■天津市瑞景中學(xué) 周耀才

“數(shù)學(xué)建模”在物理學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

■天津市瑞景中學(xué) 周耀才

一、問題的提出

高中學(xué)生普遍反映，物理內(nèi)容課上能聽懂但題不會(huì)做，遇到問題不知從何處入手。學(xué)生所缺少的是研究物理問題的思維方法，而方法是隱性的，它的形成需要一段較長(zhǎng)的時(shí)間，我們的目的就是幫助學(xué)生建構(gòu)解決物理問題的方法。

為此，我們認(rèn)真分析了高中物理難學(xué)的原因：

（一）思維離不開具體經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生由初中升入高中，從認(rèn)知角度看，開始由具體運(yùn)算階段進(jìn)入形式運(yùn)算階段，開始從具體事物中解脫出來，能在頭腦中將形式和內(nèi)容區(qū)分開來，能初步運(yùn)用語詞或符號(hào)進(jìn)行邏輯思維，抽象思維能力有些發(fā)展。但是，思維還常常與具體事物相聯(lián)系，離不開具體經(jīng)驗(yàn)，缺乏概括能力，抽象推理能力尚未發(fā)展，不能很好地進(jìn)行命題運(yùn)算。

（二）高中數(shù)學(xué)知識(shí)的編排明顯落后于物理的學(xué)習(xí)進(jìn)度

高一物理開始后，很快學(xué)習(xí)矢量這一概念，而數(shù)學(xué)上向量的概念在高中必修四才講述，學(xué)生理解物理矢量的概念很困難；高一物理用V-t圖求加速度，卻無法直接用直線的斜率來描述加速度，因?yàn)閿?shù)學(xué)課本上的直線方程的斜率放在高二上學(xué)期才進(jìn)行講述。數(shù)學(xué)知識(shí)的編排明顯落后于物理學(xué)習(xí)的節(jié)奏，致使學(xué)生理解物理概念不到位，較快接受比值定義法、極限法、微元法處理物理問題很困難。

（三）物理學(xué)習(xí)的一個(gè)特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)運(yùn)算

進(jìn)入高中后，物理學(xué)習(xí)上量化計(jì)算陡然增多，而學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力往往較差，不能很好地推理、分析和綜合。有時(shí)，即使學(xué)生對(duì)題目考查的物理知識(shí)點(diǎn)非常了解，但由于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用水平低，不能很好地使用題目給出的已知條件，找到各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，快速地解決問題，導(dǎo)致物理學(xué)習(xí)很困難。

二、理論依據(jù)

斯皮羅認(rèn)為，建構(gòu)包含兩方面的含義：其一，對(duì)新信息的理解是通過運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，超越所提供的信息而建構(gòu)成的；其二，從記憶系統(tǒng)中所提取的信息本身，也要按具體情況進(jìn)行建構(gòu)，而不單是提取。學(xué)習(xí)者主動(dòng)創(chuàng)造意義而不是獲得意義，而教學(xué)的作用則是向?qū)W習(xí)者展示如何建構(gòu)知識(shí)，促進(jìn)互相合作，分享交流不同認(rèn)識(shí)。幫助學(xué)生建構(gòu)意義就是要幫助學(xué)生對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容所反映的事物的性質(zhì)、規(guī)律以及該事物與其他事物之間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到較深刻的理解。

課堂教學(xué)在幫助學(xué)生獲得信息、知識(shí)、技能、思維方式及表達(dá)方式時(shí)，也在教學(xué)生如何學(xué)習(xí)；教學(xué)追求的目標(biāo)和結(jié)果，應(yīng)由學(xué)生的“學(xué)”體現(xiàn)出來；教學(xué)效果的好壞，不僅要看它是否達(dá)到了具體的目標(biāo)（如知識(shí)、技能、信息），而且要看它是否能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

在此理念的基礎(chǔ)上，我們簡(jiǎn)化并歸納出同類問題的研究模式，提煉出“數(shù)學(xué)建?！苯鉀Q物理問題的思想方法，歸納出建模法的若干環(huán)節(jié)，使同類問題的思維程序化，從而有目的地培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)建模法”解決物理問題的能力。

