馬恩云

(云南民族大學附屬中學，650000)

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高三二輪復習中數(shù)學思想方法的滲透

馬恩云

(云南民族大學附屬中學，650000)

在高考數(shù)學命題者眼里,數(shù)學的本質(zhì)不是孤立的問題與解法,而是一整套知識理論體系與思想方法.高考一輪復習是構(gòu)建知識網(wǎng)絡的整套理論體系,而在二輪復習中應以思想方法為核心,使學生在歸納整理及提煉的過程中,體會蘊含在其中的思想方法．高考二輪復習階段是高三下學期教與學承上啟下的時期,是促進知識靈活運用、提高能力的重要時期,是發(fā)展學生思維水平、促進學生大幅度提升能力的關(guān)鍵時期．關(guān)注數(shù)學思想方法的歸納整理,是優(yōu)化學生思考問題、解決問題的思維策略、提升能力水平的有效途徑之一．本文就中學數(shù)學中的函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想、特殊與一般的思想在高考二輪復習中的地位和導向作用,分類舉例說明，以期更好地做好高考二輪復習．

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想,是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決．函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識,用于指導解題時就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題.方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認識,用于指導解題時就是要善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題,即分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決．

例1設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范圍;

(2)指出S1、S2、S3…,S12中哪一個最大,并說明理由.

解(1)由a3=12，得a1=12-2d.

∵S12=12a1+66d=144+42d>0,

S13=13a1+78d=156+52d<0,

∴當n=6時,Sn最大.

反思數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點處理數(shù)列中的最值問題顯得十分重要．

二、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為在已有范圍內(nèi)可解的問題的一種思維方式．具體地講，轉(zhuǎn)化思想方法是實現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化，以便應用已知的理論、方法和技巧,達到使問題解決的目的.化歸思想方法是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時,采用某種手段和方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而使問題得以解決的一種方法．

例2(2014年四川高考題)設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA|+|PB|的取值范圍是()

解析由題意可知,定點為A(0,0),B(1,3),且兩條直線互相垂直,其交點P(x,y)落在以AB為直徑的圓周上,所以

|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,

故選B.

反思轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法,在運用時應注意用“變換”的方法解決數(shù)學問題,依據(jù)問題本身提供的信息,去尋求有利于解決問題的變換途徑和方法,進行合理的選擇．

三、數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚先生曾對數(shù)形結(jié)合的思想和方法賦詩:“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休;切莫忘,幾何代數(shù)流一體,永遠聯(lián)系莫分離．”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法,使用數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題能迎刃而解,且解法簡捷．所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法．數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復雜問題簡單化、直觀化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì),它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合．

反思運用數(shù)形結(jié)合解決最值問題,關(guān)鍵是在直角坐標系中作出方程所表示的曲線,再將所求最值轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距,結(jié)合圖形可解．

四、分類討論思想

分類與討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法,該思想方法的基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性子問題,通過對基礎性子問題的解答來實現(xiàn)原問題的解決．對問題實行分類,其分類標準等于增加了一個已知條件,實現(xiàn)了有效增設,將大問題(或綜合性問題)分解成小問題(或基礎性子問題),優(yōu)化了解題思路,降低了問題難度．

例4已知函數(shù)f(x)=logax在[2,π]上的最大值比最小值大1,則a等于()

分析研究函數(shù)的最值需考察函數(shù)的單調(diào)性,而題中對數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)a的取值有關(guān),故應對a進行分類討論.

解(1) 當a>1時,f(x) 在[2,π]上是增函數(shù),最大值是f(π),最小值是f(2),據(jù)題意,有

f(π)-f(2)=1.

(2) 當0

f(2)-f(π)=1

由(1) (2) 知,故選C.

反思題中字母a的取值范圍的不同,直接影響了函數(shù)的性質(zhì),從而導致了兩種不同的情形,所以必須對字母a進行分類討論.對分類問題的求解歩驟:一是確定分類的對象，即對哪個變量或參數(shù)進行分類;二是合理分類，即對所討論的對象進行合理的分類;三是逐類討論，即對各類問題詳細討論,逐步解決;四是歸納總結(jié)，即將各類情況匯總,寫出結(jié)論．

五、特殊與一般的思想

由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一，數(shù)學研究也不例外.這種由特殊到一般,由一般到特殊的研究數(shù)學問題的基本認識過程就是數(shù)學研究中特殊與一般的思想.特殊與一般的思想既指出了數(shù)學的思維方向,又給出了有效的解題策略．

例5(2008年四川高考題)已知等比數(shù)列{an}中a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是()

(A)(-∞,-1]

(B)(-∞,0)∪(1,+∞)

(C)[3,+∞)

(D)(-∞,-1]∪[3,+∞)

分析本題中的等比數(shù)列只知道a2=1，如果再知道公比,數(shù)列就可以確定,而選項是范圍問題,可取定公比加以排除．

解法1因為等比數(shù)列{an}中a2=1,所以當公比為1時,a1=a2=a3=1,S3=3.當公比為-1時,a1=-1,a2=1,a3=-1,S3=-1,從而淘汰A，B，C.故選D.

解法2等比數(shù)列{an}中a2=1,

∴S3=a1+a2+a3

當公比q>0時，

當公比q<0時，

∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞),故選D.

反思取特殊數(shù)列入手淘汰,如果一次不能區(qū)分,則需多次取有區(qū)分度的值進行排除,直至能辨別出正確答案為止,也可多種方法并用．不具備就要進行分類討論．相比之下,取特值的方法優(yōu)于通性通法.特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學思想方法,對于一般性問題、抽象問題、運動變化問題和不確定問題都可考慮運用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑.對于遞推數(shù)列問題,采用“歸納——猜想——證明”的方法去解決問題,首先通過特例探索、發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,然后再用這個規(guī)律來解決其他特殊問題,這是特殊與一般思想最常見的應用之一. 對于某些特殊的問題,如求值、比較大小等,要注意研究其數(shù)量特征,發(fā)現(xiàn)一般模型,再由一般解決特殊．

總之,數(shù)學思想方法是對數(shù)學規(guī)律的理性認識,數(shù)學學習在于掌握書本知識,更在于養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣.高考二輪復習過程中教師應在教學的每一個環(huán)節(jié)中重視數(shù)學思想方法的滲透,使學生對數(shù)學知識和所使用的方法有本質(zhì)的認識,從而提高學生的解題能力.這樣做就能有效避免復習備考的盲目性和隨意性,在有限的備考時間內(nèi)讓復習效率最大化．