陳克恭，馬如云，孫小春

(1.西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州　730070；2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

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勾股定理與太極圖的內(nèi)在聯(lián)系

陳克恭1，馬如云2，孫小春2

(1.西北師范大學(xué)地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730070；2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

《易經(jīng)》和太極文化博大精深、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，然而其表達(dá)方式有別于西方邏輯思維，尤其是太極圖缺少一個(gè)可以被連續(xù)方程所刻畫的標(biāo)準(zhǔn)圖，致使其作為中國(guó)傳統(tǒng)文化根基的科學(xué)性不足，影響了中國(guó)傳統(tǒng)文化的文化自信.本文從勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)入手，通過(guò)單位正方形的內(nèi)切圓，巧妙地應(yīng)用了杠桿平衡原理(阿基米德定理)和模糊數(shù)學(xué)的核心思想，用一個(gè)代數(shù)方程精確地刻畫了太極圖的S曲線，不僅論證了中國(guó)太極圖的科學(xué)性，也揭示了太極圖反映事物存在的本根依據(jù).

易經(jīng)；太極圖；勾股定理；代數(shù)方程

1　勾股定理的哲學(xué)內(nèi)涵

眾所周知，“直角三角形的兩個(gè)直角邊平方之和等于斜邊的平方”，這在中國(guó)稱為勾股定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理，其數(shù)學(xué)模型是

(1)

其中a,b,c分別是直角三角形的兩條直角邊和斜邊，見(jiàn)圖1(a).關(guān)于勾股定理的證明方法已有很多，其中之一就是東漢末年趙爽著《周髀算經(jīng)》時(shí)說(shuō)的“勾股各自乘，并之為玄實(shí).開(kāi)方除之，即玄.”趙爽依此還創(chuàng)造了“勾股圓方圖”，如圖1(b)所示.

(a)勾股定理

(b)勾股圓方圖

若用x和y分別表示兩條直角邊與斜邊所對(duì)應(yīng)正方形面積的商值，并定義x和y分別為這個(gè)三角形的陽(yáng)值和陰值(圖2)，即令

則有

(2)

因?yàn)閍,b∈(0,c)，所以x,y∈(0,1).借助三角函數(shù)，x,y也可以表述為

(3)

圖2　直角三角形中陽(yáng)值與陰值的關(guān)系

其幾何表述見(jiàn)圖3，其中α是邊a的對(duì)角.

(a)陽(yáng)值和陰值

(b)陽(yáng)值曲線

如果說(shuō)(1)式和圖1是歐幾里得幾何的基石，那么圖2和(2)式則提出了模糊集合的概念，開(kāi)啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展之路.把它們聯(lián)系起來(lái)，則有如下概念：

(1)式和(2)式的本質(zhì)內(nèi)涵是指一個(gè)單位直角三角形的斜邊所對(duì)應(yīng)的面積恒等于兩個(gè)直角邊所對(duì)應(yīng)的面積之和.這一點(diǎn)可以用綠洲和沙漠的面積關(guān)系來(lái)形象說(shuō)明，我們選取甘肅張掖為典型個(gè)案，若把張掖這個(gè)城市的總面積看作一個(gè)單位面積“1”，那么，綠洲面積和沙漠面積之和則恒等于“1”(因?yàn)樵趶堃催@個(gè)特定的城市，有水即為綠洲，無(wú)水則為沙漠，但沙漠面積和綠洲面積之和總不會(huì)變[1]);當(dāng)綠洲面積變大時(shí)，沙漠面積就會(huì)變小，反之亦然，而這個(gè)此消彼長(zhǎng)的點(diǎn)的集合就是圓的軌跡.

又因?yàn)?/p>

x=1-y,y=1-x,

所以陽(yáng)函數(shù)和陰函數(shù)保持偶對(duì)平衡，像量子糾纏一樣，相互糾纏、相互疊加，總值恒等于“1”，即綠洲面積是關(guān)于沙漠面積的偏差值，而沙漠面積是關(guān)于綠洲面積的偏差值，它們的偏差值之和恒等于“1”.然而，張掖的大部分區(qū)域絕非百分之百的沙漠，也絕非百分之百的綠洲，他們大多是在綠洲和沙漠之間，就像是在x+y=1這條線段上的點(diǎn)一樣，總處于[0，1]這個(gè)區(qū)間內(nèi)，所不同的是相對(duì)于某一個(gè)平衡值而言，是更靠左一點(diǎn)，還是更靠右一點(diǎn)，是綠洲屬性更強(qiáng)一點(diǎn)，還是沙漠屬性更強(qiáng)一點(diǎn)[2,3].對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，我們完全可以在某一單純屬性上，就兩個(gè)相反相成的狀態(tài)進(jìn)行集合分類，就像土壤的含水量可以分為干和濕兩個(gè)相反相成的集合，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀態(tài)也可以分為積累和消費(fèi)兩個(gè)相反相成的集合.總之，就像我們對(duì)待一切事物的主觀態(tài)度一樣，都可以用某一個(gè)客觀平衡值將事物分為正和反、白和黑,甚至是好和壞兩個(gè)相反相成的集合.盡管如此，但事物狀態(tài)的真實(shí)存在大多是在黑白的區(qū)間內(nèi)，不是非白即黑，而是亦白亦黑.這正是中國(guó)傳統(tǒng)文化中“陰陽(yáng)消長(zhǎng)、此消彼長(zhǎng)，一陰一陽(yáng)謂之道，道生一、一生二、二生三、三生萬(wàn)物”的思想，也是馬克思辯證唯物主義“一分為二”的思想.

