黃新峰[1]，喬志琴

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帶有雙時(shí)滯的SEIRVS模型的數(shù)學(xué)分析

黃新峰[1]，喬志琴

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051）

在已有的雙時(shí)滯SEIRS模型基礎(chǔ)上考慮對(duì)易感者進(jìn)行接種免疫，分析所給出的模型無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，以及地方病平衡點(diǎn)的存在性及其相應(yīng)的個(gè)數(shù)，得到了在某些特殊情況下的地方病的穩(wěn)定性．

雙時(shí)滯；SEIRVS模型；穩(wěn)定性

傳染病對(duì)人類的生存有著非常重要的影響[1]，隨著國(guó)際上傳染病動(dòng)力學(xué)的進(jìn)一步研究[2]，一些生物學(xué)因素被考慮到了傳染病模型中，如將出生率和死亡率考慮到了傳染病模型中，引入人口的年齡結(jié)構(gòu)等．隨著時(shí)滯微分方程理論[3]研究逐漸成熟，為了更加充分地反映傳染病的傳播特性，一些帶有時(shí)滯的模型[4-7]被建立．文獻(xiàn)[8]建立了一類含有2個(gè)時(shí)滯的SEIRS模型，該模型只考慮了疾病的潛伏期和恢復(fù)期，沒(méi)有考慮對(duì)疾病進(jìn)行接種免疫，由于這個(gè)模型含有2個(gè)時(shí)滯，研究地方病平衡點(diǎn)變得比較困難，只進(jìn)行了地方病平衡點(diǎn)的局部研究，沒(méi)有進(jìn)行全局研究．本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，考慮對(duì)易感人群進(jìn)行接種免疫，即在原SEIRS模型中引入了一類經(jīng)過(guò)免疫的種群．假設(shè)接種率為，免疫失效率為，．

1模型建立

圖１　含免疫期的倉(cāng)室圖

相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為

進(jìn)而有

采用文獻(xiàn)[8]中方法，可以證明：滿足系統(tǒng)（1）的解一定滿足系統(tǒng)（2）；相反，系統(tǒng)（2）滿足初始條件的解也是系統(tǒng)（1）的解．當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一解，且．

2無(wú)病平衡點(diǎn)分析

即

3地方病平衡點(diǎn)分析

綜上可知，結(jié)論成立.證畢．