鄒冬林， 劉　翎，饒柱石， 塔　娜

(1.上海交通大學振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

?

利用有限元法與打靶法的縱橫耦合軸系主共振分析*

鄒冬林1，2， 劉翎1,2，饒柱石1,2， 塔娜1,2

(1.上海交通大學振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

在考慮Von Karman非線性位移-應變關系下，利用Hamilton原理與有限元方法建立了軸系縱橫耦合非線性動力學模型， 推導了其非線性剛度矩陣。結合打靶法研究了軸系在外激勵下的橫向主共振響應及其穩(wěn)定性。探討了激勵載荷、阻尼比以及細長比對軸系縱橫耦合效應的影響。研究表明：縱橫耦合效應呈“硬彈簧”特性，使幅頻響應曲線向右傾斜；在某些激勵頻率處，幅頻響應曲線上存在多個穩(wěn)定解，從而使幅值出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；激勵載荷越大，阻尼比越小，細長比越小，系統(tǒng)縱橫耦合效應越強；增加阻尼比可以有效抑制縱橫耦合非線性效應，提高軸系的穩(wěn)定性。分析結果對軸系的設計有指導意義。

非線性振動； 縱橫耦合軸系； 有限元； 打靶法； 主共振

引　言

在許多工程機械中，旋轉軸系常被用來傳遞動力，起著非常重要的作用。例如船舶推進軸系，飛機發(fā)動機軸系以及汽輪機軸系等等。軸系運轉時不可避免地產生振動，從而降低機器的工作效率，嚴重時會使軸系斷裂，造成事故。隨著科學技術的進步，軸系的結構越來越復雜，載荷也越來越大，軸系振動問題越來越突出。因此對軸系的動力學分析一直是國內外研究的熱點。軸系的振動分為3種形式：彎曲振動、扭轉振動以及縱向振動。早期對軸系的研究都是對這3種振動單獨處理，這樣處理有利于模型的簡化。然而對一些處于復雜工況的軸系，各種運動之間有相當強的耦合，分開處理不能揭示工程中的一些現(xiàn)象，比如出現(xiàn)多頻現(xiàn)象，發(fā)生組合共振、自激振動及分岔現(xiàn)象等等。近年來，針對彎扭耦合振動的研究文獻很多，大多數(shù)均以齒輪軸系或汽輪機軸系等為研究對象[1-2]。但是針對軸系彎縱耦合振動的研究文獻還相當少，主要原因是這兩種振動之間的耦合在工程中不常見。而對于大跨度軸系(例如船舶推進軸系，一般長度為十幾米甚至幾十米)或細長軸系，由于細長比很小(細長比指軸系截面回轉半徑與軸系長度之比)，當激勵力較大時，容易引起軸系較大振動。此時橫向振動很大，進而其縱、橫向之間的彈性耦合效應也很強。當軸系縱、橫向間產生非線性耦合振動時，可能會伴有能量滲透、飽和等現(xiàn)象，從而使軸系某些方向上振動進一步加強，使軸系振動過大而產生裂紋。同時盡管在軸系設計時已使工作頻率避開了軸系的共振頻率，但是因為這種設計并沒有考慮縱、橫耦合效應的影響，而縱、橫向間的非線性耦合效應會改變軸系的固有頻率，這時工作頻率有可能落在共振頻率段，并產生主共振、超諧共振及亞諧共振等現(xiàn)象，使軸系振動劇烈。因此研究軸系縱、橫耦合效應時的動力學特性有重要的實際意義。

