馬恩云

(云南民族大學(xué)附屬中學(xué)，650000)

?

高三二輪復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

馬恩云

(云南民族大學(xué)附屬中學(xué)，650000)

在高考數(shù)學(xué)命題者眼里,數(shù)學(xué)的本質(zhì)不是孤立的問題與解法,而是一整套知識理論體系與思想方法.高考一輪復(fù)習(xí)是構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的整套理論體系,而在二輪復(fù)習(xí)中應(yīng)以思想方法為核心,使學(xué)生在歸納整理及提煉的過程中,體會蘊(yùn)含在其中的思想方法．高考二輪復(fù)習(xí)階段是高三下學(xué)期教與學(xué)承上啟下的時(shí)期,是促進(jìn)知識靈活運(yùn)用、提高能力的重要時(shí)期,是發(fā)展學(xué)生思維水平、促進(jìn)學(xué)生大幅度提升能力的關(guān)鍵時(shí)期．關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的歸納整理,是優(yōu)化學(xué)生思考問題、解決問題的思維策略、提升能力水平的有效途徑之一．本文就中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想、特殊與一般的思想在高考二輪復(fù)習(xí)中的地位和導(dǎo)向作用,分類舉例說明，以期更好地做好高考二輪復(fù)習(xí)．

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想,是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決．函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識,用于指導(dǎo)解題時(shí)就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題.方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識,用于指導(dǎo)解題時(shí)就是要善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題,即分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決．

例1設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范圍;

(2)指出S1、S2、S3…,S12中哪一個(gè)最大,并說明理由.

解(1)由a3=12，得a1=12-2d.

∵S12=12a1+66d=144+42d>0,

S13=13a1+78d=156+52d<0,

∴當(dāng)n=6時(shí),Sn最大.

反思數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列中的最值問題顯得十分重要．

二、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為在已有范圍內(nèi)可解的問題的一種思維方式．具體地講，轉(zhuǎn)化思想方法是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化，以便應(yīng)用已知的理論、方法和技巧,達(dá)到使問題解決的目的.化歸思想方法是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),采用某種手段和方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而使問題得以解決的一種方法．

例2(2014年四川高考題)設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PA|+|PB|的取值范圍是()

解析由題意可知,定點(diǎn)為A(0,0),B(1,3),且兩條直線互相垂直,其交點(diǎn)P(x,y)落在以AB為直徑的圓周上,所以

|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,

故選B.

反思轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法,在運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意用“變換”的方法解決數(shù)學(xué)問題,依據(jù)問題本身提供的信息,去尋求有利于解決問題的變換途徑和方法,進(jìn)行合理的選擇．

三、數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚先生曾對數(shù)形結(jié)合的思想和方法賦詩:“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休;切莫忘,幾何代數(shù)流一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離．”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,使用數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題能迎刃而解,且解法簡捷．所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復(fù)雜問題簡單化、直觀化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合．

反思運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決最值問題,關(guān)鍵是在直角坐標(biāo)系中作出方程所表示的曲線,再將所求最值轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距,結(jié)合圖形可解．

四、分類討論思想

分類與討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,該思想方法的基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性子問題,通過對基礎(chǔ)性子問題的解答來實(shí)現(xiàn)原問題的解決．對問題實(shí)行分類,其分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加了一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解成小問題(或基礎(chǔ)性子問題),優(yōu)化了解題思路,降低了問題難度．

例4已知函數(shù)f(x)=logax在[2,π]上的最大值比最小值大1,則a等于()

分析研究函數(shù)的最值需考察函數(shù)的單調(diào)性,而題中對數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)a的取值有關(guān),故應(yīng)對a進(jìn)行分類討論.

解(1) 當(dāng)a>1時(shí),f(x) 在[2,π]上是增函數(shù),最大值是f(π),最小值是f(2),據(jù)題意,有

f(π)-f(2)=1.

(2) 當(dāng)0

f(2)-f(π)=1

由(1) (2) 知,故選C.

反思題中字母a的取值范圍的不同,直接影響了函數(shù)的性質(zhì),從而導(dǎo)致了兩種不同的情形,所以必須對字母a進(jìn)行分類討論.對分類問題的求解歩驟:一是確定分類的對象，即對哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類;二是合理分類，即對所討論的對象進(jìn)行合理的分類;三是逐類討論，即對各類問題詳細(xì)討論,逐步解決;四是歸納總結(jié)，即將各類情況匯總,寫出結(jié)論．

五、特殊與一般的思想

由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程是人們認(rèn)識世界的基本過程之一，數(shù)學(xué)研究也不例外.這種由特殊到一般,由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識過程就是數(shù)學(xué)研究中特殊與一般的思想.特殊與一般的思想既指出了數(shù)學(xué)的思維方向,又給出了有效的解題策略．

例5(2008年四川高考題)已知等比數(shù)列{an}中a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是()

(A)(-∞,-1]

(B)(-∞,0)∪(1,+∞)

(C)[3,+∞)

(D)(-∞,-1]∪[3,+∞)

分析本題中的等比數(shù)列只知道a2=1，如果再知道公比,數(shù)列就可以確定,而選項(xiàng)是范圍問題,可取定公比加以排除．

解法1因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中a2=1,所以當(dāng)公比為1時(shí),a1=a2=a3=1,S3=3.當(dāng)公比為-1時(shí),a1=-1,a2=1,a3=-1,S3=-1,從而淘汰A，B，C.故選D.

解法2等比數(shù)列{an}中a2=1,

∴S3=a1+a2+a3

當(dāng)公比q>0時(shí)，

當(dāng)公比q<0時(shí)，

∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞),故選D.

反思取特殊數(shù)列入手淘汰,如果一次不能區(qū)分,則需多次取有區(qū)分度的值進(jìn)行排除,直至能辨別出正確答案為止,也可多種方法并用．不具備就要進(jìn)行分類討論．相比之下,取特值的方法優(yōu)于通性通法.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,對于一般性問題、抽象問題、運(yùn)動變化問題和不確定問題都可考慮運(yùn)用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑.對于遞推數(shù)列問題,采用“歸納——猜想——證明”的方法去解決問題,首先通過特例探索、發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,然后再用這個(gè)規(guī)律來解決其他特殊問題,這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一. 對于某些特殊的問題,如求值、比較大小等,要注意研究其數(shù)量特征,發(fā)現(xiàn)一般模型,再由一般解決特殊．

總之,數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在于掌握書本知識,更在于養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.高考二輪復(fù)習(xí)過程中教師應(yīng)在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和所使用的方法有本質(zhì)的認(rèn)識,從而提高學(xué)生的解題能力.這樣做就能有效避免復(fù)習(xí)備考的盲目性和隨意性,在有限的備考時(shí)間內(nèi)讓復(fù)習(xí)效率最大化．