沈煜年， 顧金紅

(南京理工大學力學與工程科學系， 江蘇 南京 210094)

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柔性梁含摩擦斜碰撞的剛體-彈簧-質(zhì)點混合模型研究*

沈煜年， 顧金紅

(南京理工大學力學與工程科學系， 江蘇 南京 210094)

為精確快速地預(yù)測柔性梁因斜碰撞導(dǎo)致的復(fù)雜瞬態(tài)動力響應(yīng)，提出了一種可同時計及局部接觸區(qū)法向接觸柔度、切向接觸柔度以及柔性梁整體結(jié)構(gòu)柔度的混合分析模型(HAM)?；谟邢薅畏ǖ乃枷?，將柔性梁的整體位移場離散為彈簧-阻尼-剛體系統(tǒng)，局部接觸區(qū)的法向雙線性壓縮-恢復(fù)以及切向摩擦變形過程則用含有能量恢復(fù)系數(shù)的彈塑性彈簧-質(zhì)點系統(tǒng)進行描述。依據(jù)HAM模型，導(dǎo)出了斜碰撞系統(tǒng)在不同接觸狀態(tài)下的分段連續(xù)動力學方程。給出了法向壓縮-恢復(fù)狀態(tài)和切向黏-滑運動狀態(tài)的切換準則，并運用事件驅(qū)動法對數(shù)值算例進行了求解。通過比較HAM模型解、實驗數(shù)據(jù)以及商業(yè)有限元解，表明該模型能準確預(yù)測接觸力的時間歷程并描述反復(fù)切換的黏-滑(反向)運動模式，驗證了HAM模型的可行性。

非線性振動； 斜碰撞； 切向柔度； 摩擦接觸； 黏-滑運動

引　言

斜碰撞不僅存在于宏觀大尺度宇宙天體之間[1]，而且在機械工程、航空航天甚至微尺度機械領(lǐng)域中也是頻繁出現(xiàn)的現(xiàn)象[2]。例如空間探測器的交會對接[3]、飛行器表面的粒子侵蝕[4]、機械手抓取貨物的沖擊作用[5]、齒輪對的相互拍擊[6]、金屬的爆炸焊接工藝[7]以及微小管道機器人的管內(nèi)運動[8]等。少數(shù)情形人們會利用含摩擦斜碰撞去實現(xiàn)機構(gòu)特定的功能目的；但更多的情況則是斜碰撞會帶來結(jié)構(gòu)失效、增加噪音以及安全性降低等許多不利的一面[9-12]。

斜碰撞發(fā)生時，碰撞結(jié)構(gòu)不僅在接觸面的法向存在一個單邊約束，而且在切向還有一個摩擦約束[13]。相比正碰正碰撞，斜碰撞的瞬態(tài)特征更加復(fù)雜，切向約束會導(dǎo)致接觸面間的黏滯-微滑動(有時會反向)[14]。Johnson[15]在研究具有初始角速度的超彈性球體斜向撞擊水平地面時，發(fā)現(xiàn)了一個運用剛體碰撞模型無法解釋的特殊現(xiàn)象，即球質(zhì)心速度的水平分量以及轉(zhuǎn)動角速度在斜碰撞后均會發(fā)生反向。通過分析，其認為接觸區(qū)較大的切向柔度可能是該現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因。Stronge[16]和Shen[14]考慮硬質(zhì)碰撞物體接觸區(qū)的切向柔度，非接觸區(qū)部分仍視為剛體，建立能分析接觸點反向滑動的集中參數(shù)模型，討論了接觸柔度對接觸點的切向速度和接觸力影響。然而，斜碰撞事件中接觸與分離的狀態(tài)切換(即接觸約束的添加和刪除)會使桿和梁等可變形體的振動模態(tài)發(fā)生突變，且接觸區(qū)產(chǎn)生彈塑性變形。這些特征均與結(jié)構(gòu)的柔性密切相關(guān)，目前尚缺乏深入研究。

本文將前述文獻的研究進行了發(fā)展，提出了一種可同時計及局部接觸區(qū)法向接觸柔度、切向接觸柔度以及柔性梁整體結(jié)構(gòu)柔度的混合分析模型(HAM)，用以研究柔性梁的含摩擦斜碰撞問題?；谟邢薅畏ㄋ枷耄瑢⑷嵝粤旱恼w位移場離散為彈簧-阻尼-剛體系統(tǒng)。局部接觸區(qū)的法向雙線性壓縮-恢復(fù)過程以及切向摩擦變形過程用含有能量恢復(fù)系數(shù)的彈塑性彈簧-質(zhì)點系統(tǒng)進行描述。根據(jù)所建混合模型，推導(dǎo)了斜碰撞系統(tǒng)在不同接觸狀態(tài)下的分段連續(xù)動力學方程，給出了法向壓縮-恢復(fù)狀態(tài)和切向黏-滑運動狀態(tài)的切換準則，并運用事件驅(qū)動法對數(shù)值算例進行了求解。驗證了本文模型的可行性。