目前對于軸系縱橫耦合的研究，國內文獻非常少。有不少學者針對平面梁結構縱橫耦合振動問題做過研究[3-5]，但是轉子結構與梁結構間最顯著的差別是轉子結構有旋轉而產生的陀螺效應，從而使轉子振動產生新的現(xiàn)象，比如正進動與反進動等。近十年來，國外對軸系縱橫耦合非線性動力學進行了大量研究。Khadem與Hossein團隊在這一領域做了許多貢獻。他們研究了縱橫耦合作用下可伸長與不可伸長軸系的自由振動響應[6-7]；研究了不可伸長軸系的主共振響應[8-9]以及可伸長軸系的主共振與參數(shù)共振響應[10-11]；研究了不可伸長軸系兩階模態(tài)間的聯(lián)合共振[12-13]以及分叉與穩(wěn)定性問題[14]。Ishida團隊也做了類似的工作[15-17]。但是在這些團隊的研究中，存在兩個問題：首先他們均認為軸系縱向慣性可以忽略，這樣可以對縱橫耦合動力學方程進一步簡化以便研究。由于他們研究的對象都是簡支軸系，縱向固有頻率遠高于橫向固有頻率，因此這種簡化是合理的。但是對于多支承多盤軸系，如船舶推進軸系，由于螺旋槳集中質量以及推力軸承的影響，縱向慣性效應很顯著，直接忽略會帶來誤差。其次他們的研究思路是：利用Galerkin法(權函數(shù)采用一階模態(tài)振型)，將偏微分方程轉化為常微分方程，再利用多尺度法或者諧波平衡法或者平均法求解方程的一次近似解?；蛘呋窘馊橐浑A模態(tài)振型，直接利用多尺度法求解偏微分方程。這兩處理方法的理論基礎是“單模態(tài)共振理論”[18]。即當多自由度非線性系統(tǒng)進入共振狀態(tài)時，系統(tǒng)運動主要由所涉及的各階單一主模態(tài)所控制。因此這兩方法只能分析各種共振響應。而對于非共振響應，這兩種處理方法均由于模態(tài)截斷而產生誤差。同時由于計算的復雜性，采用多尺度法時一般只取兩個時間尺度，求取一次近似解，很難獲得系統(tǒng)的高次近似解。

隨著電子計算機及計算技術的發(fā)展，高精度的數(shù)值計算得到了廣泛應用。有限元方法由于其通用性強以及精度高的特點，常常被用來研究大型復雜結構動力學分析。配合Newmark法、Wilson-θ法等直接數(shù)值積分方法，可以很方便地處理非線性振動問題[19]。然而這些方法在求取非線性系統(tǒng)周期解時非常依賴于初始條件的選取，如果初始條件選擇不當，很難獲得穩(wěn)態(tài)的周期解。同時當系統(tǒng)存在多解時，這些方法通常只能求取穩(wěn)定解。近年來，有學者利用有限元法結合諧波平衡法求取系統(tǒng)的周期解[20]。其基本思想是先假定解由一系列諧波級數(shù)組成，代入有限元方程后取兩邊相同諧波級數(shù)的系數(shù)相等，從而得到關于各諧波系數(shù)的非線性代數(shù)方程組。這種處理方法的缺陷是當假定解的諧波級數(shù)很高時，非線性代數(shù)方程維數(shù)很大，很難求解；而諧波級數(shù)很少時，解的精度又得不到保證。

近年來又有不少學者利用打靶法求解系統(tǒng)的周期響應[21-22]。打靶法基本思想是把求解邊值問題轉化為求解初值問題。它既可以求系統(tǒng)的穩(wěn)定解也可以求其非穩(wěn)定解。同時利用打靶法時所產生的單值矩陣可以判斷解的穩(wěn)定性。因此打靶法成為研究非線性振動的有效方法之一。

綜上所述，本文采用限元法建立軸系縱橫耦合動力學模型，理論上考慮了所有的線性模態(tài)，因而不存在模態(tài)截斷誤差，既可以分析共振響應，也可以分析非共振響應。同時結合打靶法既可以求解穩(wěn)定周期解，也可以求非穩(wěn)定周期解。

本文在考慮縱向慣性作用下，采用有限元法建立軸系縱橫耦合非線性動力學模型，推導其非線性剛度矩陣，結合打靶法研究軸系的橫向主共振響應(所謂主共振是指外激勵頻率等于其固有頻率)，探討激勵載荷、阻尼比以及細長比對軸系縱橫耦合效應的影響。

