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        一類具有分布時(shí)滯和離散時(shí)滯中立型積分微分方程周期解

        2016-10-12 07:13:08劉孝磊趙文飛
        關(guān)鍵詞:不動(dòng)點(diǎn)時(shí)滯學(xué)報(bào)

        周 剛,劉孝磊,趙文飛

        (海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部,山東煙臺(tái)264001)

        一類具有分布時(shí)滯和離散時(shí)滯中立型積分微分方程周期解

        周剛,劉孝磊,趙文飛

        (海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部,山東煙臺(tái)264001)

        考慮了具有分布和離散時(shí)滯的方程周期解的存在性問題。文章通過利用線性系統(tǒng)的指數(shù)二分性和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到了上述方程周期解存在唯一的充分條件,結(jié)論推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果,并通過一個(gè)例子說明該結(jié)果的優(yōu)越性。

        分布時(shí)滯;離散時(shí)滯;周期解;指數(shù)二分性;不動(dòng)點(diǎn)定理

        無窮時(shí)滯泛函微分方程周期解的存在性問題一直受到人們的廣泛關(guān)注。

        通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,可以得到標(biāo)量Volterra型積分微分方程

        周期解存在性的充分條件。彭世國(guó)等[1]運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理在較弱的條件下,得到了方程(1)周期解存在唯一性。王全義[2]討論了中立型標(biāo)量積分微分方程:

        利用Leray-Schauder和壓縮映像原理討論了方程(2)的周期解的存在性,唯一性和穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[3-8]研究了無窮時(shí)滯Volterra型積分微分方程周期解的存在性,得到了不少好的結(jié)果。楊喜陶[9]利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究了方程:

        得到其周期解存在的條件。陳鳳德等[10]研究了方程:

        利用指數(shù)二分性和不動(dòng)點(diǎn)定理,在不同的條件下,得到了不少有關(guān)周期解存在性的結(jié)果。

        受文獻(xiàn)[8-12]的啟發(fā),考慮如下更加廣泛的具有分布時(shí)滯和離散時(shí)滯中立型積分微分方程:

        的周期解存在性問題。

        為方便起見,先做如下假設(shè)。

        A1:設(shè)存在正的連續(xù)可微的T-周期函數(shù)di(t),i=1,2,…,n和連續(xù)的T-周期函數(shù)α1(t)滿足

        A4:存在非負(fù)連續(xù)的T-周期函數(shù) ci(t),使得對(duì)于t∈?一致成立。

        A5:存在常數(shù),使得對(duì)于任給的t∈?,有,其中,α1(t)、ci(t)分別由A1和A4決定。

        1 幾個(gè)引理

        考慮周期系統(tǒng)

        假設(shè)B:設(shè)存在正的連續(xù)可微的T-周期函數(shù)di(t),i=1,2,…,n和連續(xù)的T-周期函數(shù)α2(t)滿足:

        引理1[12]:設(shè)X(t)是方程(4)的基本解矩陣,若A(t)滿足假設(shè)B和A2,則有且方程(5)存在唯一的T-周期解

        引理2[11]:設(shè)λ(t)是連續(xù)的T-周期函數(shù),則對(duì)任意的t∈?有

        引理3[2]:設(shè)C(t,s)是n×n連續(xù)函數(shù)矩陣且滿足條件A3,f(t)是?上的n維連續(xù)的T-周期函數(shù),則也是連續(xù)的T-周期函數(shù)。

        引理 4[11]:若 T-周期函數(shù)α2(t)滿足,則:

        引理5:[12](Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)S是實(shí)Banach空間X中有界凸閉集,F(xiàn),I:S→X,滿足:

        1)F:S→S全連續(xù);

        2)I:S→S是壓縮映像;

        3)對(duì)任意的u,v∈S,有Fu+Iv∈S,則F+I在S中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

        2 主要結(jié)果

        由定理?xiàng)l件及引理2、4易知h(t)是連續(xù)的T-周期函數(shù)。

        設(shè)Xu(t)是方程(6)的基本解矩陣,故根據(jù)定理的條件及引理1知方程(7)有唯一的T-周期解:

        今在CT中定義算子F、I和G如下:

        易知F、I和G是CT上的自映射。

        (Ⅰ)F:DN→DN全連續(xù);

        (Ⅱ)I:DN→DN是壓縮映像;

        (Ⅲ)對(duì)任意的u,v∈DN,有Fu+Iv∈DN。

        首先,證明(Ⅰ)。

        1)證明存在自然數(shù)N,使得F:DN→DN。

        以及充分大的自然數(shù)Nl+1,使得。現(xiàn)在取M>max{N1,N2,…,Nl,Nl+1},則當(dāng)N>M時(shí),

        同時(shí)成立。

        于是,由定理?xiàng)l件及引理1和式(8)、(9)可得當(dāng)N>M時(shí),有:

        因此,當(dāng)n充分大時(shí),‖F(xiàn)u(t)‖<n,即存在充分大的自然數(shù)N,使得F:DN→DN。

        2)證明FDN是CT中的緊子集。事實(shí)上,因?yàn)镕DN?DN,所以{Fu(t)|u∈DN}是一致有界的。又

        從而對(duì)任意的u∈DN有:

        故{Fu(t)|u∈DN}是等度連續(xù)的,由Ascoli-Arezela定理可知FDN是CT中的緊子集。

        3)證明F在DN上連續(xù)。對(duì)任意的u1,u2∈DN,因?yàn)間i(t,x)在[0,T]×RN上是一致連續(xù)的,且關(guān)于t是T-周期的,故gi(t,x)在?×RN上是一致連續(xù)的,從而對(duì)于任意的ε>0,存在δi=δi(ε)>0(i=1,2,…,l),使得當(dāng)‖u1-u2‖≤δi時(shí),有