1　斜碰撞混合分析模型

如圖1(a)所示，考慮一個端部為半圓頭的圓形截面柔性梁以初始平動速度V斜向撞擊粗糙剛性地面。梁長為L、橫截面積為A、材料的楊氏模量為E、質(zhì)量密度為ρ、泊松比為ν。梁的軸線與x軸正向夾角為u。首先基于有限段思想將柔性梁整體分割成若干離散段[17](如圖1(b)所示)，建立梁整體的彈簧-阻尼-剛體系統(tǒng)，然后引入考慮切向接觸柔度的彈塑性彈簧-質(zhì)點系統(tǒng)用以描述接觸效應(yīng)和計算接觸力。通過聯(lián)合前述兩個子系統(tǒng)，可建立斜碰撞剛體-彈簧-質(zhì)點混合模型。

1.1柔性梁整體的彈簧-阻尼-剛體系統(tǒng)

如圖1(b)所示，將柔性梁等分成n段，每段長度和質(zhì)量分別為l=L/n和m=ρAl。為了同時考慮梁的軸向變形和彎曲變形，相鄰的離散段之間通過兩根關(guān)于中心軸對稱分布的、彈簧剛度為K的彈簧阻尼器聯(lián)接，彈簧距中心軸的距離為a/2。梁的軸向彈性通過選擇適當?shù)睦瓑簞偠菿值確定，梁的彎曲剛度由彈簧距離a來確定。梁端部與粗糙表面的接觸效應(yīng)由1.2節(jié)中的局部接觸模型進行描述。該模型可以計算斜碰撞過程中的法向接觸力F3和切向摩擦力F1，以及刻畫黏滯-微滑動運動模式。

圖1(b)所示離散系統(tǒng)具有2n+1個自由度，用來描述其運動狀態(tài)的廣義坐標列向量可表示為

X=(x0,y0,u0,q1,u1,u2,…,qn-1,un-1)T

圖1　柔性梁斜向碰撞粗糙剛性地面Fig.1　Flexible beam oblique impact against rough rigid ground

式中x0和y0分別為接觸點在笛卡爾坐標系x-o-y中的位置坐標，ui(i=0,1，…，n-1)為第i+1個離散段與x軸的夾角。qi為第i+1個離散段離散截面圓心到第i個離散段離散截面的垂直距離。第i個離散段的質(zhì)心點的位置(xic,yic)可表示為

(1)

離散系統(tǒng)的總動能T為

(2)

式中Jc為每小段對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。由于梁碰撞引起的振動衰減發(fā)生在幾秒內(nèi)，而碰撞發(fā)生在幾百個微秒之內(nèi)，因此本文忽略梁內(nèi)部阻尼對碰撞瞬態(tài)響應(yīng)的影響[17]。系統(tǒng)總勢能V(取y=0處為勢能零點)為

(3)

作用于系統(tǒng)的廣義力向量Q由非保守力Q′(即接觸端的接觸力)和保守力向量Q″(即重力)疊加而成，系統(tǒng)的運動可由含有接觸力的第二類拉格朗日方程表示為

(4)

將公式(2)和(3)代入方程(4)，由符號運算軟件得到2n-1個方程組成的非線性動力學方程組

(5)

式中M為系統(tǒng)總體質(zhì)量陣，B為關(guān)于廣義位移、廣義速度和外力的列向量。下面運用胡克定律和歐拉伯努利方程估算離散段之間彈簧單元的剛度K和a。

(1)離散模型的軸向變形

假設(shè)梁在自身重力的單獨作用下，該梁垂直懸掛于空間中。此時均質(zhì)連續(xù)梁的質(zhì)心處產(chǎn)生的軸向靜位移δc為

(6)

同時，對于離散梁模型，該點的位移δd又可用梁上半部分的段間彈簧變形量計算得到

(7)

由δc=δd，可解得拉壓剛度K

(8)

(2)離散模型的彎曲變形

根據(jù)連續(xù)懸臂梁的彎曲理論，可獲得在重力單獨作用下懸臂梁質(zhì)心位置的轉(zhuǎn)角為

(9)

