謝　幫， 王世宇，2，3

(1.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300072；2.天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點(diǎn)實驗室， 天津 300072；3.天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實驗室，天津 300072)

?

錐齒行星齒輪傳動相位調(diào)諧研究*

謝幫1， 王世宇1，2，3

(1.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300072；2.天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點(diǎn)實驗室， 天津 300072；3.天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實驗室，天津 300072)

根據(jù)錐齒行星齒輪傳動的結(jié)構(gòu)和受力的對稱性，采用解析方法研究了嚙合相位對振動特性的影響，揭示了中心輪齒數(shù)和行星輪個數(shù)與中心構(gòu)件的受力及振動特性之間的關(guān)系，歸納出3種典型振動模式：軸向平移-扭轉(zhuǎn)、徑向平移-扭擺和受力平衡模式。在軸向平移-扭轉(zhuǎn)振動模式下，中心構(gòu)件呈現(xiàn)軸向平移和繞該軸的扭轉(zhuǎn)振動；在徑向平移-扭擺振動模式下，中心構(gòu)件呈現(xiàn)沿徑向的平移和繞該方向的扭擺振動；在受力平衡模式下，中心構(gòu)件均不振動。數(shù)值計算及文獻(xiàn)對比證明了解析預(yù)測的正確性及其在減振方面的有效性。

錐齒行星齒輪傳動; 時變嚙合剛度; 相位調(diào)諧; 振動模式

引　言

錐齒行星齒輪傳動是一種常見的傳動裝置。中心輪的齒數(shù)和行星輪的個數(shù)是影響傳動性能的重要基本參數(shù)。本文擬根據(jù)幾何構(gòu)型和嚙合力的對稱性，研究參數(shù)與受力及振動響應(yīng)之間的調(diào)諧關(guān)系。

早在1967年，Schlegle和Mard就揭示了調(diào)諧現(xiàn)象[1]，Seager給出了初步解釋[2]。Kahraman研究了斜齒行星傳動相位調(diào)諧，揭示了振動模式及其抑制規(guī)律[3-5]。Parker等采用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和仿真計算，研究了直齒行星傳動的相位調(diào)諧[6-11]。秦大同、肖正明等[12-13]和段福海等[20]也研究了與嚙合相位有關(guān)的問題，得到了許多具有理論和工程意義的結(jié)論。本文作者提出了基于相位調(diào)諧的基本參數(shù)選擇方法[15]。

應(yīng)當(dāng)指出的是，上述文獻(xiàn)通常采用剛體假設(shè)，還有文獻(xiàn)研究了彈性振動規(guī)律[11,16-18]。事實上，相位調(diào)諧源于結(jié)構(gòu)及受力的對稱性，與所采用的假設(shè)沒有必然關(guān)系。為了避免應(yīng)用無延展約束條件，同時提高分析效率，本文作者計入了彎曲和延展變形，采用疊加方法分析了齒圈的面內(nèi)振動特性，揭示了齒數(shù)和行星輪個數(shù)與剛?cè)狁詈险駝又g的相位調(diào)諧關(guān)系[19]，之后將其推廣至一般旋轉(zhuǎn)對稱式驅(qū)動/傳動系統(tǒng)[20-22]。

錐齒行星傳動幾何構(gòu)型對稱且含脈動激勵，因此應(yīng)當(dāng)存在相位調(diào)諧現(xiàn)象。文獻(xiàn)[23]研究了該傳動的齒數(shù)和行星輪個數(shù)與軸向力之間的關(guān)系，并設(shè)計了3種典型傳動方案，分別研究了軸向力的變化規(guī)律，還給出了驗證。由于僅討論了含特定數(shù)目行星輪的情形，還需開展理論研究，分析其他參數(shù)選取方案對受力及振動的影響，揭示一般規(guī)律。

