張顯庫(kù)

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

基于非線性反饋的水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)魯棒控制

張顯庫(kù)

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

為提高水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)控制的魯棒性和節(jié)能效果，在保持已有的多輸入多輸出(Multiple-Input Multipe-Output, MIMO)魯棒控制器不變的基礎(chǔ)上，引入正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋代替原有的誤差線性反饋。仿真結(jié)果表明：在模型攝動(dòng)時(shí)，魯棒控制器主要改進(jìn)縱搖效果，而非線性反饋控制能同時(shí)改進(jìn)升沉和縱搖效果，控制效果比魯棒控制器提升70%以上，控制能量比魯棒控制器節(jié)省90%以上。簡(jiǎn)單的理論分析和仿真研究結(jié)果表明：正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋對(duì)于MIMO系統(tǒng)的控制同樣適用。

水路運(yùn)輸； 船舶運(yùn)動(dòng)控制；水翼艇；非線性反饋；魯棒控制；閉環(huán)增益成形

Abstract: In order to improve the robustness of the longitudinal motion control for hydrofoils and the energy consumption, a nonlinear sine function modulated error signal is introduced to replace the original linear error feedback while keeping the construction of the Multiple-Input Multiple-Output(MIMO) robust controller unchanged. The simulation results show that under given perturbations, the original robust controller mainly improves the pitch damping effect, in contrast, the nonlinear feedback controller decreases the heave and pitch simultaneously. Tests indicate that over 70% of control effect improvement with over 90% energy saving is achieved by introducing the nonlinear feedback.

Keywords: waterway transportation; ship motion control; hydrofoil; nonlinear feedback; robust control; closed-loop gain shaping algorithm

水翼艇控制屬于多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制且控制精度要求較高，是船舶運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)之一。[1-4]文獻(xiàn)[1]給出水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)的多變量隨機(jī)最優(yōu)控制，仿真結(jié)果較為理想，但沒有討論模型攝動(dòng)時(shí)的情況；文獻(xiàn)[2]在此基礎(chǔ)上使用閉環(huán)增益成形算法和鏡像映射方法設(shè)計(jì)出水翼艇的魯棒控制器，魯棒性能良好。近幾年，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者[5-8]采用多種方法對(duì)水翼艇進(jìn)行控制，以有效減緩船舶的縱向運(yùn)動(dòng)，改善乘員的暈船狀況。這些研究在減緩船舶縱向運(yùn)動(dòng)和節(jié)能方面都還有進(jìn)一步改進(jìn)的空間。文獻(xiàn)[9]提出一種正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋概念，并已在單輸入單輸出(Single-Input Single-Output, SISO)船舶航向保持系統(tǒng)的應(yīng)用中取得良好的節(jié)能效果。這里在文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上將非線性反饋引入到MIMO系統(tǒng)中，進(jìn)行有益的嘗試。

1 水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

取狀態(tài)向量為

(1)

式(1)中：h為水翼艇升沉位移；θ為水翼艇縱搖角。

水翼艇的縱向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)空間型數(shù)學(xué)模型[1-2]為

(2)

以文獻(xiàn)[10]中的PCH水翼艇為例，其航速為48 kn，排水量為110 t，船長(zhǎng)為35 m，船寬為9.8 m，吃水為5.2 m，所得數(shù)學(xué)模型中各系數(shù)的矩陣為

A=

(3)

(4)

若輸出h和θ，則傳遞函數(shù)型數(shù)學(xué)模型G為

(5)

用s表示拉普拉斯算子，且有

(6)

鏡像映射方法是將不穩(wěn)定被控對(duì)象傳遞函數(shù)的不穩(wěn)定零極點(diǎn)用對(duì)稱于虛軸的穩(wěn)定零極點(diǎn)鏡像替換后形成穩(wěn)定的被控對(duì)象的方法；閉環(huán)增益成形算法是利用H∞魯棒控制理論的結(jié)果及具有工程意義的4個(gè)參數(shù)構(gòu)造出閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，進(jìn)而反推出魯棒控制器的算法。[3]文獻(xiàn)[2]給出采用鏡像映射和閉環(huán)增益成形算法的6階魯棒控制器設(shè)計(jì)為

(7)