式中Iz為橫截面對z軸的慣性矩(對圓截面的梁有Iz=πd4/64)。由于是小變形問題，離散梁模型中第i段的力矩平衡方程為

(10)

式中φi為第i-1段與第i段之間的相對轉(zhuǎn)角。方程(10)中的第1項是由重力引起的，第2項是第i+1段和第i段之間彈簧的作用力矩。此外，第i+1段的絕對轉(zhuǎn)角ui可寫成如下形式

(11)

將式(10)和(11)聯(lián)立，可獲得中心段的轉(zhuǎn)角為

(12)

由uc=ud，得到

(13)

式中a只與段數(shù)n和梁橫截面參數(shù)有關(guān)。

1.2局部接觸區(qū)的彈塑性彈簧-質(zhì)點系統(tǒng)

本文分別采用雙線性柔性單元和線性柔性單元描述接觸區(qū)的法向彈塑性變形效應(yīng)和切向變形效應(yīng)[14]，建立了如圖2所示局部接觸區(qū)的彈塑性彈簧-質(zhì)點系統(tǒng)。

圖2　平面含摩擦斜碰撞局部彈性接觸模型Fig.2　Hybrid analytical model for planar impact with friction

(14)

(15)

圖3　法向和切向柔性單元的力與變形量的關(guān)系Fig.3　Force-deflection relation for normal and tangential compliant elements

此運動過程中法向接觸力和切向接觸力滿足Coulomb摩擦定律

(16)

2　接觸狀態(tài)的判斷標準

斜碰撞問題除了會導(dǎo)致法向存在一個壓縮和恢復(fù)階段的切換，在切向還存在滑動和黏滯狀態(tài)的切換。在使用事件驅(qū)動法求解碰撞響應(yīng)時，需要判斷接觸所處的狀態(tài)。假設(shè)切向由黏滯切換為滑動的時刻為t01，從滑動切換為黏滯的時刻為t10。各狀態(tài)的判斷標準如下：

(1)初始狀態(tài)

在碰撞初始時刻(t=0)，法向接觸處于壓縮階段。切向初始黏滯的條件為

(17)

反之，一旦入射角大于μη2，則切向的初始狀態(tài)為滑動。

(2)壓縮或恢復(fù)階段

在碰撞的初始階段，接觸為壓縮階段。壓縮階段結(jié)束和恢復(fù)階段開始于tc時刻，此時法向相對速度消失，即滿足

(18)

(3)黏滯或滑動

(19)

相反地，如果系統(tǒng)之前處于滑動狀態(tài)，當質(zhì)點P和接觸點C′間的相對速度消失，變?yōu)榱銜r，此時記為t10時刻，系統(tǒng)開始由滑動狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轲顟B(tài)，即

(20)

(4) 碰撞結(jié)束

若在tf-ε時刻法向接觸力為正(即F3(tf-ε)>0)，在tf+ε時刻法向接觸力為正(即F3(tf+ε)<0)，其中ε是一個正數(shù)小量，則認為碰撞結(jié)束的時刻為tf，法向接觸力將會消失為零，即

(21)

3　算　例

若無特殊說明，算例的系統(tǒng)參數(shù)為：柔性梁的長度為1 m，圓形橫截面面積為10-4m2，梁的接觸端部為半圓頭，材料為鋼(即楊氏模量為210 GPa，質(zhì)量密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3)。梁的法向初始平動速度y0=-1 m/s，切向初始平動速度為x0=3.5 m/s。梁初始時刻與剛性平面接觸，無相對轉(zhuǎn)動。梁的軸線與x軸正向夾角為3π/4，即u0=3π/4。

Johnson[16]認為在法向作用力P的準靜態(tài)作用下接觸圓面的半徑a可表示為(3PR/(4E*))1/3，其中E*和R可以由下式計算得到：

(22a)

(22b)

式中νi，Ei和Ri分別為接觸物體i(i=1, 2)泊松比、彈性模量以及接觸端的半徑。接觸區(qū)法向剛度k的計算表達式為

(23)

3.1收斂性研究

首先研究了HAM模型的數(shù)值結(jié)果收斂性，獲得結(jié)構(gòu)的合理離散密度。假設(shè)恢復(fù)系數(shù)e*=1，摩擦系數(shù)為μ=2/3，獲得的法向最大壓下量值的收斂曲線如圖4所示。結(jié)果表明，當n=44，接觸點最大法向壓下量已經(jīng)趨于穩(wěn)定值，故本文后面計算中在柔性梁長度不變的情況下，離散段數(shù)均取n=50進行數(shù)值計算。

