李東進(jìn)

(江蘇省蘇州市蘇州新草橋中學(xué) 215011)

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○短文集錦○

雙換元法求二元變量的最值問(wèn)題

李東進(jìn)

(江蘇省蘇州市蘇州新草橋中學(xué) 215011)

最值問(wèn)題,特別是二元變量的最值問(wèn)題是教學(xué)的難點(diǎn),同時(shí)也是各級(jí)各類調(diào)研考試、高考的熱點(diǎn)．縱觀一些高考、模擬試題,這類最值問(wèn)題由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜,難以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題,導(dǎo)致處理難度大．筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)這類最值問(wèn)題采取雙換元的方法,可以收到意想不到的效果．本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐略作探討,供大家參考．

一、分式求和型的最值

簡(jiǎn)解設(shè)2a+b=x,b+1=y，

則x>0,y>1,

此類問(wèn)題的求解方法很多,考慮到和式的分母較為復(fù)雜,分子簡(jiǎn)單,所以可以對(duì)分母進(jìn)行雙換元再化簡(jiǎn),變?yōu)殛P(guān)于新變量的簡(jiǎn)單式子,再利用基本不等式求解,這樣的化歸大大減少了思維量．

二、旋轉(zhuǎn)雙曲線條件下的最值

簡(jiǎn)解2x2+xy-y2=1,即

(2x-y)(x+y)=1.

設(shè)2x-y=m,x+y=n,則mn=1，

且x-2y=(2x-y)-(x+y)=m-n,

5x2-2xy+2y2=(2x-y)2+(x+y)2

=m2+n2.

本例中的方程2x2+xy-y2=1對(duì)應(yīng)的曲線,其實(shí)是旋轉(zhuǎn)后的雙曲線.對(duì)于此類最值的求解可以將條件進(jìn)行因式分解再對(duì)兩個(gè)因式雙換元,將所求表達(dá)式利用待定系數(shù)法表示為換元后的雙元表達(dá)式,結(jié)合基本不等式知