馬寶林，張洪波，鄭　偉，吳　杰

(國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙　410073)

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地球擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈命中精度影響的等效補(bǔ)償理論*

馬寶林，張洪波，鄭偉，吳杰

(國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙410073)

為消除地球擾動(dòng)引力的影響、提高彈道導(dǎo)彈的命中精度，根據(jù)地球擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)影響的特性與控制系統(tǒng)理論，建立不直接補(bǔ)償?shù)厍驍_動(dòng)引力對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響卻能滿足命中精度要求的等效補(bǔ)償理論。根據(jù)不同補(bǔ)償方式與補(bǔ)償量的特點(diǎn)，提出嵌入式、分步式、分段式等補(bǔ)償模式，為補(bǔ)償?shù)厍驍_動(dòng)引力對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的影響提供了一個(gè)通用框架和理論基礎(chǔ)。

地球擾動(dòng)引力；等效補(bǔ)償；嵌入式；分步式；分段式

由于地球擾動(dòng)引力場(chǎng)的作用，在地球外部空間任意一點(diǎn)的實(shí)際引力加速度不同于正常引力加速度(與正常引力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的引力加速度)，兩者之差為擾動(dòng)引力加速度，簡(jiǎn)稱擾動(dòng)引力[1]。據(jù)資料顯示，擾動(dòng)引力對(duì)遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)有顯著的影響，對(duì)于10 000 km左右射程的彈道導(dǎo)彈，擾動(dòng)引力造成的落點(diǎn)偏差可達(dá)千米量級(jí)[2-3]。因此，為消除擾動(dòng)引力的影響、提高導(dǎo)彈的命中精度，在設(shè)計(jì)發(fā)射諸元和飛行控制特征量時(shí)，必須考慮擾動(dòng)引力影響的補(bǔ)償問題[2]。

對(duì)于遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈命中精度而言，擾動(dòng)引力屬于系統(tǒng)誤差。理論上只要能準(zhǔn)確找到其影響規(guī)律，經(jīng)過補(bǔ)償能減少或消除誤差的影響。美國(guó)、俄羅斯在遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈研制方面處于領(lǐng)先地位。其中，美國(guó)的先進(jìn)型號(hào)洲際彈道導(dǎo)彈落點(diǎn)圓概率偏差(Circular Error Probability，CEP)已在百米以內(nèi)；俄羅斯部分型號(hào)洲際彈道導(dǎo)彈的CEP也正在接近百米目標(biāo)[4]，這些間接證明了美、俄對(duì)擾動(dòng)引力的影響進(jìn)行了補(bǔ)償。

但是，直接補(bǔ)償擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的影響困難重重：一是主動(dòng)段實(shí)時(shí)直接補(bǔ)償擾動(dòng)引力的影響需要消耗諸如燃料等大量彈上資源；二是彈載慣性器件對(duì)地球引力不敏感[5]，雖然地球外部的擾動(dòng)引力可由地面重力異常推算獲得[1-2]，但因計(jì)算量過大，對(duì)彈載計(jì)算機(jī)的性能提出了很大的挑戰(zhàn)；三是依靠慣性制導(dǎo)的彈道導(dǎo)彈在被動(dòng)段一般處于無(wú)動(dòng)力飛行狀態(tài)[1]，無(wú)法通過控制力對(duì)被動(dòng)段擾動(dòng)引力的影響進(jìn)行直接補(bǔ)償。

綜上所述，如何避免采用直接抵消擾動(dòng)引力的補(bǔ)償方式，又能有效地補(bǔ)償擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的影響，亟須一套完整的理論作為支撐。等效補(bǔ)償理論和可能采用的補(bǔ)償模式是實(shí)施等效補(bǔ)償?shù)睦碚摶A(chǔ)和前提保證。

1　等效補(bǔ)償理論

1.1擾動(dòng)引力對(duì)命中精度的影響分析

擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈命中精度的影響是通過彈道傳播的，可對(duì)主動(dòng)段、被動(dòng)段分別進(jìn)行分析。

1)主動(dòng)段：采用慣性制導(dǎo)的導(dǎo)彈，需要通過積分實(shí)際加速度獲得實(shí)際位置、速度信息。而導(dǎo)彈上的慣性敏感裝置只能測(cè)得視加速度，這樣，為獲得實(shí)際加速度需要實(shí)時(shí)計(jì)算同一時(shí)刻的引力加速度[6]。引力加速度需要通過引力模型計(jì)算獲得，但在實(shí)際應(yīng)用過程中彈載計(jì)算機(jī)上加裝的引力模型往往是實(shí)際引力模型的簡(jiǎn)化版，模型提供的引力與地球?qū)嶋H引力有一定差異，由此將產(chǎn)生導(dǎo)航偏差，進(jìn)而引起關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)偏差，并最終影響落點(diǎn)精度。

