吳淑花，容旭巍，劉振永

(石家莊學(xué)院 物理與電氣信息工程系,河北 石家莊　050035)

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·數(shù)理科學(xué)·

參數(shù)未知的超混沌系統(tǒng)的反同步與參數(shù)辨識

吳淑花，容旭巍，劉振永

(石家莊學(xué)院 物理與電氣信息工程系,河北 石家莊050035)

基于混沌同步的主動(dòng)控制法,提出反對稱結(jié)構(gòu)的直接構(gòu)造法，利用該方法設(shè)計(jì)了反同步控制器和參數(shù)追蹤規(guī)則,構(gòu)建了反同步控制器的電路實(shí)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)了參數(shù)未知的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的反同步與未知參數(shù)的辨識。數(shù)值模擬和電路仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。

超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng);反對稱結(jié)構(gòu);反同步;參數(shù)辨識;電路實(shí)驗(yàn)

1990年,Pecora和Carroll[1]提出的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方法,其開創(chuàng)性的工作極大地推動(dòng)了混沌同步的研究。在隨后的十余年里,人們發(fā)現(xiàn)了各種不同類型的同步現(xiàn)象,如廣義同步[2]、相同步[3]、延遲同步[4]、射影同步[5]等。最近,人們研究了混沌系統(tǒng)的反同步現(xiàn)象,即處于同步的兩個(gè)混沌系統(tǒng),狀態(tài)變量的絕對值相同，但符號相反。目前,實(shí)現(xiàn)混沌同步或反同步的方法主要有主動(dòng)控制法[6]、自適應(yīng)控制法[7-8]、滑膜控制法[8-9]、有限時(shí)間同步法[10-11]等。以往文獻(xiàn)主要是圍繞參數(shù)已知的低維混沌系統(tǒng)的同步研究,而參數(shù)不確定的高維混沌系統(tǒng)的反同步研究較少。與低維混沌系統(tǒng)相比,高維混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為和更廣泛的應(yīng)用,所以,近年來超混沌系統(tǒng)的同步研究逐漸受到關(guān)注[6,10,12]。

文獻(xiàn)[7,13-15] 分別采用不同的有效措施對耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行有效控制;文獻(xiàn)[16]在[15]的基礎(chǔ)上構(gòu)建了超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng),利用非線性控制器實(shí)現(xiàn)了超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的自結(jié)構(gòu)和異結(jié)構(gòu)同步。然而,上述方法對于參數(shù)未知的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的同步控制是無法實(shí)現(xiàn)的。主動(dòng)控制法雖具有簡單有效且不需要確定Lyapunov函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),但構(gòu)造控制器的盲目性使得人們較少使用。部分文獻(xiàn)中用此方法實(shí)現(xiàn)了參數(shù)已知的混沌系統(tǒng)的同步或反同步[6,8]。為避免主動(dòng)控制法的盲目性,本文對主動(dòng)控制法做了進(jìn)一步的改進(jìn),引入反對稱結(jié)構(gòu)的反同步直接構(gòu)造法,為響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)目刂破?在上述方案設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了未知參數(shù)的追蹤規(guī)則;構(gòu)建了超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的反同步電路和參數(shù)辨識電路,實(shí)現(xiàn)了不確定參數(shù)的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的反同步和未知參數(shù)的辨識。數(shù)值模擬和電路仿真的結(jié)果具有高度的一致性,證實(shí)了這種同步方案的有效性。

1　問題描述與系統(tǒng)模型

考慮混沌系統(tǒng)由以下狀態(tài)方程描述

(1)

式中,x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,α為系統(tǒng)參數(shù)。構(gòu)造如下的響應(yīng)系統(tǒng)

(2)

這里,U(α,x,y)為控制輸入。定義系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的反同步誤差為e=x+y,則由式(1)和式(2)可得誤差系統(tǒng)為

(3)

eT[F(x,α)+F(y,α)+U(α,x,y)]。

(4)

從定義1可以看出,系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的反同步問題,已轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(3)的狀態(tài)在原點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性問題。