1　有限元動力學模型

本文以具有多線性支承及集中質量的船舶推進軸系為分析對象，其余軸系結構也可以類似處理。典型的船舶推進軸系由螺旋槳、3個徑向軸承以及推力軸承組成，如圖 1所示。為了簡化分析，假設軸系具有均勻截面，螺旋槳簡化為集中質量(考慮轉動慣量影響)，各軸承模型忽略交叉剛度與阻尼的影響，僅考慮徑向剛度的影響(軸承阻尼用模態(tài)阻尼等效)，簡化為線性彈簧單元。本文的目的是考察軸系發(fā)生縱橫耦合幾何非線性時的動力學特性，為了聚焦軸系在這種幾何非線性下所特有振動特性，因此忽略了軸承的非線性以排除其他非線性源的干擾。同時這樣做也簡化了分析問題。

圖1　船舶推進軸系簡圖Fig.1　Schematic of marine propulsion shafting

用空間梁單元模擬軸系的縱、橫向振動； 使用2節(jié)點梁單元，單元長度L，每個節(jié)點5個自由度，即縱向位移u，垂直位移v和轉角θy，水平位移w和轉角θz。采用瑞利梁模型(考慮轉動慣量忽略剪切變形的影響)，并考慮Von Karman非線性位移-應變關系[23]。則單元軸段的應變勢能和動能可以寫成

(1)

式中前兩項為線性應變能，后兩項為彎縱耦合引起的非線性應變能。其中，E為彈性模量；A為軸段截面積；Id為截面慣性矩。

(2)

縱向位移采用線性函數(shù)作為插值函數(shù)，橫向位移采用一階Hermite函數(shù)作為插值函數(shù)[24]。代入式(2)中，可以得到單元的質量矩陣Me與陀螺矩陣Ge。

(3)

代入式(1)中，可以得到單元的剛度矩陣Ke。

(4)

把單元質量矩陣、單元陀螺矩陣以及單元剛度矩陣組裝后，并考慮集中質量以及支撐彈簧的影響，同時加入阻尼的影響，得到軸系縱橫耦合振動方程

(5)

2　打靶法

接下來用打靶法[25]求解式(5)的周期解。求微分方程的周期解，數(shù)學本質是求解邊值問題。打靶法是求解邊值問題的常用數(shù)值方法?！按虬小笔且环N形象說法，把解的曲線看作是“子彈”的軌跡，從一端發(fā)射“子彈”，將另一端看作“靶子”，利用“靶子”的位置來調整一些“子彈”的發(fā)射參數(shù)(即初始條件)，從而獲得所需的軌跡[26]。劉恒等針對轉子動力學中遇到的各種問題，利用打靶法并結合其他數(shù)值方法研究了轉子系統(tǒng)的周期解及穩(wěn)定性邊界和分叉形式[27-31]，取得了良好的效果。

引入變量X(t)={y(t),q(t)}T，將式(5)轉化為一階方程組

(6)

求系統(tǒng)的周期解，實質就是尋求解，使之滿足

(7)

式中T為周期，取T=2π/Ω。

設X(0)=s，則打靶法的求解過程就是尋找合適的s，使得殘差為零。即

(8)

可以采用Newton迭代法來求解式(5)，將其在第i次近似值si附近展開成泰勒級數(shù)，取其線性部分

(9)

上式可進一步轉化為

(10)

式中J(si)為r(s)對s的Jacobian矩陣。其計算公式為

(11)

將式(6)兩邊對s求導數(shù)：

(12)

由式(12)可知，W即為該矩陣微分方程初值問題的解在t=T時的值。

聯(lián)立求解式(6)與式(12)，可以求出X(T)與W，從而可以按式(8)判斷殘差r(s)，若殘差接近零，則計算結束，否則按式(10)更新s，一直迭代下去。