三、創(chuàng)新過程與方法——跨學(xué)科建構(gòu)知識(shí)、解決問題、形成能力

（一）指導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與物理學(xué)習(xí)之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)為“物理學(xué)習(xí)的語言和工具”

上課伊始，我從初中物理測(cè)距談起。測(cè)量較近、較小的物體間距我們常常用刻度尺，而要測(cè)更大更遠(yuǎn)的距離用尺子就不行了，需要用數(shù)學(xué)方法。比如，我們想測(cè)量地球與月球相距多遠(yuǎn)，可以通過雷達(dá)對(duì)準(zhǔn)月亮發(fā)一個(gè)脈沖信號(hào)，等到信號(hào)從月亮上反射回來，記下信號(hào)往返的時(shí)間△t，利用數(shù)學(xué)方法S=c△t，

可以較快計(jì)算出地球到月亮的距離。再如，測(cè)高大建筑物的高度，可以根據(jù)太陽光照射留下的影子，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得。我告訴學(xué)生，物理學(xué)研究的是物質(zhì)最普遍、最基本的運(yùn)動(dòng)形式及其相互轉(zhuǎn)化規(guī)律，自然界各種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，在量上都是守恒的，在質(zhì)上也是守恒的，于是才有了機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律，它們最簡(jiǎn)潔的描述就是用數(shù)學(xué)等式表達(dá)出來；而通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理再返回物理世界，才能解決大量的物理問題；高中物理中，大量微觀粒子組成的系統(tǒng)在一定條件下表現(xiàn)出來的不確定性，也是通過數(shù)學(xué)表征出來的。

我進(jìn)一步告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)為考察物理對(duì)象提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語言，提供數(shù)學(xué)分析和數(shù)值計(jì)算的方法，提供嚴(yán)密推理和邏輯證明的工具和抽象思維的能力。伽利略最早嘗試采用精確的數(shù)學(xué)分析和結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來研究物理問題；牛頓則第一個(gè)大量地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來系統(tǒng)地整理物理理論，這些物理大師們的成功都離不開數(shù)學(xué)，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)物理學(xué)習(xí)的重要性，引起學(xué)生思想上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的高度重視。

（二）跨學(xué)科建構(gòu)模型解決物理問題

1.積極開展研究性學(xué)習(xí)。在講述新的物理概念前，把新章節(jié)中要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)教材中一一找出來，弄明白這些知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)意義，為建構(gòu)數(shù)學(xué)模型做好鋪墊。

在講述矢量及運(yùn)算前，我要求學(xué)生找到數(shù)學(xué)必修四課本，指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)上的向量概念和運(yùn)算法則；學(xué)習(xí)V-t圖、X-t圖前，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)直線斜率的意義；在學(xué)習(xí)力的合成與分解前，告知學(xué)生任意角的三角函數(shù)與反三角函數(shù)……在講述物理內(nèi)容前，引導(dǎo)學(xué)生了解新章節(jié)中的數(shù)學(xué)知識(shí)，借助數(shù)學(xué)理解物理概念。

2.在物理教學(xué)過程中，對(duì)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，給學(xué)生做準(zhǔn)確的示范和描述，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表述物理概念，用數(shù)學(xué)方法探尋物理規(guī)律。

在講述通電導(dǎo)體于磁場(chǎng)中受安培力方向時(shí)，我恰到好處地展現(xiàn)空間幾何模型，尤其是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡更是與圓的知識(shí)緊密聯(lián)系，遇到這樣的情況，我適時(shí)講解圓、弦、切線的幾何性質(zhì)，給學(xué)生做準(zhǔn)確的示范，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)為物理學(xué)習(xí)服務(wù)。

3.選取典型例題、習(xí)題，指導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)谩皵?shù)學(xué)建?！焙?jiǎn)化物理問題、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理，然后給予合理的解釋。