2006年王興元和武相軍提出了變形耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)[15],在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[16]提出了超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)

(5)

這里x,y,z和w是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,μ,α,c,d為參數(shù)。當(dāng)μ=2,α=3,c=2,d=1時(shí),系統(tǒng)(5)為超混沌系統(tǒng)。圖1為系統(tǒng)(5)的超混沌吸引子。

以超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型可寫為

(6)

其中,x1,x2,x3,x4為狀態(tài)變量,系統(tǒng)參數(shù)的取值分別為μ=2,α=3,c=2,d=1時(shí),系統(tǒng)(6)處于超混沌狀態(tài)。構(gòu)造下面的響應(yīng)系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型為

(7)

其中，y1,y2,y3,y4為狀態(tài)變量，系統(tǒng)參數(shù)μ,α,c,d的取值同式(6)相同。令反同步誤差ei=yi+xi(i=1,2,3,4)，得到誤差系統(tǒng)

(8)

從定義2可以看出,超混沌系統(tǒng)(6)和(7)的反同步問題,已轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(8)的狀態(tài)在原點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性問題。

2　參數(shù)未知的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的反同步

2.1反同步控制器的設(shè)計(jì)

圖1　系統(tǒng)(5)的超混沌吸引子Fig.1　The hyperchaotic attractors of (5)

定理1考慮如下的非線性系統(tǒng)

由定義2和定理構(gòu)造如下的控制器，

u1=-x2x3-y2y3,

u2=-x1x3-y1y3,

u3=-2e3+x1x2+y1y2,

u4=(c-1)e2-(1+d)e4。

(9)

在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)的基礎(chǔ)上,構(gòu)造如下參數(shù)未知的響應(yīng)系統(tǒng)，

(10)

式中μ′,α′,c′和d′是在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)與響應(yīng)系統(tǒng)(10)反同步過程中需要辨識的未知參數(shù)。選擇式子(9)所示的控制器，未知參數(shù)的追蹤規(guī)則為

(11)

β為主動(dòng)增益常數(shù)，改變其大小可以調(diào)節(jié)參數(shù)辨識的過程。

2.2數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬反同步的有效性和未知參數(shù)的辨識過程,采用四階Runge-Kutta法求解方程(6)和(10)。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的取值分別為μ=2,α=3,c=2,d=1,驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始值分別選取經(jīng)x(0)=[10，-1，20，-10],y(0)=[6，7，8，9], 響應(yīng)系統(tǒng)(10)未知參數(shù)的初始值分別取1，2，-3，-4，主動(dòng)增益常數(shù)取值β=1,模擬結(jié)果如圖2，3，4，5所示。

圖2為超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(6)與參數(shù)未知的響應(yīng)系統(tǒng)(10)在相空間中的軌跡及其狀態(tài)曲線。圖上可以看見,相軌跡的投影和狀態(tài)曲線是反對稱的,說明式(9)給出的控制器使兩個(gè)系統(tǒng)達(dá)到了反同步。圖3為超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的未知參數(shù)的辨識過程。由圖可見,隨著t的增加,未知參數(shù)μ′,α′,c′,d′的值漸近穩(wěn)定在常數(shù)2,3,2和1上,適當(dāng)減小β的取值,可以縮短未知參數(shù)的辨識過程。可見，利用式(11)給出的參數(shù)追蹤規(guī)則，能夠在實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(10)反同步的同時(shí)，辨識出響應(yīng)系統(tǒng)的未知參數(shù)。

圖2　超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)反同步圖Fig.2　Anti-synchronization of hyperchaotic coupled dynamos system

圖3　響應(yīng)系統(tǒng)(10)的未知參數(shù)辨識過程Fig.3　Parameters identification on the responser (10) with uncertain parameters

2.3電路設(shè)計(jì)