2　勾股定理與太極圖的內(nèi)在聯(lián)系

(4)

設(shè)C(x,y1),D(x,y2)，則C,D滿足圓方程：

其中

代入(4)式得中國(guó)太極圖S曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

(5)

圖4(b)中的S曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即得中國(guó)太極陰陽(yáng)標(biāo)準(zhǔn)圖(圖5).

(a)單位正方形內(nèi)切圓

(b)S曲線

(4)式說(shuō)明了圓和正方形之間的關(guān)系，即盡管兩個(gè)系統(tǒng)不同，但它們的變化規(guī)律相同，即陰陽(yáng)值的比值相等，猶如對(duì)一個(gè)特定的杠桿，盡管左右兩邊力臂長(zhǎng)短不同，受力大小不同，但距離和重物兩個(gè)系統(tǒng)之間始終圍繞著一個(gè)平衡點(diǎn)保持著一個(gè)新系統(tǒng)的平衡，這既是阿基米德的杠桿原理(圖6)，也是桿秤稱重物的原理.對(duì)此，我國(guó)先秦時(shí)期的墨子早在《墨經(jīng)》中已有詳細(xì)論述.

圖5　中國(guó)太極陰陽(yáng)標(biāo)準(zhǔn)圖

(陰陽(yáng)面積之和為1，陰陽(yáng)反向值之和為1)

Fig 5The standard Chinese diagram of the universe

圖6　杠桿原理

3　中國(guó)太極圖的“玄”意

世界猶如一個(gè)直角三角形，有一個(gè)相反相成的屬性，像量子糾纏一樣，相互疊加、偶對(duì)平衡于一個(gè)事物之中；這個(gè)相反相成的屬性又猶如兩個(gè)直角邊所代表的面積一樣，此消彼長(zhǎng)、偶對(duì)平衡，但都始終恒等于“1”.從這個(gè)角度講，中國(guó)太極圖及太極文化全部思想的核心就是偶對(duì)平衡，就是關(guān)于“存在者之存在”的幾何表達(dá)，是對(duì)“存在”之根據(jù)的表述，是“being of beings”中的“being”，是“一即一切”中的“一”，它源于勾股定理，卻早已超越了勾股定理，不僅表達(dá)了歐拉公式的思想(eiπ+1=0，“至陽(yáng)1”旋轉(zhuǎn)π=180°得到“至陰-1”；eiθ·e-iθ=(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=cos2θ+sin2θ=1隱含了實(shí)部的平方加虛部的平方等于模的平方的復(fù)數(shù)概念)，也表達(dá)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)模糊集合的重要思想.如此看來(lái)，“勾股各自乘，并之為玄實(shí).開(kāi)方除之，即玄”中的“玄”其實(shí)并不“玄”，是因我們不解，而賦予了“玄”這個(gè)字太多的弦外之音.

[1]陳克恭．“轉(zhuǎn)型”張掖——生態(tài)經(jīng)濟(jì)之路[M].蘭州：甘肅文化出版社，2012．

[2]陳克恭，馬如云．中國(guó)太極圖理論的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，51(5)：1．

[3]陳克恭，馬如云．中國(guó)太極圖理論的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用(Ⅱ)[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，51(6)：1．

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

The intrinsic relation between the Pythagorean theorems and the Chinese diagram of the universe

CHEN Ke-gong1,MA Ru-yun2,SUN Xiao-chun2

(1.College of Geography and Environmental Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China;2.College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The I Ching(The book of change) and Chinese Taiji culture with long history are extensive and profound.However,because their expression are different from the logical thinking of western man,especially there is no one standard graph characterized by the function to the Chinese diagram of the universe,these lead to the lack of science as the foundation of Chinese traditional culture,and influence cultural self-confidence of Chinese traditional culture.This paper accurately characterizes the sigmoid curve to the Chinese diagram of the universe by a function expression based on the Archimedes's principle and the core idea of fuzzy mathematics.The inscribed circle of the unit square plays a very important role during the process.The results express not only the scientificity of the Chinese diagram of the universe,but also the original basis of there is something that is reflected by the Chinese diagram of the universe.

I Ching;the Chinese diagram of the universe;the Pythagorean theorem;algebraic equation

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.001

2016-08-15

陳克恭(1961—)，男，甘肅蘭州人，研究員，博士研究生導(dǎo)師，西北師范大學(xué)黨委書記.主要研究方向?yàn)榄h(huán)境生態(tài)學(xué).E-mail:chenkg@nwnu.edu.cn

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1001-988Ⅹ(2016)05-0001-04