文獻(xiàn)[24]采用相對質(zhì)心的動量矩定理建立了錐齒行星傳動的動力學(xué)模型，揭示了幾種典型自由振動模式?；谠撃Ｐ?，本文進(jìn)一步研究受迫振動特性，揭示參數(shù)與典型振動之間的映射關(guān)系，還將以時變嚙合剛度為主要激勵給出仿真驗證。文獻(xiàn)對比進(jìn)一步證明了解析結(jié)論及其減振效果。

1　動力學(xué)模型

圖1為文獻(xiàn)[24]建立的錐齒行星傳動計算模型。3個中心構(gòu)件有3個平動和3個扭轉(zhuǎn)運(yùn)動，共計6個自由度；行星輪有3個平動和1個扭轉(zhuǎn)運(yùn)動，共計4個自由度。為了方便分析，建立了系桿隨動坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)軸xi(i=c,s1,s2)指向1號行星輪的平衡位置，z軸均沿旋轉(zhuǎn)軸指向外側(cè)。各行星輪坐標(biāo)系的原點(diǎn)均位于質(zhì)心平衡位置，xj(j=1,2,3,…,N;N為行星輪個數(shù))沿系桿徑向向外，yj由右手定則確定。各中心構(gòu)件的坐標(biāo)為(xi,yi,zi,uix,uiy,uiz)，第j個行星輪的坐標(biāo)為(xj,yj,zj,ujx)。根據(jù)牛頓第二定律可得運(yùn)動方程

(1)

式中M，ωc，G，Kb，Km，KΩ和F分別為質(zhì)量矩陣、系桿角速度、陀螺矩陣、支承剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、向心剛度矩陣和激勵向量，廣義坐標(biāo)q=[xc,yc,zc,ucx,ucy,ucz,xs1,ys1,zs1,us1x,us1y,us1z,xs2,ys2,zs2,us2x,us2y,us2z,x1,y1,z1,u1x,x2,y2,z2,u2x,…,xN,yN,zN,uNx]T。應(yīng)當(dāng)指出的是，本文僅針對相位調(diào)諧問題開展研究，忽略了間隙等非線性因素的影響。

圖1　錐齒行星齒輪傳動數(shù)學(xué)模型Fig.1　Mathematical model of bevel planetary gear trains

2　相位調(diào)諧研究

2.1受力分析

本文以中心輪1為例進(jìn)行受力分析。假定齒數(shù)為Zs1，其與第j個行星輪之間的嚙合力為Fj。如果嚙合力沿中心輪的徑向、切向和軸向的投影分別為Fj1，F(xiàn)j2和Fj3，則嚙合力沿3個坐標(biāo)方向的投影為

(2)

式中ψj為第j個行星輪與橫軸的夾角，且有

(3)

上述嚙合力Fj為嚙合誤差及嚙合剛度等嚙頻激振力。將式(2)中的Fj1，F(xiàn)j2及Fj3分解為以嚙頻ωm為基頻的傅立葉級數(shù)

(4)

式中l(wèi)為諧波階次，φj為第j個嚙合位置的時間相位。文獻(xiàn)[6]給出了直齒行星傳動的嚙合相位，根據(jù)兩種傳動的結(jié)構(gòu)及受力的相似性，有

(5)

所有行星輪作用于太陽輪1的合力沿3個坐標(biāo)方向的投影為

(6)

同理，作用于太陽輪1的合力矩為

(7)

式中rs1為等效集中嚙合力與中心輪1的旋轉(zhuǎn)中心的距離。對于整數(shù)m和M有[6]：

(8)

根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算特性，由式(2)～(9)可得中心輪齒數(shù)及行星輪個數(shù)等基本參數(shù)與振動響應(yīng)之間的映射關(guān)系：