        同樣,也存在δl+1>0,使得當(dāng)時(shí),有

        另外,有:

        現(xiàn)取

        于是由定理?xiàng)l件可知對(duì)于任意的u1,u2∈DN,t∈?,只要,就有

        綜合上面的證明可知F:DN→DN是全連續(xù)算子。

        其次,證明(Ⅱ)。

        因?yàn)閷?duì)于任意u∈DN,有

        所以,I在DN上是壓縮映像的。

        最后,證明(Ⅲ)。

        由前面的證明可知對(duì)于任意的u,v∈DN,有‖F(xiàn)u‖≤N(1-q)和‖Iv‖≤Nq,從而可得

        即,F(xiàn)u+Iv∈DN。

        故根據(jù)引理5知F+I在DN上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u0(t),從而有

        就是方程(7)在u(t)=u0(t)時(shí)的周期解,這也說明了方程(3)至少存在一個(gè)連續(xù)的T-周期解。

        注1:與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果相比,其條件(1)是本文中di(t)≡1,B(t,s)=Q(s-t)的特殊情況;其條件(2)中要求存在,本文中不需要這個(gè)條件。實(shí)際上,一般情況下這個(gè)條件不易滿足,例如簡(jiǎn)單情形A(t,x)=x就不滿足。

        注2:文獻(xiàn)[10]中的定理2.2是本文中B(t,s)≡0時(shí)的特殊情況。

        3 應(yīng)用舉例

        考慮下列二維具有無窮時(shí)滯中立型泛函積分微分方程:

        從而定理1的條件滿足,因而可知方程(10)至少有一個(gè)2π-周期解。

        顯然,方程(10)的2π-周期解的存在性用已有文獻(xiàn)所提供的方法是無法判斷的。

        [1]彭世國(guó),朱思銘.具有無窮時(shí)滯泛函微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)年刊,2002,23A(3):371-380. PENG SHIGUO,ZHU SIMING.Periodic solutions of functional differential equations with infinite delay[J]. Chinese Annals Of Mathematics,2002,23A(3):371-380.(in Chinese)

        [2]王全義.具有無限時(shí)滯的積分微分方程解的存在性唯一性及穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1998,21(2):312-318. WANG QUANYI.The existence,uniqueness and stability of solution on a integro-differential equation with infinite delay[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,1998,21(2):312-318.(in Chinese)

        [3]常嘯.一類具無窮時(shí)滯中立型積分微分方程周期解[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(2):62-64. CHANG XIAO.The periodic solutions for a class of neutral integro-differential equations with infinite delays[J]. College Mathematics,2007,23(2):62-64.(in Chinese)

        [4]陳鳳德.具無限時(shí)滯的非線性積分微分方程的周期解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,26(1):141-148. CHEN FENGDE.Periodic solutions of nonlinear integrodifferential equations with infinite delay[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2003,26(1):141-148.(in Chinese)

        [5]江嬌,徐建華.具有無窮時(shí)滯中立型積分微分方程的周期解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2008,28A(5):897-905. JIANG JIAO,XU JIANHUA.Periodic solutions of neutral integro-differential equations with infinite delay[J]. Acta Mathematica Scientia,2008,28A(5):897-905.(in Chinese)

        [6]羅芳瓊.一類具有無窮時(shí)滯的中立型泛函微分方程的周期解[J].柳州師專學(xué)報(bào),2010,25(1):120-128. LUO FANGQIONG.Periodic solution for a class of neutral type functional differential equations with infinite delays[J].Journal of Liuzhou Teachers College,2010,25(1):120-128.(in Chinese)

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        [8]王曉,李志祥,張浩.具有無窮時(shí)滯中立型泛函積分微分方程周期解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,19(4):804-811. WANG XIAO,LI ZHIXIANG,ZHANG HAO.The existence of periodic solution on a neutral integro-differential equation with infinite delay[J].Mathematica Applicata,2006,19(4):804-811.(in Chinese)

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        [11]ZHOU ZONGFU,ZENG LI,JIA BAORUI.Periodic solutions for a class of neutral functional differential equations with distributed and discrete delays[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2012,27(4):485-494.

        [12]謝勝利.有阻尼的二階脈沖無窮時(shí)滯泛函微分方程解的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2015,35A(1):97-109. XIE SHENGLI.Existence results of damped second order impulsive functional differential equations with infinite delay[J].Acta Mathematica Scientia,2015,35A(1):97-109.(in Chinese)

        Periodic Solutions for a Class of Neutral Integro-differential Equations with Distributed and Discrete Delays

        ZHOU Gang,LIUXiaolei,ZHAO Wenfei
        (Department of Basic Science,NAAU,Yantai Shandong 264001,China)

        Using the exponential dichotomy and Krasnoselskii’s fixed point theorem,the existence of periodic solutions for a class of integral- differential equations with distributed and discrete delayswere discussed.These results improves and extends the existing results,which was constructed by an example to illustrate the feasibility.

        distributed delays;discrete delays;periodic solutions;exponential dichotomy;fixed point theorem

        O175.13

        A

        1673-1522(2016)04-0495-06

        10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.016

        2016-05-23;

        2016-06-28

        山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2014AM006)

        周剛(1975-),男,副教授,碩士。

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