杰為

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

?

參數(shù)型Marcinkiewicz交換子在非齊性度量測度Hardy 空間上的估計

陶雙平，王杰為

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州730070)

非齊度量測度空間；參數(shù)型 Marcinkiewicz 積分； Hardy空間；交換子；有界算子

1　引言及主要結(jié)果

(1)

設(shè)函數(shù)K(x,y)是定義在(X×X){(x,x):x∈X}上的局部可積函數(shù)，滿足：

( i )存在一個常數(shù)C>0，使得對任意的x,y∈X,x≠y，有

(2)

(3)

參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子定義為

(4)

則(4)式定義的積分算子Ms就是經(jīng)典的參數(shù)型Marcinkiewicz積分[11]，并且當(dāng)s=1時，M1恰為Stein于1958年首次定義的n維Marcinkiewicz積分算子[12].

(5)

設(shè)函數(shù)b∈Lipβ(μ),相應(yīng)的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子

(6)

(i)存在球B，使得supp(b)?B;

(ii)∫Xb(x)dμ(x)=0;

(iii)存在函數(shù)aj，supp(aj)?Bj?B及常數(shù)kj∈C，使得b=k1a1+k2a2,j=1,2，且

那么稱b為一個(p,1)λ原子塊,記

本文的主要結(jié)果如下:

(7)

推論1在定理1的條件下,假定Ms在L2(μ)上有界，那么對任意具有緊支集的有界函數(shù)f，存在常數(shù)C>0，使得

(8)

2　主要結(jié)果的證明

證明定理1,2之前,需要下面的引理.設(shè)(X,d,μ)是非齊度量測度空間，對X中的球B?S,記

δ(B,S)具有下面性質(zhì)：

引理1[4](a)對于X中的所有球B?R?S,有δ(B,R)≤δ(B,S);

(b)對任意的ρ∈[1,∞),存在一個正常數(shù)Cρ，使得對所有球B?S,當(dāng)rS≤ρrB時，有δ(B,S)≤Cρ;

(c)存在一個正常數(shù)C，使得對所有球B?R?S，有δ(B,S)≤δ(B,R)+Cδ(R,S).特別地，如果球B與R同心,那么C=1.

定理1的證明設(shè)函數(shù)b∈Lipβ(μ)，則由Minkowski不等式和(2)式，可得

其中，Iβ為分?jǐn)?shù)次積分算子，其定義為[14]

因此，定理1得證.】

記rB為B的半徑，xB為B的球心，則有

下面分別對O1,O2進(jìn)行估計.首先估計O1,易見

接下來估計O11，選取p1,q1,使得

現(xiàn)在估計O12，記N2B1,2B為第一個使得2kB1?2B的正整數(shù)k，簡記為N，結(jié)合Minkowski不等式及(1)和(2)式，得

其中

故

注意到，對y∈B,x∈X2B,有

所以由(2)式及Minkowski不等式，有

最后估計Q.對y∈B，有

結(jié)合(2)，(3)式,積分∫Bh(x)dμ(x)=0以及Minkowski不等式，有

綜上所證，可得

[1]HYT?NEN T.A framework for non-homogeneous analysis on metric spaces，and the RBMO space of Tolsa[J].PublMat，2010，54(4)：485.

[2]COIFMAN R.R,WEISS G.AnalyseHarmoniqueNon-commutativesurCertainsEspacesHomogènes[M].Lecture Notes in Math.242，Berlin:Springer，1971.

[3]TOLSA X.BMO,H1and Calderón-Zygmund operators for non-doubling measures[J].MathAnn，2001，319：89.

[4]YANG D，ZHOU Y.Boundedness of Marcinkiewicz integrals and their commutators inH1(Rn×Rn)[J].Sci China(SerA)，2006，49：770.

[5]HU G，LIN H，YANG D.Marcinkiewicz integrals with non-doubling measures[J].IntegralEquationsOperatorTheory，2007，58：205.

[6]周疆，逯光輝.具有非倍測度的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子在Hardy空間中的有界性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2014，29(3)：361.

[7]李亮，周疆.非倍測度下Marcinkiewicz積分交換子在Hardy空間中的有界性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，28(2)：145.

[8]陶雙平，李省哲.粗糙核Marcinkiewicz積分在Companato空間上的有界性[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，45(4)：11.

[9]LIN H，Yang D.Equivalent boundedness of Marcinkiewicz integrals on non-homogeneous metric measure spaces[J].ScienceChina:Mathematics，2014，57(1)：123.

[10]陶雙平,王萍.非齊度量測度空間上Marcinkiewicz交換子的Lipschitz估計[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015.

[11]H?RMANDER L.Estimates for translation invariant operators inLpspaces[J].ActaMath,1960,104:93.

[12]STEIN E M.On the functions of Littlewood-Paley,Lusin,and Marcinkiewicz[J].TransAmerMathSoc,1958,88(2):430.

[13]HYT?NEN T，YANG Da-chun，YANG Do.The Hardy spaceH1on non-homogeneous metric spaces[J].MathProcCambridgePhilosSoc，2012，153：9.

[14]WANG D,Zhou J.Lipschitz spaces and fractional integral operators associated with nonhomogeneous metric measure spaces[J].AbstractandAppliedAnalysis，2014，Article ID 174010，8 pages.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Estimates for commutators of parameter Marcinkiewicz integrals on non-homogeneous metric measure Hardy spaces

TAO Shuang-ping,WANG Jie-wei

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

non-honogeneousmetricmeasurespace;parameterMarcinkiewiczintegral;Hardyspace;commutator;boundedoperator

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.002

2016-01-17;修改稿收到日期:2016-04-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(11561062)

陶雙平(1964—)，男，甘肅天水人，教授，博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向為調(diào)和分析.

E-mail:taosp@nwnu.edu.cn

O 174.2

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0005-05