2)被動(dòng)段：由于再入段的飛行時(shí)間短、速度快且接近于目標(biāo)點(diǎn)，再入段擾動(dòng)引力引起的落點(diǎn)偏差十分有限，因而可將自由段和再入段擾動(dòng)引力一同視為被動(dòng)段擾動(dòng)引力考慮[1]。在被動(dòng)段，導(dǎo)彈處于無(wú)動(dòng)力、無(wú)控制的真空飛行狀態(tài)，假設(shè)暫不考慮再入段空氣動(dòng)力的影響，被動(dòng)段擾動(dòng)引力的作用是造成落點(diǎn)偏差的主要原因，即被動(dòng)段擾動(dòng)引力模型與實(shí)際所受引力的差異所致。

1.2正常系統(tǒng)、擾動(dòng)系統(tǒng)與等效補(bǔ)償系統(tǒng)

根據(jù)現(xiàn)代控制理論，補(bǔ)償擾動(dòng)引力對(duì)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)影響的補(bǔ)償算法實(shí)質(zhì)上屬于一個(gè)最優(yōu)控制問題[6]。制導(dǎo)系統(tǒng)按照是否考慮擾動(dòng)引力而分為正常系統(tǒng)和擾動(dòng)系統(tǒng)。

1)正常系統(tǒng)。不考慮擾動(dòng)引力的影響時(shí)，可將制導(dǎo)控制系統(tǒng)定義為正常系統(tǒng)，系統(tǒng)各要素間的關(guān)系如圖1所示。

圖1　正常系統(tǒng)Fig.1　Nominal system

正常系統(tǒng)由狀態(tài)方程、輸出方程、觀測(cè)方程和控制方程組成。

Y=r(X)為輸出方程。r表示被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)導(dǎo)彈主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)X*可用來計(jì)算導(dǎo)彈的落點(diǎn)信息。Y是反映落點(diǎn)信息的輸出量，根據(jù)采用的制導(dǎo)方式，可將其定義為落點(diǎn)偏差或虛擬目標(biāo)。

Z1=h1(f),Z2=h2(f,r)統(tǒng)稱為觀測(cè)方程。其中h1表示利用主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型f對(duì)Z1(真速度、真位置)的估計(jì)，h2表示利用主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型f和被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型r對(duì)導(dǎo)彈落點(diǎn)信息Z2的估計(jì)。

U=u(Z)為控制方程，包括導(dǎo)引方程、關(guān)機(jī)方程兩部分。Z為觀測(cè)方程的估計(jì)值，U表示控制方程輸出的導(dǎo)引、關(guān)機(jī)信號(hào)，也可稱為控制飛行的特征量。

在正常系統(tǒng)控制下生成的彈道可稱為正常彈道，正常彈道不考慮擾動(dòng)引力的影響、能夠命中目標(biāo)。

2)擾動(dòng)系統(tǒng)。將考慮擾動(dòng)引力影響時(shí)的制導(dǎo)控制系統(tǒng)定義為擾動(dòng)系統(tǒng)，如圖2所示。δf，δr分別表示主、被動(dòng)段擾動(dòng)引力項(xiàng)，δf，δr體現(xiàn)在狀態(tài)方程和輸出方程中即為系統(tǒng)的干擾項(xiàng)。在實(shí)際彈道計(jì)算中，因?yàn)橹茖?dǎo)方法設(shè)計(jì)的原因，往往簡(jiǎn)化、忽略了擾動(dòng)引力項(xiàng)δf，δr的計(jì)算，觀測(cè)方程仍按原有模型Z1=h1(f)，Z2=h2(f,r)對(duì)導(dǎo)彈飛行狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果Z*通過控制信號(hào)U*使得導(dǎo)彈在關(guān)機(jī)點(diǎn)處產(chǎn)生狀態(tài)誤差δX，并由此導(dǎo)致落點(diǎn)產(chǎn)生偏差δY。

在擾動(dòng)系統(tǒng)控制下的彈道可稱為擾動(dòng)彈道，擾動(dòng)彈道將會(huì)偏離正常彈道、無(wú)法準(zhǔn)確命中目標(biāo)點(diǎn)。