在上述結(jié)論中，q為整數(shù)，c滿足1

2.2參數(shù)奇偶性分析

文獻(xiàn)[19]揭示了中心輪齒數(shù)和行星輪個數(shù)等基本參數(shù)的奇偶性對直齒行星傳動振動特性的影響規(guī)律。對于錐齒行星傳動，上述參數(shù)也可以為偶數(shù)或奇數(shù)。奇偶性將影響嚙合相位，進(jìn)而改變構(gòu)件的受力及振動特性。假定整數(shù)C為兩個基本參數(shù)的最大公因子，根據(jù)文獻(xiàn)[19]，當(dāng)該因子大于1時，必然有l(wèi)Zs1≠qN±1，因此不存在RTT模式。同時，受裝配條件2Zs1/N=整數(shù)的約束，對于雙行星輪傳動系統(tǒng)，中心輪齒數(shù)與行星輪個數(shù)可滿足互質(zhì)關(guān)系(C=1)，因此將激起3種振動模式；若行星輪個數(shù)為大于2的偶數(shù)，則必然有C>1，因此不存在RTT模式；若行星輪個數(shù)為奇數(shù)，則中心輪齒數(shù)可以被行星輪個數(shù)整除(C=N)，因此僅能激起ATR模式。綜上可得表1所述相位調(diào)諧規(guī)律。

表1　錐齒行星傳動相位調(diào)諧

3　結(jié)果驗證

為了驗證相位調(diào)諧規(guī)律，本文設(shè)計了3個傳動方案，并根據(jù)表1預(yù)測了振動響應(yīng)，如表2和3所述。對于方案A，由于中心輪齒數(shù)為奇數(shù)，因此隨著嚙頻諧波階次的改變，將分別激起ATR和RTT模式；對于方案B，兩個參數(shù)滿足整除關(guān)系，因此對于任意諧波階數(shù)，僅能激起ATR模式；方案C兩參數(shù)的公因子大于1，因此不存在RTT模式。

本文計入嚙合剛度的時變性，并假定其按矩形波規(guī)律變化，極值分別為8.15×108和4.17×108N/m，重合度、輸入扭矩和嚙頻分別為1.40，200 N·m和100 Hz。圖2給出了嚙合剛度波形及頻譜。

圖2　嚙合剛度及其諧波Fig.2　Waveform and spectrum of mesh stiffness

應(yīng)用傅立葉級數(shù)方法[25]求解式(1)，可得3個傳動方案的時域和頻域解。需要指出的是，因中心構(gòu)件振動規(guī)律相似，本文僅給出中心輪1的振動響應(yīng)，如圖3～5所示。其中，圖3為方案A的時頻振動響應(yīng)。由于中心輪齒數(shù)不能被行星輪個數(shù)整除，因此隨著嚙頻諧波階次的改變，可激起ATR和RTT模式。由圖3(a)和(b)可知，奇數(shù)階嚙頻諧波激起徑向振動，但沒有激起軸向振動，與表1和3所述解析預(yù)測一致。同時，根據(jù)表1，還應(yīng)出現(xiàn)繞兩個正交方向的扭擺振動，但從圖3(c)和(d)可知，僅有繞y向的振動。原因在于方案A只有兩個行星輪，且在仿真計算中假定軸心均位于x軸，嚙合力投影為零，因此沒有出現(xiàn)繞該軸的扭擺振動，但仍然可歸結(jié)為RTT模式。相比之下，在偶數(shù)階諧波處，中心輪呈現(xiàn)沿旋轉(zhuǎn)軸的平移振動和繞該軸的扭轉(zhuǎn)振動，表現(xiàn)為典型的ATR模式。上述計算結(jié)果與理論預(yù)測一致。

表2　錐齒行星傳動基本參數(shù)

表3　傳動方案及其振動模式

圖3　時頻振動響應(yīng)(方案A)Fig.3　Time-frequency vibration (Case A)

圖4　時頻振動響應(yīng)(方案B)Fig.4　Time-frequency vibration (Case B)