周期解的穩(wěn)定性判別采用Floquet理論[25]，通過求解周期解狀態(tài)轉移矩陣W的特征值(又稱為Floquet乘子)來進行。當所有Floquet乘子均位于復平面單位圓內時，則周期解穩(wěn)定。

為了得到系統(tǒng)的幅頻響應曲線，求解時，每次給定一個轉速，從而確定周期T，得到該轉速下的周期解后，再增加轉速，依次求得不同轉速下的周期解，從而得到系統(tǒng)的幅頻響應曲線。為了更突出共振頻率處系統(tǒng)的響應特性，把求解的初始轉速與終止轉速設在共振頻率附近。

3　實例分析

以工程中的某一船舶推進軸系為算例，軸系長度14.5 m，外徑220 mm，內徑100 mm，軸系細長比s=0.0041，材料彈性模量210 GPa，密度7800 kg/m3。軸系各支承參數(shù)：后艉軸承徑向剛度2.5×108N/m；前艉軸承徑向剛度0.8×108N/m；中間軸承徑向剛度3×108N/m；推力軸承剛度3×108N/m。螺旋槳為7葉槳，其質量為6t，直徑轉動慣量為3000 kg·m2。

主共振響應是指外激勵頻率等于其固有頻率的響應[32]。相應的還有超諧共振與亞諧共振。N次超諧共振是指N倍激勵頻率等于其固有頻率。1/N次亞諧共振是指1/N倍激勵頻率等于其固有頻率。由于本文是以船舶推進軸系為算例，因此有工頻(旋轉速度)和葉頻(旋轉速度乘葉片數(shù))兩種激勵頻率。因為螺旋槳為7葉槳，所以一倍葉頻為工頻的7倍。當軸系一倍葉頻等于橫向第1階固有頻率時，此時若只把工頻作為外激勵頻率，則稱之為7次超諧共振[33]。若把工頻與一倍葉頻看成兩個外激勵頻率，則稱之為主共振。因此本文把工頻與葉頻看成是兩個外激勵頻率。對于一般軸系，由于只有工頻，則不存在這個問題，統(tǒng)一稱為主共振。

圖 2是用有限單元法(將軸系劃分成260節(jié)點)求得線性下橫向第1階正反進動頻率隨轉速的變化趨勢。圖中7Ω線與正進動的交點即為橫向第1階固有頻率，為6.13 Hz。

圖2　第1階正反進頻率隨轉速變化Fig.2　Change of the first forward and backward frequency vs rotation speed

為了簡化，計算時假設螺旋槳處的縱向激勵載荷為0，僅考慮螺旋槳處的橫向激勵載荷，其值分別取為1000與2000 N兩種工況。

將阻尼假設為剛度比例阻尼，即

(13)

式中K1為線性剛度矩陣；β為比例系數(shù)，按下式計算

(14)

式中ω1為橫向第1階線性固有頻率；ξ1為第1階振型阻尼比，本文取其值為0.005,0.01與0.02三種工況分別計算。將阻尼假設為剛度比例阻尼的優(yōu)點是可以有效消除高階振型對系統(tǒng)響應的影響[34]。

為了更突出共振頻率附近軸系的頻響特性，只選取橫向第1階固有頻率附近幾個頻率點計算。由于響應中存在多頻分量，對于每一頻率點，對周期響應作FFT分析，只提取工頻幅值分析。