圖2　擾動(dòng)系統(tǒng)Fig.2　Disturbance system

圖3　等效補(bǔ)償系統(tǒng)Fig.3　Equivalent compensation system

1.3直接補(bǔ)償與等效補(bǔ)償

根據(jù)1.2節(jié)分析，如圖4所示。

圖4　正常彈道與擾動(dòng)彈道Fig.4　Nominal trajectory and disturbance trajectory

(1)

1)直接補(bǔ)償。如圖5所示，直接補(bǔ)償是通過控制力的作用，使得實(shí)際彈道參數(shù)X(t)在任意時(shí)刻t都等于或逼近正常彈道參數(shù)X*(t)。由此實(shí)現(xiàn)落點(diǎn)偏差ΔL→0,ΔH→0的目標(biāo)。

圖5　正常彈道與直接補(bǔ)償彈道Fig.5　Nominal trajectory and direct compensation trajectory

2)等效補(bǔ)償。等效補(bǔ)償是通過改變射擊諸元或飛行特征量，等效地實(shí)現(xiàn)ΔL→0,ΔH→0的目標(biāo)，如圖6所示。

圖6　正常彈道與等效補(bǔ)償彈道Fig.6　Nominal trajectory and equivalent compensation trajectory

以攝動(dòng)制導(dǎo)關(guān)機(jī)方程為例：

(2)

為了使ΔL=0，補(bǔ)償有兩種方法：一種是使X-X*→0，這是直接補(bǔ)償?shù)乃悸?；另一種思路為等效補(bǔ)償，即在X-X*≠0的情況下，也能使得ΔL=0。

綜上所述，等效補(bǔ)償?shù)暮x可表述為：根據(jù)擾動(dòng)引力影響的特性，不直接生成抵消擾動(dòng)引力的控制力，而是通過建立影響與修正量之間的映射關(guān)系來改變發(fā)射諸元或?qū)б?、關(guān)機(jī)控制量，使得導(dǎo)彈在擾動(dòng)引力作用下仍能命中同一目標(biāo)的補(bǔ)償方法。

2　等效補(bǔ)償模式

補(bǔ)償模式是在等效補(bǔ)償理論指導(dǎo)下所采用的具體補(bǔ)償方法。針對(duì)地面和彈上補(bǔ)償?shù)炔煌瑧?yīng)用需求，可能的補(bǔ)償模式包括嵌入式補(bǔ)償、分步式補(bǔ)償、分段式補(bǔ)償?shù)取?/p>

2.1嵌入式補(bǔ)償

如果能夠在彈上或地面彈道計(jì)算過程中裝訂擾動(dòng)引力的計(jì)算模型，那么制導(dǎo)方法就可以顧及擾動(dòng)引力的影響。嵌入式補(bǔ)償是把擾動(dòng)引力補(bǔ)償直接嵌入到觀測(cè)器的設(shè)計(jì)中，即在原有的諸元、制導(dǎo)計(jì)算中，把擾動(dòng)引力的影響直接體現(xiàn)到彈道計(jì)算中，從而使得所得到的飛行特征量直接反映擾動(dòng)引力的影響。圖7為嵌入式補(bǔ)償示意圖。

圖7　嵌入式補(bǔ)償模式Fig.7　Embedded compensation mode

在導(dǎo)彈飛行主動(dòng)段，狀態(tài)方程中出現(xiàn)的擾動(dòng)引力項(xiàng)δf會(huì)影響真位置和真速度的計(jì)算；同理，被動(dòng)段擾動(dòng)引力項(xiàng)δr將會(huì)對(duì)落點(diǎn)(虛擬目標(biāo)點(diǎn))產(chǎn)生影響。嵌入式補(bǔ)償?shù)谋举|(zhì)是設(shè)計(jì)新的觀測(cè)器，將擾動(dòng)引力計(jì)算模型嵌入觀測(cè)器中，通過增加修正量Δh估算考慮擾動(dòng)引力影響下的導(dǎo)彈主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和落點(diǎn)信息。這樣輸出的觀測(cè)量(位置、速度、落點(diǎn)信息)Z*+ΔZ直接包含了擾動(dòng)引力的影響。將補(bǔ)償量引入控制系統(tǒng)并達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)后，最后輸出得到期望的ΔY→0。