圖4為方案B的中心輪1的時頻振動響應(yīng)。由于中心輪齒數(shù)可被行星輪個數(shù)整除，不論諧波階次取何值，始終有l(wèi)Zs1≠qN±1，因此激起ATR模式。由圖4可知，中心輪1的徑向平移和扭擺振動均被抑制，但沿旋轉(zhuǎn)軸的平移振動和繞該軸的扭轉(zhuǎn)振動十分明顯。上述結(jié)果與理論預(yù)測一致。

圖5為方案C的中心輪1的時頻振動響應(yīng)。由于該方案的中心輪齒數(shù)與行星輪個數(shù)的公因子大于1，因此不存在RTT模式。由圖5可知，不論諧波階次取何值，均不存在關(guān)于x和y軸的平移和扭擺振動。在嚙頻的第4、第6和第8階諧波處，滿足lZs1=qN，表現(xiàn)出ATR振動模式。在第1、第3、第7和第9階諧波處，中心輪的振動受到抑制，表現(xiàn)為FB模式。上述結(jié)果與理論預(yù)測一致。

根據(jù)本文揭示的相位調(diào)諧規(guī)律可進(jìn)一步分析文獻(xiàn)[23]的4個傳動方案的振動特性。表4給出了各方案的中心輪齒數(shù)和行星輪個數(shù)。文獻(xiàn)[23]指出：以軸向振動為評價標(biāo)準(zhǔn)，方案Ⅳ最好。根據(jù)本文結(jié)論，方案Ⅰ和Ⅱ始終滿足lZs1=qN，因而激起ATR振動模式，產(chǎn)生顯著的軸向振動。而方案Ⅲ和Ⅳ滿足其他條件，可激起RTT和FB模式。由于不存在軸向振動，因此這兩個方案較好。方案Ⅲ與Ⅳ的差別僅在于行星輪齒數(shù)的奇偶性。事實上，如果齒數(shù)為奇數(shù)，則內(nèi)、外嚙合相位相反，軸向嚙合力不能抵消；如果為偶數(shù)，則上述兩處嚙合同相[4]。若不計制造和安裝誤差，偶數(shù)齒行星輪可使軸向嚙合力抵消，因而抑制軸向振動。綜上可知，方案Ⅳ的軸向振動小于其他方案。上述分析，一方面證明了文獻(xiàn)[23]的結(jié)論，另一方面也證明了相位調(diào)諧規(guī)律的正確性及其在減振方面的有效性。

表4　錐齒行星傳動方案[23]

圖5　時頻振動響應(yīng)(方案C)Fig.5　Time-frequency vibration (Case C)

應(yīng)當(dāng)指出的是，本文僅分析了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如果嚙頻或其諧波與某階固有頻率接近，同時嚙合力的施加方式與自由振動模式一致，將激起共振。作為典型的參激系統(tǒng)，錐齒行星傳動存在穩(wěn)定性問題[26]和邊頻結(jié)構(gòu)[27]。但是，在應(yīng)用傅立葉級數(shù)解法時由于忽略了時變剛度與響應(yīng)形成的二階小量，將參激振動簡化為受迫振動，因此所得結(jié)論僅描述了主頻及其諧波響應(yīng)。

鑒于錐齒行星傳動的結(jié)構(gòu)對稱性及典型的參數(shù)激勵特征，有必要分析由嚙合剛度激勵產(chǎn)生的邊頻疊加效果，以充分揭示相位調(diào)諧規(guī)律。Parker等深入研究了齒圈系統(tǒng)的參激振動規(guī)律，得到了許多有意義的結(jié)論[28]。為了避免煩瑣的動力學(xué)建模和解析分析，可考慮采用彈性波疊加方法[19]分析各嚙合位置的振動疊加效果，最終揭示計入延展變形的參激振動規(guī)律。