如追及與相遇問題，用到一元二次不等式的解法，可以建立“一元二次方程模型”，也可以由V-t圖通過計(jì)算面積、建立“圖像模型”來判斷是否追上。通過典型問題，啟發(fā)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，依次是：

4.創(chuàng)設(shè)開放性實(shí)驗(yàn)室，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)地測(cè)量、分析，在具體的情景中學(xué)會(huì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體驗(yàn)用建模法解決問題。

實(shí)驗(yàn)室內(nèi)存有生物標(biāo)本，如何推算生物死亡的年代。對(duì)于這一問題，可以利用放射性衰變的規(guī)律求得。14C是β衰變核素，半衰期T=5730年，大氣中的14C與12C之比近似為一常數(shù)，由于活的生物體通過呼吸和光合作用與大氣進(jìn)行碳交換，使生物體內(nèi)14C和12C與大氣中有相同的比例，一旦生物體死亡，這種碳交換停止，在生物體內(nèi)的碳只有衰變，沒有生成，其放射性活度將按指數(shù)規(guī)律下降。所以，只要測(cè)得死亡生物體每克碳的放射性活度，就可算出標(biāo)本死亡的年代。利用放射性衰變的規(guī)律也可推算出落到地球上隕石的年齡，進(jìn)而估算太陽系的年齡。

5.利用活動(dòng)課，讓學(xué)生逐步嘗試構(gòu)建多種數(shù)學(xué)模型，鼓勵(lì)學(xué)生交流和討論，利用建模法解決學(xué)習(xí)和生活中遇到的問題。

如圖所示，把一個(gè)真空罐放于光滑水平面上，當(dāng)其右側(cè)被刺破一個(gè)小孔時(shí)，罐子將做什么運(yùn)動(dòng)？

對(duì)于這樣一個(gè)活生生的具體問題，如果不進(jìn)行簡(jiǎn)化是很難描述的，那么，應(yīng)如何識(shí)別并建構(gòu)數(shù)學(xué)模型呢？

分析可知，罐子的運(yùn)動(dòng)情況與跟它相互作用的空氣有關(guān)，若以真空罐和最終進(jìn)入罐內(nèi)的空氣組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，這一系統(tǒng)合外力為零，遵守動(dòng)量守恒定律，可通過構(gòu)建“二體碰撞”模型來處理。若沒有“人船模型”的概念，很難思考此類問題。

四、創(chuàng)新成果

（一）探索出解決物理問題的一個(gè)方法——“數(shù)學(xué)建模法”

歸納出“數(shù)學(xué)建模法”解決物理問題的四個(gè)環(huán)節(jié)“探究—數(shù)學(xué)建?！壿嬐评怼锢斫忉尅薄?/p>

1.探究：尋清實(shí)際問題，包括分析原型的結(jié)構(gòu)、要達(dá)到什么目的以及能給我們提供什么信息，由學(xué)生對(duì)情景所反映的性質(zhì)、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到較深刻的理解。

2.數(shù)學(xué)建模：分析處理資料，確定現(xiàn)實(shí)原型的主要矛盾，忽略次要因素，超越情景信息，進(jìn)行科學(xué)抽象和概括，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具建立各種量之間的關(guān)系。

3.邏輯推理：根據(jù)所采用的數(shù)學(xué)工具在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理或求解，找出數(shù)學(xué)上的結(jié)果。

4.物理解釋：把數(shù)學(xué)上的結(jié)論返回到實(shí)際問題中去，即根據(jù)數(shù)學(xué)上的結(jié)論主動(dòng)創(chuàng)建意義，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題給予解釋，由此判斷數(shù)學(xué)模型正確與否，如有誤，進(jìn)行修正。

（二）數(shù)學(xué)建模的流程是

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決物理問題的關(guān)鍵在于：將物理問題數(shù)學(xué)化，在分析物理情景、理解物理問題要素的基礎(chǔ)上，通過列表、畫圖、建立直角坐標(biāo)系等方式把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，然后對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，得到數(shù)學(xué)解。