2.2分步式補(bǔ)償

在許多情況下，可以較為容易地得到正常引力模型下的彈道計(jì)算結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，可以充分利用已有條件，通過改變制導(dǎo)方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)引力影響的等效補(bǔ)償。如圖8所示,分步式補(bǔ)償是把飛行特征量的計(jì)算分為兩步:首先，不考慮擾動(dòng)引力的影響，得到飛行特征量的初值U*；而后，尋找快速計(jì)算方法[2-7]，得到飛行特征量在擾動(dòng)引力影響下的修正量ΔU。

圖8　分步式補(bǔ)償模式Fig.8　Fractional step compensation mode

分步式補(bǔ)償?shù)谋举|(zhì)是在原有觀測(cè)器和控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)用于補(bǔ)償?shù)男碌挠^測(cè)器和控制器。在第一步計(jì)算飛行特征量初值U*時(shí)，觀測(cè)器中仍然使用的是原有不考慮擾動(dòng)引力時(shí)的模型f，r；而在計(jì)算飛行特征量的修正量ΔU時(shí)，在原有模型基礎(chǔ)上考慮了擾動(dòng)引力項(xiàng)δf，δr，這樣得到的修正量與原有特征量U*交互后得到修正后的控制量U*+ΔU，并由此通過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的修正量ΔX最終使得落點(diǎn)偏差ΔY→0，達(dá)到了等效補(bǔ)償?shù)哪康摹?/p>

2.3分段式補(bǔ)償

如圖9所示，導(dǎo)彈在主動(dòng)段初始飛行階段，可以暫不考慮擾動(dòng)引力影響的補(bǔ)償問題，按正常飛行程序飛行即可；在接近關(guān)機(jī)前的一段時(shí)間，利用主、被動(dòng)段彈道快速計(jì)算方法計(jì)算擾動(dòng)引力對(duì)命中精度的影響，同時(shí)生成擾動(dòng)引力影響對(duì)應(yīng)的目標(biāo)位置或關(guān)機(jī)量修正量，這一階段可稱為擾動(dòng)引力影響解算段；利用擾動(dòng)引力影響解算求解修正量，在后續(xù)制導(dǎo)過程中對(duì)擾動(dòng)引力的影響進(jìn)行補(bǔ)償，這一飛行階段為擾動(dòng)引力影響修正段。以基于虛擬目標(biāo)的顯式制導(dǎo)為例，利用制導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)引力的影響進(jìn)行補(bǔ)償，無(wú)須實(shí)時(shí)計(jì)算主、被動(dòng)段擾動(dòng)引力，只需在關(guān)機(jī)前一小段時(shí)間采用解算得到的虛擬目標(biāo)實(shí)時(shí)迭代[7]計(jì)算即可，如之前采用地面裝訂的虛擬目標(biāo)諸元制導(dǎo)。這就是分段式補(bǔ)償?shù)乃悸贰?/p>

圖9　分段式補(bǔ)償思路Fig.9　Thinking of sectional compensation

如圖10所示，分段式補(bǔ)償?shù)暮诵氖窃O(shè)計(jì)新的觀測(cè)方程和控制器。這種方法在控制方程加入了選擇條件且未達(dá)到補(bǔ)償時(shí)刻(t

2.4各種補(bǔ)償模式的特點(diǎn)及適用范圍

等效補(bǔ)償按照補(bǔ)償?shù)臅r(shí)機(jī)可分為地面諸元補(bǔ)償和彈上實(shí)時(shí)補(bǔ)償兩種；按諸元用途可分為彈道用諸元補(bǔ)償和制導(dǎo)用諸元補(bǔ)償。上述補(bǔ)償模式在特點(diǎn)、適用范圍和設(shè)計(jì)方法上均有所區(qū)別，對(duì)比結(jié)果如表1所示。

圖10　分段式補(bǔ)償Fig.10　Sectional compensation mode

補(bǔ)償模式適用范圍設(shè)計(jì)方法特點(diǎn)嵌入式彈道諸元補(bǔ)償、制導(dǎo)諸元補(bǔ)償、彈上實(shí)時(shí)補(bǔ)償在觀測(cè)器或控制器中直接嵌入補(bǔ)償量對(duì)彈上計(jì)算機(jī)性能要求較高分步式彈道諸元補(bǔ)償、制導(dǎo)諸元補(bǔ)償增加一個(gè)新的觀測(cè)器和一個(gè)新的控制器需迅速找到飛行特征量的初值,為后續(xù)快速補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)分段式制導(dǎo)諸元補(bǔ)償、彈上實(shí)時(shí)補(bǔ)償設(shè)計(jì)兩個(gè)觀測(cè)器,同時(shí)控制器增加了選擇功能可用于彈上實(shí)時(shí)補(bǔ)償

