■天津市瑞景中學 周耀才

“數(shù)學建?！痹谖锢韺W習中的運用

■天津市瑞景中學 周耀才

一、問題的提出

高中學生普遍反映，物理內(nèi)容課上能聽懂但題不會做，遇到問題不知從何處入手。學生所缺少的是研究物理問題的思維方法，而方法是隱性的，它的形成需要一段較長的時間，我們的目的就是幫助學生建構解決物理問題的方法。

為此，我們認真分析了高中物理難學的原因：

（一）思維離不開具體經(jīng)驗

學生由初中升入高中，從認知角度看，開始由具體運算階段進入形式運算階段，開始從具體事物中解脫出來，能在頭腦中將形式和內(nèi)容區(qū)分開來，能初步運用語詞或符號進行邏輯思維，抽象思維能力有些發(fā)展。但是，思維還常常與具體事物相聯(lián)系，離不開具體經(jīng)驗，缺乏概括能力，抽象推理能力尚未發(fā)展，不能很好地進行命題運算。

（二）高中數(shù)學知識的編排明顯落后于物理的學習進度

高一物理開始后，很快學習矢量這一概念，而數(shù)學上向量的概念在高中必修四才講述，學生理解物理矢量的概念很困難；高一物理用V-t圖求加速度，卻無法直接用直線的斜率來描述加速度，因為數(shù)學課本上的直線方程的斜率放在高二上學期才進行講述。數(shù)學知識的編排明顯落后于物理學習的節(jié)奏，致使學生理解物理概念不到位，較快接受比值定義法、極限法、微元法處理物理問題很困難。

（三）物理學習的一個特點就是數(shù)學運算

進入高中后，物理學習上量化計算陡然增多，而學生的數(shù)學應用能力往往較差，不能很好地推理、分析和綜合。有時，即使學生對題目考查的物理知識點非常了解，但由于學生數(shù)學知識運用水平低，不能很好地使用題目給出的已知條件，找到各個量之間的函數(shù)關系，快速地解決問題，導致物理學習很困難。

二、理論依據(jù)

斯皮羅認為，建構包含兩方面的含義：其一，對新信息的理解是通過運用已有經(jīng)驗，超越所提供的信息而建構成的；其二，從記憶系統(tǒng)中所提取的信息本身，也要按具體情況進行建構，而不單是提取。學習者主動創(chuàng)造意義而不是獲得意義，而教學的作用則是向學習者展示如何建構知識，促進互相合作，分享交流不同認識。幫助學生建構意義就是要幫助學生對當前學習內(nèi)容所反映的事物的性質、規(guī)律以及該事物與其他事物之間的內(nèi)在聯(lián)系達到較深刻的理解。

課堂教學在幫助學生獲得信息、知識、技能、思維方式及表達方式時，也在教學生如何學習；教學追求的目標和結果，應由學生的“學”體現(xiàn)出來；教學效果的好壞，不僅要看它是否達到了具體的目標（如知識、技能、信息），而且要看它是否能夠提高學生的學習能力。

在此理念的基礎上，我們簡化并歸納出同類問題的研究模式，提煉出“數(shù)學建?！苯鉀Q物理問題的思想方法，歸納出建模法的若干環(huán)節(jié)，使同類問題的思維程序化，從而有目的地培養(yǎng)和提升學生運用“數(shù)學建模法”解決物理問題的能力。

三、創(chuàng)新過程與方法——跨學科建構知識、解決問題、形成能力

（一）指導學生正確認識數(shù)學知識與物理學習之間的聯(lián)系，強調(diào)數(shù)學為“物理學習的語言和工具”

上課伊始，我從初中物理測距談起。測量較近、較小的物體間距我們常常用刻度尺，而要測更大更遠的距離用尺子就不行了，需要用數(shù)學方法。比如，我們想測量地球與月球相距多遠，可以通過雷達對準月亮發(fā)一個脈沖信號，等到信號從月亮上反射回來，記下信號往返的時間△t，利用數(shù)學方法S=c△t，

可以較快計算出地球到月亮的距離。再如，測高大建筑物的高度，可以根據(jù)太陽光照射留下的影子，利用相似三角形對應邊成比例求得。我告訴學生，物理學研究的是物質最普遍、最基本的運動形式及其相互轉化規(guī)律，自然界各種物質的運動，在量上都是守恒的，在質上也是守恒的，于是才有了機械能守恒定律、能量守恒定律，它們最簡潔的描述就是用數(shù)學等式表達出來；而通過數(shù)學運算與邏輯推理再返回物理世界，才能解決大量的物理問題；高中物理中，大量微觀粒子組成的系統(tǒng)在一定條件下表現(xiàn)出來的不確定性，也是通過數(shù)學表征出來的。