（三）引入概念、建立規(guī)律時(shí)也可以通過“數(shù)學(xué)建模法”

【案例】“機(jī)械能守恒定律”的建立

思考如下幾個(gè)物理情景：

把一個(gè)小球用細(xì)線懸掛起來，把小球拉到一定高度的A點(diǎn)，然后放開，小球在擺動(dòng)過程中，可以擺到跟A點(diǎn)等高的C點(diǎn)，如圖甲。如果用尺子在某一點(diǎn)擋住細(xì)線，小球雖然不能擺到C點(diǎn)，但擺到另一側(cè)時(shí)，也能達(dá)到跟A點(diǎn)相同的高度，如圖乙。

物體沿光滑曲面滑下，選取整個(gè)過程中的任意兩點(diǎn)A和B，如圖丙。

發(fā)現(xiàn)這三個(gè)過程有一些共同的特征，可引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

素：物體受幾個(gè)力？唯有重力做功。

挖本質(zhì)：重力勢(shì)能變化伴隨動(dòng)能變化。

理關(guān)系：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

建立函數(shù)模型構(gòu)建機(jī)械能守恒定律：在只有重力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。式中各變量間的依賴關(guān)系，用解析式清晰地表達(dá)出來。由于數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富，用較少的符號(hào)就能言簡(jiǎn)意賅地說明問題，在物理概念、規(guī)律的建立過程中被廣泛采用。

五、學(xué)生的變化

該方法充分利用數(shù)學(xué)思想為物理學(xué)習(xí)服務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)眼光，通過“滲透—體驗(yàn)—積累—內(nèi)化”的過程有目的地培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)建模法”解決物理問題的能力，我們看到了學(xué)生的可喜變化。

（一）學(xué)生變得樂學(xué)、好學(xué)

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣提高了，主動(dòng)提問題、主動(dòng)對(duì)比、模仿建構(gòu)模型。隨著力、電、磁、光、原子等物理知識(shí)的深入學(xué)習(xí)，涌現(xiàn)了不同的物理問題，學(xué)生建構(gòu)了多種數(shù)學(xué)模型以解決這些物理問題，如：函數(shù)模型，三角模型，圖像模型，不等式模型，一元二次方程模型，圓與切線模型等，對(duì)于振動(dòng)現(xiàn)象、波動(dòng)過程常用雙曲型偏微分方程描述，對(duì)于或然現(xiàn)象（如核外電子的分布）用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)來描述……

學(xué)生學(xué)習(xí)方法發(fā)生了極大的變化。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)中的問題主動(dòng)探討，他們自主探究、獨(dú)立思考、分工協(xié)作的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣基本養(yǎng)成。

（二）思維得到發(fā)展，能力得到培養(yǎng)

學(xué)生養(yǎng)成了自己獨(dú)立推導(dǎo)物理公式的習(xí)慣；對(duì)于新的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)思考它在物理上的應(yīng)用；當(dāng)物理學(xué)習(xí)中涉及到不理解的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，學(xué)生知道主動(dòng)查閱數(shù)學(xué)知識(shí)的出處，借以熟悉數(shù)學(xué)知識(shí)；對(duì)于生活中的現(xiàn)象，學(xué)生知道了結(jié)合數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來思考和處理；知道借助數(shù)學(xué)理解物理概念；知道采用精確的數(shù)學(xué)分析結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來研究物理問題；知道積累數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法為物理學(xué)習(xí)服務(wù)。

六、思考

作為教師，為了提高學(xué)生的物理能力和水平，在教學(xué)過程中應(yīng)該有目的地培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決物理問題的能力，我們不僅要講述用數(shù)學(xué)知識(shí)為物理服務(wù)的技巧，也適時(shí)講述數(shù)學(xué)的精神、價(jià)值、數(shù)學(xué)對(duì)物理進(jìn)步所起的作用，從而鼓勵(lì)學(xué)生從更高的境界認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想、方法對(duì)物理學(xué)習(xí)