嵌入式補(bǔ)償思路清晰、簡(jiǎn)單明了，但因計(jì)算量和存儲(chǔ)量過大，對(duì)彈載計(jì)算機(jī)的性能要求比較苛刻；同時(shí)，該補(bǔ)償模式對(duì)擾動(dòng)引力影響下的彈道快速計(jì)算方法也有著迫切的需求。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和對(duì)彈道計(jì)算方法的不斷改進(jìn)，嵌入式補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)的瓶頸將得以突破。

分步式補(bǔ)償將大量的計(jì)算工作放在地面射前進(jìn)行，簡(jiǎn)化了彈上計(jì)算、大大減輕了彈上計(jì)算機(jī)的運(yùn)算負(fù)荷和存儲(chǔ)壓力，但該方法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)彈道和諸元的初值有很高的要求。

分段式補(bǔ)償在導(dǎo)彈發(fā)射初始階段可以不考慮擾動(dòng)引力的影響，僅在主動(dòng)段末端快速計(jì)算和修正即可，該方法實(shí)用性較強(qiáng)、適合用作彈上實(shí)時(shí)補(bǔ)償。但該方法需要彈道快速計(jì)算方法作為支撐。

3　仿真算例

表2　擾動(dòng)引力對(duì)彈道落點(diǎn)的影響

(3)

得到最終修正后的諸元為：

(4)

采用修正后諸元的彈道落點(diǎn)精度如表3所示。

表3　諸元補(bǔ)償后的彈道落點(diǎn)精度

仿真結(jié)果表明，通過分步式補(bǔ)償，大幅度減小了擾動(dòng)引力對(duì)導(dǎo)彈落點(diǎn)的影響，可以滿足遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈對(duì)落點(diǎn)精度的要求。

4　結(jié)論

1)通過對(duì)主動(dòng)段和被動(dòng)段擾動(dòng)引力對(duì)彈道導(dǎo)彈命中精度的影響機(jī)理剖析得出，擾動(dòng)引力對(duì)命中精度影響的關(guān)鍵在于制導(dǎo)控制系統(tǒng)中地球引力模型計(jì)算、使用的不精確性。

2)考慮直接補(bǔ)償擾動(dòng)引力影響不易實(shí)現(xiàn)，基于控制系統(tǒng)理論，建立了保證導(dǎo)彈在擾動(dòng)引力作用下仍能命中目標(biāo)的等效補(bǔ)償理論。

3)針對(duì)彈道諸元補(bǔ)償、制導(dǎo)諸元補(bǔ)償和彈上實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)炔煌a(bǔ)償?shù)膽?yīng)用需求，考慮誤差量與補(bǔ)償量的映射和補(bǔ)償關(guān)系，提出了嵌入式補(bǔ)償、分步式補(bǔ)償、分段式補(bǔ)償?shù)葞追N補(bǔ)償模式，為后續(xù)補(bǔ)償實(shí)施提供了理論支撐和有益的參考。

4)以彈道諸元分步式補(bǔ)償為例，給出了諸元修正的計(jì)算方法。仿真結(jié)果表明，修正后的彈道諸元可以滿足遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈對(duì)命中精度的要求，在一定程度上印證了等效補(bǔ)償理論及其補(bǔ)償模式的正確性和有效性。

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MA Baolin, ZHANG Hongbo, ZHENG Wei, WU Jie

(College of Aerospace Science and engineering, National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

In order to eliminate the effect of the disturbance gravity and improve the hit accuracy of ballistic missile, the equivalent theory based on the characteristics on the movement of ballistic missile and control system theory was established to compensate the effect of the earth disturbance gravity on motion parameters indirectly and meet the hit accuracy requirement. According to the characteristics of different compensation modes and compensation quantity, the compensation modes of embedded mode, fractional step mode and sectional mode, etc. were proposed, which provides a general framework and theoretical basis for compensating the influence of disturbance gravity to the movement of ballistic missile.

earth disturbance gravity; equivalent compensation; embedded mode; fractional step mode; sectional mode

10.11887/j.cn.201604024http://journal.nudt.edu.cn

2015-09-18

國(guó)家部委基金資助項(xiàng)目(613222)

馬寶林(1983—)，男，內(nèi)蒙古赤峰人，博士研究生，E-mail：xiongmaofeizhu@163.com；張洪波(通信作者)，男，副教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：wujie_nudt@sina.com

V412.1

A

1001-2486(2016)04-153-06