我進一步告訴學生，數(shù)學為考察物理對象提供簡潔精確的形式化語言，提供數(shù)學分析和數(shù)值計算的方法，提供嚴密推理和邏輯證明的工具和抽象思維的能力。伽利略最早嘗試采用精確的數(shù)學分析和結合實驗數(shù)據(jù)來研究物理問題；牛頓則第一個大量地運用數(shù)學方法來系統(tǒng)地整理物理理論，這些物理大師們的成功都離不開數(shù)學，從而讓學生認識到數(shù)學知識對物理學習的重要性，引起學生思想上對數(shù)學知識學習的高度重視。

（二）跨學科建構模型解決物理問題

1.積極開展研究性學習。在講述新的物理概念前，把新章節(jié)中要用到的數(shù)學知識，指導學生從數(shù)學教材中一一找出來，弄明白這些知識點的數(shù)學意義，為建構數(shù)學模型做好鋪墊。

在講述矢量及運算前，我要求學生找到數(shù)學必修四課本，指導學生復習數(shù)學上的向量概念和運算法則；學習V-t圖、X-t圖前，指導學生認識直線斜率的意義；在學習力的合成與分解前，告知學生任意角的三角函數(shù)與反三角函數(shù)……在講述物理內(nèi)容前，引導學生了解新章節(jié)中的數(shù)學知識，借助數(shù)學理解物理概念。

2.在物理教學過程中，對用到的數(shù)學知識，給學生做準確的示范和描述，啟發(fā)學生學會用數(shù)學語言表述物理概念，用數(shù)學方法探尋物理規(guī)律。

在講述通電導體于磁場中受安培力方向時，我恰到好處地展現(xiàn)空間幾何模型，尤其是帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡更是與圓的知識緊密聯(lián)系，遇到這樣的情況，我適時講解圓、弦、切線的幾何性質，給學生做準確的示范，通過加強數(shù)學基礎知識的教學為物理學習服務。

3.選取典型例題、習題，指導學生嘗試利用“數(shù)學建?！焙喕锢韱栴}、引導學生進行嚴密的邏輯推理，然后給予合理的解釋。

如追及與相遇問題，用到一元二次不等式的解法，可以建立“一元二次方程模型”，也可以由V-t圖通過計算面積、建立“圖像模型”來判斷是否追上。通過典型問題，啟發(fā)學生的思維向縱深發(fā)展，依次是：

4.創(chuàng)設開放性實驗室，讓學生進行實地測量、分析，在具體的情景中學會構建數(shù)學模型，體驗用建模法解決問題。

實驗室內(nèi)存有生物標本，如何推算生物死亡的年代。對于這一問題，可以利用放射性衰變的規(guī)律求得。14C是β衰變核素，半衰期T=5730年，大氣中的14C與12C之比近似為一常數(shù)，由于活的生物體通過呼吸和光合作用與大氣進行碳交換，使生物體內(nèi)14C和12C與大氣中有相同的比例，一旦生物體死亡，這種碳交換停止，在生物體內(nèi)的碳只有衰變，沒有生成，其放射性活度將按指數(shù)規(guī)律下降。所以，只要測得死亡生物體每克碳的放射性活度，就可算出標本死亡的年代。利用放射性衰變的規(guī)律也可推算出落到地球上隕石的年齡，進而估算太陽系的年齡。

5.利用活動課，讓學生逐步嘗試構建多種數(shù)學模型，鼓勵學生交流和討論，利用建模法解決學習和生活中遇到的問題。

如圖所示，把一個真空罐放于光滑水平面上，當其右側被刺破一個小孔時，罐子將做什么運動？

對于這樣一個活生生的具體問題，如果不進行簡化是很難描述的，那么，應如何識別并建構數(shù)學模型呢？

分析可知，罐子的運動情況與跟它相互作用的空氣有關，若以真空罐和最終進入罐內(nèi)的空氣組成的系統(tǒng)為研究對象，這一系統(tǒng)合外力為零，遵守動量守恒定律，可通過構建“二體碰撞”模型來處理。若沒有“人船模型”的概念，很難思考此類問題。

四、創(chuàng)新成果

（一）探索出解決物理問題的一個方法——“數(shù)學建模法”

歸納出“數(shù)學建模法”解決物理問題的四個環(huán)節(jié)“探究—數(shù)學建?！壿嬐评怼锢斫忉尅薄?/p>

1.探究：尋清實際問題，包括分析原型的結構、要達到什么目的以及能給我們提供什么信息，由學生對情景所反映的性質、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系達到較深刻的理解。