應(yīng)用Multisim軟件建立電路模型,主要由乘法器AD633、運(yùn)算放大器LF353、線性電阻和電容構(gòu)建而成。運(yùn)算放大器的供電電源采用±12V雙電源供電,為了可靠不失真地完成電路的仿真,把系統(tǒng)的輸出電壓調(diào)小到了原來的1/10,所以乘法器的增益設(shè)為0.1。根據(jù)電路原理及電路中各個(gè)元件特性,設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)的電路原理圖(如圖4(a)所示);加入反同步控制器(9)后設(shè)計(jì)了參數(shù)未知的響應(yīng)系統(tǒng)(10)的電路原理圖(如圖4(b)所示);按照未知參數(shù)的追蹤規(guī)則(11)設(shè)計(jì)了圖4(c)的電路原理圖。

2.4電路仿真

利用Multisim軟件分別對電路4進(jìn)行仿真,分別得到混沌吸引子和兩個(gè)系統(tǒng)解的振蕩曲線。如圖5(a)～(d)所示,可以觀察到它們的相圖和時(shí)序圖是對稱的,與數(shù)值模擬得到的圖2具有高度的一致性。圖5(e)～(h)是對電路4(a)和圖4(b)仿真的反同步圖像,進(jìn)一步說明系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(10)確實(shí)達(dá)到了反同步。

如圖6是電路圖4(c)的仿真結(jié)果,圖中顯示了4個(gè)估計(jì)參數(shù)隨時(shí)間的演化圖,從圖中可以判斷，估計(jì)參數(shù)μ′，α′，c′，d′時(shí)域的穩(wěn)態(tài)值分別為2V,3V,2V,1V。所以采用Multisim軟件搭建的硬件電路和Matlab軟件理論分析仿真的效果一致,說明設(shè)計(jì)的未知參數(shù)追蹤規(guī)則是正確的。

3　結(jié)　論

超混沌系統(tǒng)比混沌系統(tǒng)具有更強(qiáng)的不穩(wěn)定性,所以實(shí)現(xiàn)參數(shù)未知的超混沌的反同步具有較多困難,尋找一種既簡單又適用的方法就更加困難。本文對主動(dòng)控制法做了進(jìn)一步的改進(jìn), 提出了反對稱結(jié)構(gòu)的直接構(gòu)造法, 實(shí)現(xiàn)了參數(shù)未知的超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的反同步與參數(shù)未知的辨識。該方法具有簡單易行、計(jì)算量小、而且靈活多變等優(yōu)點(diǎn)。采用Multisim軟件搭建了超混沌耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)及其未知參數(shù)的反同步的硬件電路,電路仿真了反同步相圖、時(shí)序圖和未知參數(shù)辨識過程。電路仿真和數(shù)值模擬達(dá)到了高度的一致性,結(jié)果證實(shí)了本文所提出的方法的有效性,而且這種方法同樣適用于其他參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的反同步控制。

圖4　電路原理圖Fig.4　Circuit diagrams

圖5　電路圖4(a)和(b)的仿真結(jié)果Fig.5　Circuit simulation of figure 4(a) and 4(b)

圖6　電路圖4(c)的仿真結(jié)果Fig.6　Circuit simulation of figure 4(c)

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(編輯李靜)

Anti-synchronization and parameter identification on a hyperchaotic system with uncertain parameters

WU Shu-hua, RONG Xu-wei, LIU Zhen-yong

(Department of Physics and Electrical Information Engineering, Shijiazhuang University, Shijiazhuang 050035， China)

Based on active synchronization control, the anti-symmetric direct construction method is proposed. By using this method, an anti-synchronization controller and a parameter tracking rule are designed, several circuit experiments with an anti-synchronization controller are built. Hyperchaos anti-synchronization and parameters identification on a hyperchaotic coupled dynamos system with uncertain parameters are realized. The results of numerical simulation and circuit simulation verify the effectiveness of the proposed method.

hyperchaotic coupled dynamos system; anti-symmetric structure; anti-synchronization; parameter identification; circuit experiment

2015-03-05

河北省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題基金資助項(xiàng)目(1412091)；河北省高?？萍佳芯炕鹳Y助項(xiàng)目(ZC2016062)；石家莊學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(XJPT002, XJTD004)

吳淑花，女，河北石家莊人，副教授，從事非線性研究。

O545

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-007