打靶法在求取不穩(wěn)定周期解時，對初值要求很高，因此有些研究者對打靶法進行了改進以擴大其收斂域[35]。本文采用插值與試探方法來確定初值。以圖 3為例，將求解區(qū)域分成AB、BC、EF及ED幾個區(qū)間。求解時先從A點開始一直求解到C點，接著從F點開始，求解到E點，最后從E點開始求解到D點。由于AB段及F以右段和線性解差別不大，且有唯一解，因此這兩個區(qū)域的迭代初值很容易收斂，不難確定，因此可以試探進行(也可以用線性解作為試探值)。求BC段時，由于BC段是AB段的近似直線延伸，可以選取AB段上兩個已求取的點(緊鄰待求點)，以待求點的頻率為自變量，線性插值后求得待求點的幅值作為其迭代初始值；類似地，EF段也采用線性插值法；ED段由于拐角處曲率變化較大，且其形狀近似與EF段關于某一直線對稱，因此可采用拋物線插值。首先在EF段上選取兩個已求取的點，同時拋物線的頂點(對稱軸)近似取在拐角點處，從而求得待求點的幅值作為迭代初值。而在選取EF段上的已求取點時，為保證更好的收斂性，可以通過對曲線形狀的預估盡量選擇與待求點關于頂點對稱的點。盡管采用如此方法，計算表明求取ED段個別點時仍不收斂，這時可以更換EF段上的點或拋物線的對稱軸可以解決問題。當ED段求取了兩個以上點時，也可以采用線性插值求其余的點。速度也做類似插值處理。

圖 3是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.01時的幅頻響應曲線。從圖中可以得出：縱橫耦合效應呈“硬彈簧”特性使共振時的頻率略大于線性固有頻率，同時在某些頻率點處響應存在3個解(兩個穩(wěn)定解和一個不穩(wěn)定解)，從而使軸系升速與降速時響應出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

圖3　F=2000 N，ξ1=0.01時幅頻響應曲線Fig.3　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.01

圖4是利用作者發(fā)表的文獻[33]中所采用的多尺度法與本文方法所得結果進行比較，以驗證本文方法的有效性。從圖中可以看出，多尺度法的結果與本文結果整體趨勢是一致的，都有跳躍現(xiàn)象。但是多尺度法的結果的幅值比本文方法略小?？赡茉蛴袃牲c，一是文獻中的多尺度法只求取一次近似解，忽略了高次近似解；二是多尺度法只考慮了一階模態(tài)振型函數(shù)，忽略了高階振型的影響。

圖4　本文方法與多尺度法結果對比Fig.4　The comparison between our method and multiple scale method

圖 5是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.01時的幅頻響應曲線。圖 6是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.02時的幅頻響應曲線。圖 7是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.02時的幅頻響應曲線。圖 8是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.005時的幅頻響應曲線。圖 9是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.005時的幅頻響應曲線。通過這幾個圖的比較可以得出：載荷越大，阻尼比越小時，縱橫耦合效應越強。同時可以得出：阻尼比對非線性的影響很大。從圖 7可以得出，當阻尼比很大時，盡管系統(tǒng)的共振頻率仍略大于其線性固有頻率，但是此時系統(tǒng)已經不存在不穩(wěn)定解。因此增加軸系的阻尼可以有效抑制縱橫耦合效應，同時使軸系變得更穩(wěn)定。

圖5　F=1000 N，ξ1=0.01時幅頻響應曲線Fig.5　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.01

圖6　F=2000 N，ξ1=0.02時幅頻響應曲線Fig.6　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.02

圖7　F=1000 N，ξ1=0.02時幅頻響應曲線Fig.7　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.02

圖8　F=2000 N，ξ1=0.005時幅頻響應曲線Fig.8　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.005

圖9　F=1000 N，ξ1=0.005時幅頻響應曲線Fig.9　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.005

若把軸系的外徑變?yōu)?40 mm，內徑變?yōu)?20 mm，其余參數(shù)不變。此時軸系細長比s=0.0046，橫向第1階固有頻率相應變?yōu)?.11 Hz。對此軸系進行同樣的計算。

圖 10是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.01時的幅頻響應曲線。圖 11是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.01時的幅頻響應曲線。圖 12是載荷為2000 N,第1階振型阻尼比為0.005時的幅頻響應曲線。圖 13是載荷為1000 N,第1階振型阻尼比為0.005時的幅頻響應曲線。分別與圖3,5,8和9比較可知，細長比越小時，軸系縱橫耦合效應越強。