式(7)中：c=s4+14.634 3s3+47.798 7s2+10.510 4s+33.530 4；a11=(-0.917 7s2-12.058 6s-5.285 4)/(407.262 5s4+7 042.501 9s3+35 392.983 9s2+57 838.658 1s+13 654.215 6)；a12=(59.770 6s2+658.851 3s+859.778 0)/(407.262 5s4+7 042.501 9s3+35 392.983 9s2+57 838.658 1s+13 654.215 6)；a21=(-5.723 4s2-30.184 6s-2.137 8)/(407.262 5s4+7 042.501 9s3+35 392.983 9s2+57 838.658 1s+13 654.215 6)；a22=(-71.016s2-665.931 2s-2 235.616 4)/(407.262 5s4+7 042.501 9s3+35 392.983 9s2+57 838.658 1s+13 654.215 6)。

2 非線性反饋改進(jìn)及仿真

圖1為正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋結(jié)構(gòu)圖，圖中非線性函數(shù)與常規(guī)方框圖所表達(dá)的含義不同(由于沒有更好的表達(dá)方法，暫時(shí)如此繪制)。設(shè)e=r-y，圖1所要表達(dá)的是u=Ksin(ωe)，而不是常規(guī)的結(jié)構(gòu)圖數(shù)學(xué)表達(dá)u=Ksin(ωe)e。u=Kr實(shí)現(xiàn)從手動(dòng)到自動(dòng)控制的飛躍；而u=Ke則實(shí)現(xiàn)從開環(huán)控制到閉環(huán)反饋控制的飛躍。常規(guī)閉環(huán)反饋控制為線性反饋，只將設(shè)定信號(hào)的誤差直接反饋給控制器；而非線性反饋研究的是u=Kg(e)，g(e)應(yīng)是關(guān)于橫軸反對(duì)稱的奇函數(shù)。以往對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的控制主要研究K為非線性的形式，這里保持原有K的形式不變，僅關(guān)注誤差的非線性反饋形式。文獻(xiàn)[9]給出對(duì)SISO船舶航向保持控制系統(tǒng)使用正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋能夠節(jié)能的理論分析和仿真。這里針對(duì)MIMO水翼艇控制系統(tǒng)的2個(gè)通道都使用sin(0.1e)相同的非線性反饋進(jìn)行仿真研究。

圖1 正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋結(jié)構(gòu)圖

用MATLAB的Simulink進(jìn)行系統(tǒng)仿真，魯棒控制器與文獻(xiàn)[2]相同，如式(7)所示，取T11=0.1 s,T22=4 s，唯一變化的是2個(gè)通道都使用sin(0.1e)相同的非線性反饋，仿真結(jié)果見圖2。

從圖2中可看出，升沉位移經(jīng)非線性反饋控制后幅值明顯變小，非線性反饋控制前為深色曲線(最大值為1.76 m)，控制后為淺色曲線(最大值為0.29 m)；縱搖角由控制前(深色曲線)的最大值13.35°降為控制后(淺色曲線)的最大值0.39°。原魯棒控制的升沉位移最大值為1.80 m，與控制前的最大值1.76 m相比變化不大；但縱搖角由控制前的最大值13.35°降為控制后的最大值1.81°，控制效果明顯。[2]

a) 升沉位移變化情況

b) 縱搖角變化情況

通過比較可知：魯棒控制器主要改進(jìn)縱搖效果；而非線性反饋控制同時(shí)改進(jìn)升沉和縱搖效果，升沉位移最大值降為初始最大值的16.5%，縱搖角最大值降為初始最大值的3%，分別比魯棒控制器提升83.9%和78.4%。

圖3給出模型產(chǎn)生攝動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果，此時(shí)相當(dāng)于在原模型上加一個(gè)0.4s的純滯后環(huán)節(jié)e-0.4s。由仿真結(jié)果可知，升沉位移經(jīng)過非線性反饋控制后幅值明顯變小，非線性反饋控制前為深色曲線(最大值為1.76 m)，控制后為淺色曲線(最大值為0.31 m)，最大值比名義模型時(shí)稍大(增加0.02 m)；縱搖角由控制前(深色曲線)的最大值13.35°降為控制后(淺色曲線)的最大值0.39°，與名義模型時(shí)相同?？傮w而言，攝動(dòng)模型的控制效果與名義模型基本相同，說明控制器具有一定的魯棒性。

模型攝動(dòng)時(shí)，原魯棒控制的升沉位移最大值變?yōu)?.47 m，在系統(tǒng)仍然穩(wěn)定的前提下變化明顯加劇；但縱搖角由控制前的最大值13.35°降為控制后的最大值2.20°，降低效果仍然明顯。[2]