圖4　不同離散密度下計算得到的法向最大壓下量Fig.4　The maximum normal penetration under different discretized segments

3.2結(jié)果驗證

(1)實際實驗對比

為驗證本文模型的計算精度，本節(jié)依照表1給出的2組實驗初始條件(摩擦系數(shù)為μ=0.075，恢復(fù)系數(shù)e*=1)采用本文方法進行數(shù)值計算，并將本文結(jié)果與實驗結(jié)果[18]進行對比。

表1　兩組實驗的初始條件

Tab.1　Initial conditions of two groups of experiment

實驗L/mV(0)/(m·s-1)ω(0)/(rad·s-1)1組0.1-1.8861.0322組0.2-1.710.208

由于實驗給出的初始條件滿足初始黏滯條件(17)，所以接觸點的初始運動狀態(tài)為黏滯壓縮。圖5為分離時刻桿端的接觸點切向速度混合模型解和實驗數(shù)據(jù)。通過比較表明，數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合。二者之間誤差產(chǎn)生的主要原因可能是HAM模型是一維梁且在平面內(nèi)運動，而實驗則是一個真實三維梁以一個初始角度自由落體運動。且與靜力學實驗相比，接觸動力學實驗結(jié)果數(shù)據(jù)本身離散性也較大。此外，經(jīng)計算除了當u0(0)=π/2時，接觸點運動模式為黏滯壓縮-滑動壓縮，其余角度值下接觸點的運動模式均為黏滯壓縮-滑動壓縮-滑動恢復(fù)。

圖5　接觸端接觸結(jié)束時切向速度Fig.5　Tangential velocity of the contact point at the end of contact

(2)數(shù)值實驗對比

由于真實的實驗環(huán)境能夠獲得的實驗數(shù)據(jù)有限，為進一步地驗證本文混合分析模型的精度，將本文模型的結(jié)果與非線性商業(yè)有限元的仿真結(jié)果進行對比。在商業(yè)有限元Ls-Dyna模擬中，本著疏密有致的離散原則，為了滿足非線性迭代接觸算法以及更好地捕捉接觸響應(yīng)，對接觸區(qū)實施了網(wǎng)格細化(如圖6所示)，顯然這樣會增加自由度，降低計算效率。

圖6　梁與剛性平面彈性碰撞的有限元離散模型Fig.6　Finite element model for bar oblique impacts on rigid half-space

圖7是不同摩擦系數(shù)μ下的法向和切向接觸力時程曲線。計算結(jié)果表明，本文的方法與FEM方法獲得的接觸力響應(yīng)所得的峰值、接觸時間以及曲線的變化形式吻合較好，接觸力峰值誤差僅為12%。二者之間誤差產(chǎn)生的原因主要是FEM模型是一個三維梁模型，由于泊松效應(yīng)梁會產(chǎn)生橫向變形，同時桿件也容易產(chǎn)生橫向運動。從圖7～9可以看出，當μ=2/3時，系統(tǒng)的運動模式依次為滑動壓縮-滑動恢復(fù)-分離，切向沒有經(jīng)歷黏滯運動；當摩擦系數(shù)變大，即當μ=5/3和μ=8/3時，系統(tǒng)的運動情況由滑動壓縮-黏滯壓縮-黏滯恢復(fù)-反向滑動恢復(fù)-分離構(gòu)成，在接觸面切向經(jīng)歷了滑動-黏滯-反向滑動的3個運動狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。當μ=5/3和μ=8/3時(此摩擦系數(shù)恰好處于剛體斜碰撞模型中的經(jīng)典painlevé悖論區(qū)[14])，法向接觸力響應(yīng)和切向接觸力響應(yīng)的峰值幾乎相等，即當摩擦系數(shù)超過5/3時，接觸力的峰值保持不變。這與完全剛體模型的摩擦顯著不同，造成這個現(xiàn)象的原因正是由于考慮了切向接觸柔度和存在切向黏滯運動。分析還發(fā)現(xiàn)純滑動時接觸力的峰值明顯小于具有黏滯狀態(tài)的接觸力的峰值。

圖7　切向和法向接觸力(-V1(0)/V3(0)=3.5，u0=3π/4，η2=1.21, e*=1)Fig.7　Normal and tangential components of contact force during oblique impact of a beam against a rough half-space (-V1(0)/V3(0)=3.5，u0=3π/4，η2=1.21, e*=1)