圖10　F=2000 N，ξ1=0.01時幅頻響應曲線Fig.10　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.01

圖11　F=1000 N，ξ1=0.01時幅頻響應曲線Fig.11　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.01

圖12　F=2000 N，ξ1=0.005時幅頻響應曲線Fig.12　Frequency response curve when F=2000 N，ξ1=0.005

圖13　F=1000 N，ξ1=0.005時幅頻響應曲線Fig.13　Frequency response curve when F=1000 N，ξ1=0.005

4　結　論

打靶法是求解非線性系統(tǒng)周期解的一種有效方法，本文利用打靶法結合有限元法求解了軸系縱橫耦合效應下橫向主共振響應，探討了激勵載荷、阻尼比以及細長比對軸系縱橫耦合效應的影響。研究表明：

(1)軸系發(fā)生縱橫耦合效應時，這種非線性呈“硬彈簧”效應，使共振時的固有頻率大于其線性固有頻率。

(2)在某些頻率點處，幅頻響應曲線存在多解，使響應出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

(3)激勵載荷越大，阻尼比越小，細長比越小時，軸系縱橫耦合效應越強；

(4)增加阻尼比可以有效抑制這種幾何非線性效應，并提高軸系的穩(wěn)定性。

這些結論對軸系的設計具有指導意義。因此在實際的軸系設計中，對于大跨度細長軸系，為了更精確的預測其固有頻率，應考慮縱橫耦合效應所產生的影響。這種耦合效應會適當增加軸系固有頻率。而對于容易發(fā)生縱橫耦合效應的細長軸系，適當增加阻尼比可以有效抑制這種非線性效應，提高軸系的穩(wěn)定性。

[1]陳予恕, 李軍. 汽輪發(fā)電機組軸系彎扭耦合振動問題研究綜述[J]. 汽輪機技術, 2012, 54(3):161—164.

Chen Yushu, Li Jun. Research on bending-torsion coupling vibration of shaft of turbine generator[J]. Turbine Technology, 2012, 54(3):161—164.

[2]夏伯乾, 虞烈, 謝友柏. 齒輪-轉子-軸承系統(tǒng)彎扭耦合振動模型研究[J]. 西安交通大學學報, 1997, 31(12):95—101.

Xia Boqian, Yu Lie, Xie Youbai. Study on lateral-torsional coupling vibration model of gear-rotor-bearing system[J]. Journal of Xi′an Jiaotong University, 1997, 31(12): 95—101.

[3]胡義, 楊建國. 梁縱橫耦合振動研究[J]. 武漢理工大學學報(交通科學與工程版), 2010, 34(03): 537—541.

Hu Yi, Yang Jianguo. Studies on the longitudinal and lateral coupled vibration of beam[J].Journal of Wuhan University of Technology(Transportation Science & Engineering), 2010, 34(03): 537—541.

[4]夏品奇. 縱橫向耦合梁的諧波響應分析[J]. 振動工程學報, 1995, 8(1): 67—72.

Xia Pinqi. Harmonic response of beam with longitudinal and transversal coupling[J].Journal of Vibration Engineering, 1995, 8(1): 67—72.

[5]易壯鵬, 趙躍宇, 朱克兆. 梁的縱向與橫向耦合振動的動力學分析[J]. 應用力學學報, 2008, 25(04): 687—692,740.

Yi Zhuangpeng, Zhao Yueyu, Zhu Kezhao. Dynamic analysis of beams with longitudinal and transversal coupled vibration[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2008, 25(04): 687—692,740.

[6]Hosseini S A A, Khadem SE. Free vibrations analysis of a rotating shaft with nonlinearities in curvature and inertia[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44:272—288.

[7]Hosseini S A A, Zamanian M. Multiple scales solution for free vibrations of a rotating shaft with stretching nonlinearity[J]. Scientia Iranica, 2013, 20:131—140.