通過比較可知：模型攝動(dòng)時(shí)魯棒控制器主要改進(jìn)縱搖效果(升沉位移變差)；而非線性反饋控制同時(shí)改進(jìn)升沉和縱搖效果，升沉位移最大值降為初始最大值的17.6%，縱搖角最大值降為初始最大值的3%，分別比魯棒控制器提升93.1%和82.3%。

a) 升沉位移變化情況

b) 縱搖角變化情況

文獻(xiàn)[9]重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)引入非線性反饋能夠節(jié)能，針對(duì)MIMO水翼艇的控制是否具有相同效果，圖4給出攝動(dòng)模型時(shí)有無非線性反饋情況下2個(gè)控制通道(即δe,δf)的輸出曲線。

1) 從圖4a中可看出，采用魯棒控制器時(shí)，2個(gè)控制通道輸出的最大值分別為33.9°和223.1°，平均值分別為7.2°和24.9°。平均值看起來比圖形中視覺觀察的要小很多的原因是曲線較密，大部分?jǐn)?shù)值較小的點(diǎn)被覆蓋住了，若取5 000個(gè)大數(shù)(共19 000個(gè)數(shù)據(jù)，變步長(zhǎng)仿真)，則計(jì)算平均值是給出平均值的2.4倍，結(jié)果即與視覺觀察值相近。

2) 從圖4b中可看出，采用非線性反饋控制時(shí)，2個(gè)控制通道輸出的最大值分別為2.5°和16.3°，與圖4a相比分別降低92.6%和92.7%；平均值分別為0.45°和1.59°，與圖4a相比分別降低93.7%和93.6%。

Simulink仿真中使用白噪聲模擬海浪干擾，功率強(qiáng)度取為0.1，屬于惡劣海況[3]，故曲線中船舶的升沉位移和縱搖角都相對(duì)較大。

3 理論分析

對(duì)于MIMO系統(tǒng)，引入非線性反饋后相關(guān)理論分析較為困難，為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)誤差較小時(shí)sin(ωe)≈ωe。

3.1對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的影響

根據(jù)終值定理，可計(jì)算得到穩(wěn)態(tài)誤差為

a) 魯棒控制的控制輸出

b) 非線性反饋控制的控制輸出

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，有

(9)

則

(10)

故正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋不對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)生額外影響。

3.2對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的影響

從系統(tǒng)輸入r到系統(tǒng)輸出y的傳遞函數(shù)為

(11)

式(11)中：當(dāng)ω=1時(shí)，相當(dāng)于原魯棒控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；當(dāng)ω≠1時(shí)，適當(dāng)選擇ω可改變系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。

3.3對(duì)控制輸出的影響

從系統(tǒng)輸入r到控制器輸出u的傳遞函數(shù)為

(12)

式(12)中：當(dāng)ω<1時(shí)，相當(dāng)于降低控制輸出的自然頻率并增加控制輸出的阻尼(這里非線性反饋控制的控制輸出頻率由原來魯棒控制的控制輸出19.0 Hz降為16.7 Hz)，降低控制輸出幅值，從而達(dá)到節(jié)能的效果。

4 結(jié)束語

保持原有的基于閉環(huán)增益成形和鏡像映射方法設(shè)計(jì)的魯棒控制不變，通過引入正弦函數(shù)驅(qū)動(dòng)的非線性反饋，對(duì)MIMO形式的水翼艇控制系統(tǒng)進(jìn)行完善，取得控制效果和節(jié)能效果均比原魯棒控制好的仿真結(jié)果，控制效果比魯棒控制器提升70%以上，控制能量比魯棒控制器節(jié)省90%以上。該研究只對(duì)誤差較小時(shí)非線性反饋能改善系統(tǒng)輸出性能并節(jié)能的簡(jiǎn)單理論進(jìn)行分析，后續(xù)工作中將進(jìn)行更深入的理論分析。

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RobustControlofLongitudinalMotionforHydrofoilsBasedonNonlinearFeedback

ZHANGXianku

(Navigation College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China)

2015-12-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(51109020)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(3132014302)

張顯庫(kù) (1968—), 男, 遼寧遼陽(yáng)人，教授，博士生導(dǎo)師，從事艦船運(yùn)動(dòng)控制研究。E-mail: zhangxk@dlmu.edu.cn

1000-4653(2016)01-0060-04

U664.82

A