2.數(shù)學建模：分析處理資料，確定現(xiàn)實原型的主要矛盾，忽略次要因素，超越情景信息，進行科學抽象和概括，運用數(shù)學工具建立各種量之間的關系。

3.邏輯推理：根據(jù)所采用的數(shù)學工具在原有經(jīng)驗的基礎上，進行嚴密的邏輯推理或求解，找出數(shù)學上的結果。

4.物理解釋：把數(shù)學上的結論返回到實際問題中去，即根據(jù)數(shù)學上的結論主動創(chuàng)建意義，對現(xiàn)實問題給予解釋，由此判斷數(shù)學模型正確與否，如有誤，進行修正。

（二）數(shù)學建模的流程是

建構數(shù)學模型解決物理問題的關鍵在于：將物理問題數(shù)學化，在分析物理情景、理解物理問題要素的基礎上，通過列表、畫圖、建立直角坐標系等方式把物理問題轉化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，把文字語言翻譯成數(shù)學語言，然后對得到的數(shù)學模型進行求解，得到數(shù)學解。

（三）引入概念、建立規(guī)律時也可以通過“數(shù)學建模法”

【案例】“機械能守恒定律”的建立

思考如下幾個物理情景：

把一個小球用細線懸掛起來，把小球拉到一定高度的A點，然后放開，小球在擺動過程中，可以擺到跟A點等高的C點，如圖甲。如果用尺子在某一點擋住細線，小球雖然不能擺到C點，但擺到另一側時，也能達到跟A點相同的高度，如圖乙。

物體沿光滑曲面滑下，選取整個過程中的任意兩點A和B，如圖丙。

發(fā)現(xiàn)這三個過程有一些共同的特征，可引導學生建構數(shù)學模型。

素：物體受幾個力？唯有重力做功。

挖本質：重力勢能變化伴隨動能變化。

理關系：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

建立函數(shù)模型構建機械能守恒定律：在只有重力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變。式中各變量間的依賴關系，用解析式清晰地表達出來。由于數(shù)學表達形式簡潔，內(nèi)涵豐富，用較少的符號就能言簡意賅地說明問題，在物理概念、規(guī)律的建立過程中被廣泛采用。

五、學生的變化

該方法充分利用數(shù)學思想為物理學習服務，引導學生結合數(shù)學眼光，通過“滲透—體驗—積累—內(nèi)化”的過程有目的地培養(yǎng)和提升學生運用“數(shù)學建模法”解決物理問題的能力，我們看到了學生的可喜變化。

（一）學生變得樂學、好學

學生的學習興趣提高了，主動提問題、主動對比、模仿建構模型。隨著力、電、磁、光、原子等物理知識的深入學習，涌現(xiàn)了不同的物理問題，學生建構了多種數(shù)學模型以解決這些物理問題，如：函數(shù)模型，三角模型，圖像模型，不等式模型，一元二次方程模型，圓與切線模型等，對于振動現(xiàn)象、波動過程常用雙曲型偏微分方程描述，對于或然現(xiàn)象（如核外電子的分布）用概率論與數(shù)理統(tǒng)計來描述……

學生學習方法發(fā)生了極大的變化。在教師的引導下，學生對學習中的問題主動探討，他們自主探究、獨立思考、分工協(xié)作的良好學習習慣基本養(yǎng)成。

（二）思維得到發(fā)展，能力得到培養(yǎng)

學生養(yǎng)成了自己獨立推導物理公式的習慣；對于新的數(shù)學知識，學生學會思考它在物理上的應用；當物理學習中涉及到不理解的數(shù)學運算時，學生知道主動查閱數(shù)學知識的出處，借以熟悉數(shù)學知識；對于生活中的現(xiàn)象，學生知道了結合數(shù)學的觀點來思考和處理；知道借助數(shù)學理解物理概念；知道采用精確的數(shù)學分析結合實驗數(shù)據(jù)來研究物理問題；知道積累數(shù)學知識和數(shù)學方法為物理學習服務。

六、思考

作為教師，為了提高學生的物理能力和水平，在教學過程中應該有目的地培養(yǎng)和提升學生運用數(shù)學知識和方法解決物理問題的能力，我們不僅要講述用數(shù)學知識為物理服務的技巧，也適時講述數(shù)學的精神、價值、數(shù)學對物理進步所起的作用，從而鼓勵學生從更高的境界認識數(shù)學思想、方法對物理學習