4　結(jié)　論

本文研究了錐齒行星齒輪傳動的基本參數(shù)對振動特性的影響。根據(jù)中心構(gòu)件的振動特征，本文揭示了3類典型振動模式，即：軸向平移-扭轉(zhuǎn)、徑向平移-扭擺和平衡模式。在第1種模式下，中心構(gòu)件僅存在軸向平移和繞該方向的扭轉(zhuǎn)振動；在第2種模式下，中心構(gòu)件僅存在徑向平移和扭擺振動；在平衡模式下，中心構(gòu)件6個方向的振動均被抑制，因此處于受力平衡狀態(tài)。仿真計算及文獻(xiàn)對比證明了解析結(jié)果的正確性及其在減振方面的有效性。

[1]Schlegel R G,Mard K C. Transmission noise control approaches in helicopter design [C]. ASME 67-DE-58. ASME Design Engineering Conference. New York，1967.

[2]Seager D L. Conditions for the neutralization of excitation by the teeth in epicyclic gearing [J]. Journal Mechanical Engineering Science，1975, 17(5): 293—298.

[3]Kahraman A. Natural modes of planetary gear trains [J]. ASME Journal of Sound and Vibration, 1994, 173(1): 125—130.

[4]Kahraman A. Planetary gear train dynamics [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 1994, 116(3): 713—720.

[5]Kahraman A, Blankenship G W. Planet mesh phasing in epicyclic gear sets[C]. In: International Gearing Conference. Newcastle, UK, 1994：99—104.

[6]Parker R G. A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 236(4): 561—573.

[7]Parker R G, Agashe V, Vijayakar S M. Dynamic response of a planetary gear system using a finite element/contact mechanics model [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2000, 122(3): 304—310.

[8]Parker R G, Lin J. Mesh phasing relationships in planetary and epicyclic gears [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2004, 126(2): 365—370.

[9]Ambarisha V K, Parker R G. Suppression of planet mode response in planetary gear dynamic through mesh phasing [J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 2006, 128(2): 133—142.

[10]Ambarisha V K, Parker R G. Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(3): 577—595.

[11]Wu X U. Vibration of planetary gears having an elastic continuum ring gear[D]. Ohio State University, 2010.

[12]秦大同，肖正明，王建宏．基于嚙合相位分析的盾構(gòu)機(jī)減速器多級行星齒輪傳動動力學(xué)特性 [J].機(jī)械工程學(xué)報，2011，47(23)：20—28．

Qin D T, Xiao Z M, Wang J H. Dynamic characteristics of multi-stage planetary gears of shield tunnelling machine based on planet mesh phasing analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(23): 20—28.

[13]肖正明，秦大同，尹志宏.多級行星齒輪系統(tǒng)耦合動力學(xué)分析與試驗研究[J].機(jī)械工程學(xué)報，2012，48(23)：51—58．

Xiao Z M,Qin D T, Yin Z H. Multi-stage planetary gears dynamic coupling analysis and experimental investigation[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(23): 51—58.

[14]段福海，郭飚，胡青春，等.齒輪中心雙流傳動系統(tǒng)的動力學(xué)分析 [J].華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，36(8)：117—122．

Duan F H, Guo B, Hu Q C, et al. Dynamic analysis of two path and load share sun geared system[J]. Journal of South China University of Technology (Natural Science Edition), 2008, 36(8): 117—122．

[15]王世宇.基于相位調(diào)諧的直齒行星齒輪傳動動力學(xué)理論與實驗研究 [D]. 天津：天津大學(xué)，2005．

Wang S Y. Theoretical and experimental investigation on dynamics of spur planetary gear transmissions based on planet phasing theory [D]. Tianjin: Tianjin University, 2005.

[16]Stockton R J. Sun gear traveling wave vibration in a sequential planetary gearbox[C]. In: ASME Design Engineering Division Conference and Exhibit on Mechanical Vibration and Noise． Cincinnati, Ohio, USA, 1985, 85-DET-167.

[17]Talbert P B. Generalized excitation of traveling wave vibration in gears[C]. In: American Gear Manufacturers Association Conference. Technical Paper No. 04FTM08, 2004.