[8]Hosseini S A A, Zamanian M, Shams S, et al. Vibration analysis of geometrically nonlinear spinning beams[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 78:15—35.

[9]Khadem S E, Shahgholi M, Hosseini SAA. Primary resonances of a nonlinear in-extensional rotating shaft[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, 45:1067—1081.

[10]Shahgholi M, Khadem S E, Primary and parametric resonances of asymmetrical rotating shafts with stretching nonlinearity[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 51:131—144.

[11]Hosseini S, Khadem S. Analytical solution for primary resonances of a rotating shaft with stretching non-linearity[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2008, 222:1655—1664.

[12]Hosseini S A A, Khadem S E. Combination resonances in a rotating shaft[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44:1535—1547.

[13]Khadem S E, Shahgholi M, Hosseini S A A. Two-mode combination resonances of an in-extensional rotating shaft with large amplitude[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 65:217—233.

[14]Hosseini S A A. Dynamic stability and bifurcation of a nonlinear in-extensional rotating shaft with internal damping[J]. Nonlinear Dynamics, 2013, 74:345—358.

[15]Ishida Y, Yamamoto T, Ikeda T. Nonlinear forced oscillations caused by quartic nonlinearity in a rotating shaft system[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1990, 112:288—297.

[16]Ishida Y, Nagasaka I, Inoue T, et al. Forced oscillations of a vertical continuous rotor with geometric nonlinearity[J]. Nonlinear Dynamics, 1996, 11:107—120.

[17]Ishida Y, Inoue T. Internal resonance phenomena of an asymmetrical rotating shaft[J]. Journal of Vibration and Control, 2005, 11:1173—1193.

[18]鄭兆昌. 關于線性和非線性系統(tǒng)內在的本質聯(lián)系——多自由度非線性系統(tǒng)的定量和定性分析[J]. 振動與沖擊, 2008,(01): 4—8,178.

ZHENG Zhaochang. Interinsic and smple connection of linear systems with non-linear quantitative and qualitative analysis of large scale multiple dof nonlinear systems[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008,(01): 4—8,178.

[19]陳玲莉. 工程結構動力分析數(shù)值方法[M]. 西安: 西安交通大學出版社, 2006.

[20]Lewandowski. Computational formulation for periodic vibration of geometrically nonlinear structures-part 1: Theoretical background[J]. International Journal of Solids and Structures, 1997, 34(15):1925—1947.

[21]Sundararajan P, Noah S T. Dynamics of forced nonlinear systems using shooting/arc-length continuation method-application to rotor systems[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1997, 119(1):9—20.

[22]凌復華. 非線性振動系統(tǒng)周期運動及其穩(wěn)定性的數(shù)值研究[J]. 力學進展, 1986, 16(1):14—27.

Ling Fuhua. Numerical treatments of a periodic motion and its stability of nonlinear oscillation systems[J]. Advances in Mechanics, 1986, 16(1):14—27.

[23]Han S M, Benaroya H. Non-linear coupled transverse and axial vibration of a compliant structure, PART 1: Formulation and free vibration[J]. Journal of Sound and Vibration， 2000， 237(5):837—873.

[24]鐘一鄂,何衍宗,王正，等. 轉子動力學[M]. 北京：清華大學出版社，1986.

[25]Nayfeh A H. Introduction to Perturbation Techniques[M]. John Wiley & Sons， 2011.

[26]查金榮.非線性微分方程兩點邊值問題數(shù)值解法綜述[J]. 化工冶金, 1983，(02): 81—91.

[27]劉恒, 陳麗. 周向均布拉桿柔性組合轉子軸承系統(tǒng)的非線性動力特性[J]. 機械工程學報, 2010，(19): 53—62.

LIU Heng, CHEN Li. Nonlinear dynamic analysis of a flexible rod fastening rotor bearing system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010(19): 53—62.