圖8和9分別為不同摩擦系數(shù)μ下接觸點的法向和切向相對速度響應(yīng)。圖中的商業(yè)有限元解選擇接觸區(qū)中心的單元的速度。當摩擦系數(shù)相同時，二者的曲線基本一致，誤差較小(例如，接觸時間誤差僅為5.6%)，說明本文給出的混合分析模型是合理有效的。分析圖8發(fā)現(xiàn)，摩擦系數(shù)對分離時刻接觸點的法向速度有著重要影響。摩擦系數(shù)越大，接觸點的法向速度的最小值越小。分析還發(fā)現(xiàn)，無論摩擦系數(shù)多大，接觸點C的法向速度的響應(yīng)曲線在接觸發(fā)生不久總存在震蕩現(xiàn)象。當μ=5/3和μ=8/3時，接觸點的法向速度在初始階段減小，即法向加速度在接觸開始的一段時間內(nèi)出現(xiàn)負值，使得法向速度出現(xiàn)負向增加，導(dǎo)致系統(tǒng)的切向摩擦力變大，若采用完全剛性體模型進行分析，此時會出現(xiàn)經(jīng)典的Painlevé悖論現(xiàn)象。分析圖9發(fā)現(xiàn)，當μ=2/3時，C點切向速度增加，始終大于初始速度。但當μ=5/3和μ=8/3時，C點切向速度隨時間的推移發(fā)生降低，然后反向滑動增加。

圖8　接觸點C和C′法向無量綱相對速度(-V1(0)/V3(0)=3.5, u0=3π/4,η2=1.21,e*=1)Fig.8　Normal relative non-dimensional velocity between C and C′ (-V1(0)/V3(0)=3.5, u0=3π/4, η2=1.21, e*=1)

圖9　接觸點C和C′的切向無量綱相對速度(-V1(0)/V3(0)=3.5,u0=3π/4,η2=1.21,e*=1)Fig.9　Tangential relative non-dimensional velocity between C and C′ (-V1(0)/V3(0)=3.5, u0=3π/4, η2=1.21, e*=1)

4　結(jié)　論

本文提出采用混合分析模型研究柔性梁摩擦斜碰撞問題，利用事件驅(qū)動法深入研究了整個接觸過程中的切向黏滑狀態(tài)和法向壓縮恢復(fù)階段的反復(fù)切換。將HAM模型的計算結(jié)果與實驗結(jié)果以及商業(yè)有限元方法進行了對比，研究得到了以下主要結(jié)論：

(1) 本文混合模型解與實驗數(shù)據(jù)吻合較好，驗證了該模型具有較好的收斂性和較高的精度。由于考慮了接觸區(qū)切向柔度，該模型具備了分析一系列切向黏-(反向)滑運動模式的能力。

(2) 研究表明：結(jié)構(gòu)的整體柔度和接觸區(qū)的切向接觸柔度會對接觸力響應(yīng)和接觸點的切向黏滑運動模式帶來較大的影響。

(3) 由于引入了能量恢復(fù)系數(shù)，因此混合模型可考慮接觸區(qū)彈塑性變形導(dǎo)致的碰撞能量的損失。

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Research on rigid body-spring-particle hybrid model for flexible beam under oblique impact with friction

SHENYu-nian,GUJin-hong

(Department of Mechanics and Engineering Science, Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China)

In order to quickly and accurately estimate the complex transient behavior of oblique collision with friction, a hybrid analysis model (HAM) is presented in this paper. This model takes account of the normal contact compliance, the tangential contact compliance of the local contact zone and the global compliance of the beam altogether. Based on the finite segment theory, the displacement field of the non-contact zone of the beam is discretized into a spring-damper-rigid body system. The bilinear process of normal compression-restitution deformation and the tangential deformation process of the local contact zone are described by an elastic-plastic spring-particle system with energy coefficient of restitution. The dynamic equations of the HAM which are piecewisely continuous under different contact states are derived. According to the switching criterion between compression and restitution as well as stick and slip, numerical examples are solved by the event-driven method. Through comparison of the results with the experimental data and those obtained by the commercial finite element software, it is shown that the hybrid model can accurately estimate the time history of contact forces and describe the repeatedly transition between stick and slip motion, which validate the applicablity of HAM.

nonlinear vibration; oblique impact; tangential compliance; frictional contact; stick-slip motion

2014-04-25；

2015-09-21

國家自然科學基金資助項目(11302107，11572157，11372138)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20123219120042)

O322; O313.4

A

1004-4523(2016)01-0001-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.01.001

沈煜年(1982—),男,副教授。電話:(025)84315590; E-mail:shenyunian@aliyun.com