[18]Canchi S V, Parker R G. Effects of ring-planet mesh phasing and contact ratio on the parametric instabilities of a planetary gear ring [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2008, 130(1): 014501.

[19]Wang S Y, Huo M N, Zhang C, et al. Effect of mesh phase on wave vibration of spur planetary ring gear [J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2011, 30(6): 820—827.

[20]Chen D L, Wang S Y, Xiu J, et al, Physical explanation on rotational vibration via distorted force field of multi-cyclic symmetric systems[C]. 13th World Congress in Mechanism and Machine Science (IFToMM′11). Guanajuato, Mexico, 2011, June 19—25.

[21]Huo M N, Wang S Y, Xiu J, et al. Effect of magnet/slot combination on triple-frequency magnetic force and vibration of permanent magnet motors[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(22): 5965—5980.

[22]Wang S Y, Xiu J, Cao S Q, et al. Analytical treatment with rigid-elastic vibration of permanent magnet motors with expanding application to cyclically symmetric power-transmission systems[J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 2014, 136(2): 021014.

[23]Vantsevich V V. Force vibrations in automotive bevel gear differentials[C]. Noise & Vibration Conference and Exhibition. Traverse City, Michigan, May 5-8, 2003.

[24]王世宇，王建，曹樹謙，等，錐齒行星齒輪傳動模態(tài)特性分析 [J].振動工程學(xué)報，2011，24(4)：376-384．

Wang S Y, Wang J, Cao S Q, et al. Modal properties for bevel planetary gear trains [J]. Journal of Vibration Engineering, 2011, 24(4): 376—384.

[25]方宗德，沈允文，黃鎮(zhèn)東．三路功率分流恒星式減速器的動態(tài)特性[J]．航空動力學(xué)報，1990，11(7)：341—350．

Fang Z D, Shen Y W, Huang Z D. The dynamic behavior of star gearing with three branches[J]. ACTA Aeronatutica Et Astronatutica Sinica, 1990, 11(7): 341—350.

[26]Yang J M, Zhang C, Lin Z Q, et al. Theoretical explanation for lower order harmonic resonance phenomenon of three-ring gear transmissions[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2003, E-8(1): 71—74.

[27]Han Q K, Wang J J, Li Q H. Spectral properties for the vibration response of parametrically excited system[J]. Archive of Applied Mechanics, 2010, 80(6): 671—685.

[28]Wang S Y, Sinha S C. Parametric instability in a gear train system due to stiffness variation[C]. ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Portland, Oregon, USA, 2013.

Planet phasing of bevel planetary gear trains

XIEBang1,WANGShi-yu1,2,3

(1.School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2.Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education, Tianjin University,Tianjin 300072, China;3.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China)

This work analyzes the effect of meshing phase on vibration behaviors by using the structural and force symmetries of the bevel planetary gear trains. The relationships between the basic parameters, including the number of the central gear tooth, the number of the planet gears, and the force and vibration are obtained. The results imply that the vibration can be classified into three typical groups: axial-translational androtational modes, where the central components exhibit translational motion and rotational motion about their axes, radial-translational and torsional modes, where the central components exhibit translational motion and torsional motion about the two axes perpendicular to the rotational axis, and force balanced modes, where the central components are stationary. The analytical prediction and its effectiveness on the vibration reduction are verified by numerical calculation and comparison with the existing literature.

bevel planetary gear trains； time-varying meshing stiffness； planet phasing； vibration modes

2014-06-01；

2015-11-04

國家自然科學(xué)基金資助項目(51175370);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃重點(diǎn)項目(13JCZDJC34300)

TH113.1;TH132.425

A

1004-4523(2016)01-0069-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.010

謝幫(1989—)，男,碩士研究生。E-mail： xbalex1989@163.com

王世宇(1974—),男，博士，副教授。E-mail:wangshiyu@tju.edu.cn