[28]宋學賓, 劉恒，易均，等. 推力軸承對柔性轉子系統(tǒng)的非線性動力影響[J]. 西安交通大學學報, 2011，(09): 108—113.

SONG Xuebin, LIU Heng， YI Jun， et al. Nonlinear dynamic effect of thrust bearing on a flexible rotor system[J].Journal of Xi′an Jiaotong University， 2011，(09): 108—113.

[29]易均, 劉恒， 劉意，等. 接觸界面對拉桿組合柔性轉子軸承系統(tǒng)的非線性動力特性影響[J]. 振動與沖擊, 2012，(17): 165—170，175.

YI Jun, LIU Heng， LIU Yi，et al. Effect of contact interface upon nonlinear dynamic properties of a flexible rod fastening rotor bearing system[J].Journal of Vibration and Shock， 2012,(17): 165—170，175.

[30]易均, 劉恒，劉意，等. 歪斜安裝對組配軸承轉子系統(tǒng)動力學特性影響[J]. 西安交通大學學報, 2014，(09): 107—111.

YI Jun, LIU Heng， LIU Yi， et al. Influence of installed outer race on nonlinear dynamic characteristics for matched bearings rotor system[J]. Journal of Xi′an Jiaotong University, 2014,(09): 107—111.

[31]李輝光, 劉恒, 虞烈, 周向拉桿轉子系統(tǒng)非線性動力行為及穩(wěn)定性[J]. 機械工程學報, 2011,(23): 82—91.

LI Huiguang, LIU Heng, YU Lie. Nonlinear dyanmic behaviors and stability of circumferential rod fastening rotor system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011,(23): 82—91.

[32]周紀卿. 非線性振動[M]. 西安：西安交通大學出版社, 1998.

[33]Zou D, Rao Z, Ta N, Coupled longitudinal-transverse dynamics of a marine propulsion shafting under superharmonic resonances[J]. Journal of Sound and Vibration, 2015， 346(0): 248—264.

[34]R 克拉夫, J 彭. 結構動力學[M].北京: 高等教育出版社， 2006.

[35]周進雄, 諸德培, 高建平. 基于多重打靶技術的連續(xù)法求解非線性自治系統(tǒng)的周期解[J]. 機械強度, 1999, 21(02):20—22,27.

Zhou Jinxiong, Zhu Depei, Gao Jianping. Continuation method for the numerical solution of periodic motions of nonlinear autonomous systems by multiple shooting techniques[J].Journal of Mechanical Strength, 1999, 21(02):20—22,27.

Primary resonances of shafts with coupled longitudinal-transverse vibration by finite element and shooting methods

ZOUDong-lin1,2,LIULing1,2,RAOZhu-shi1,2,TANa1,2

(1.Insitute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China；2.State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A coupled longitudinal-transverse nonlinear dynamic model of shafts is established by Hamilton's principle and finite element method with consideration of the Von Karman's nonlinear strain-displacement relationship. The nonlinear stiffness matrix is derived. Then the transverse primary resonances under excitation load are studied and the stabilities are analyzed by shooting method. The influence of the load, damping ration and slender ratio on the nonlinear effect is discussed . Results show that the lateral resonant frequency is larger than the linear natural frequency due to the nonlinear effects for hard springs. For some frequencies, there are multiple stable solutions in the amplitude-frequency curve and jump phenomena as well. The bigger the load, the smaller the damping ratio and the smaller the slender ratio is, the bigger the nonlinear effect is. The nonlinear effects could be suppressed and the stability could be improved by increasing the damping ratio. These analyses provide reference and guidance to the design of shafts.

nonlinear vibration； coupled longitudinal-transverse shafts; FEM; shooting method; primary resonance

2014-09-09；

2015-09-08

O322；TH113.1

A

1004-4523(2016)01-0087-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.012

鄒冬林(1987—),男,博士研究生。電話:18818214080; E-mail: zoudonglin.520@sjtu.edu.cn