◇　浙江　成金德

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整合知識要點研討解題方法
———淺談“運動的合成與分解”專題復習

◇浙江成金德

運動的合成與分解是曲線運動中的重點內容,典型的曲線運動(如平拋運動、斜拋運動、電場中的類平拋運動及在恒力作用下的勻變速曲線運動等)都可以通過運動的合成與分解得到有效解決．因此,如何正確理解和熟練把握運動的合成與分解的相關知識至關重要,本文就運動的合成與分解的知識和解題方法總結為5點,供大家參考．

1　1項法則

已知分運動求合運動的過程叫作運動的合成．已知合運動求分運動的過程叫作運動的分解．運動的合成與分解既是一個實際問題,也是一種思維方法．對于一個較為復雜的實際運動,可以看成是由幾個典型的運動合成的,通過對典型分運動的研究和處理,得到復雜運動所需的結果．幾個分運動的合成,結果是唯一的;合運動分解為幾個分運動,結果不唯一．在具體分解中,往往按實際效果分解．

描述運動的物理量如位移、速度、加速度都是矢量,在進行運動的合成與分解時,都應遵循矢量運算法則,即運動的合成與分解法則.如果分運動都在同一條直線上,需選取正方向.與正方向相同的物理量取正,相反的物理量取負.矢量運算簡化為代數運算，如果分運動互成角度,運動合成遵循平行四邊形定則．

在速度的合成中,若存在相對運動的情形,則應利用經典的速度合成定理:動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和．數學表達式為v絕對=v牽連+v相對．其中動點相對于靜系的運動是絕對運動,動系相對于靜系的運動是牽連運動,動點相對于動系的運動是相對運動．

2　2種模型

2.1渡河模型

圖1

如圖1所示,設河寬為d,水流速度為v水,船相對于靜水的速度為v船,v水與v船間的夾角為θ，則船可以分解為2個分運動：沿水流方向的分運動，速度為v∥=v水+v船cosθ的勻速直線運動；垂直河岸方向的分運動，速度為v⊥=v船sinθ的勻速直線運動．渡河時間取決于v船的大小和方向．

1) 渡河時間最短．當v船垂直于河岸時,如圖2所示,渡河時間最短,渡河時間為t=d/v船．

2) 渡河位移最小．當v船>v水時,船垂直渡河(合速度垂直于河岸)時位移最小,如圖3所示,位移的大小等于河寬d．當v船

圖2　　　　　　圖3　　　　　　　圖4

2.2牽連模型

通過繩子或者通過輕桿連接的物體系統,稱為牽連模型．如圖5為繩子牽連模型,圖6為輕桿牽連模型．

圖5　　　　　　　　　　　圖6

對于牽連模型,應抓住2個分運動:

繩牽連模型: 1) 沿繩方向的伸長或收縮運動，且沿繩方向分速度大小相等；2) 垂直繩方向的旋轉運動.

桿牽連模型: 1) 沿桿方向的運動，且沿桿方向的分速度大小相等； 2) 垂直于桿方向的旋轉運動．

3　3條思路

在解決運動的合成與分解問題中,通常有3種解題方法．

3.1分解法

運動的合成與分解的一個基本原則就是按實際效果來進行分解．所以,在分解速度時,先確定物體實際運動的方向,這個方向就是合速度的方向,然后分析這個合速度所產生的實際效果,再確定2個分速度的方向．

分析在小船的運動過程中,沿水平方向的實際運動就是合運動,如圖8所示,這個合運動可分解為:

圖7　　　　　　　　　圖8

分運動1:沿著繩子方向的分運動,此分運動使繩子收縮,其速度大小為v1=v船cosθ;

分運動2:垂直于繩子方向的分運動,此分運動使繩子繞滑輪轉動,其速度大小為v2=v船sinθ.

由繩牽連模型的特點可知,沿繩子方向的分速度v1與繩子實際運動速度大小相等,即v1=v船cosθ=v,所以小船運動的瞬時速度為v船=v/cosθ．

3.2微元法

“微元法”是指在物體運動的過程中,選取一微小時間t,在此時間內,運動物體發(fā)生一段微小位移,然后利用數學極限思想,對運動進行分析的方法．

3.3能量法

能量守恒定律是自然界的一個普遍規(guī)律．應用能量守恒定律解決運動的合成與分解問題有時會十分湊效．現用能量守恒定律解答例1.

4　4個特性

運動的合成與分解具有4個特性,在解決相關問題時要注意靈活應用．

4.1獨立性

一個物體可以同時參與幾個不同的分運動,各個分運動獨立進行,互不影響．因此,在研究某個分運動時,可以將其他分運動隔離開來,就好像沒有這些分運動一樣,使研究的問題得到簡化．

4.2同時性

合運動與分運動同時開始、同時進行、同時結束．合運動進行的時間和相應的各個分運動進行的時間相等．因此,只要知道某個分運動的時間,就知道了合運動或其他分運動的時間．

4.3等效性

合運動是由各個分運動共同產生的總運動效果,合運動與各個分運動總的運動效果可以等效替代．

4.4矢量性

加速度、速度、位移都是矢量,在進行合成和分解時,遵循平行四邊形定則．

5　5類題型

在學習和復習運動的合成與分解時,必須掌握以下5類典型問題的解題方法和技巧．

5.1渡河類

求解渡河類問題時,關鍵是弄清小船的2個分運動:沿河岸方向的運動，此方向的運動是由小船沿河岸方向的分運動與水流的運動的合成,這個分運動由小船和水流共同決定;垂直于河岸方向的運動，此方向的運動由小船單獨決定,與水流運動無關．

圖10

A2船在靜水中的劃行速率不同;

B甲船渡河路程可能比乙船渡河路程小;

C2船同時到達D點;

D河水流速為dtanθ/t

5.2牽連類

求解牽連類問題時,應著重把握2點: 1) 沿著繩子(或輕桿)方向的分速度大小相等; 2) 物體的合運動往往可以分解為沿繩子(或輕桿)方向的分速度和垂直于繩子(或輕桿)方向的分速度．

圖11　　　　　　　　　　　圖12

分析對物體A,沿水平方向的實際速度vA即為合速度,vA可分解為沿著繩子方向的分速度vA1和垂直于繩子方向的分速度vA2,如圖12，則vA1=vAcos 30°.

對物體B,沿水平方向的實際速度vB即為合速度,vB可分解為沿著繩子方向的分速度vB1和垂直于繩子方向的分速度vB2,如圖12,則vB1=vBcos 60°.

由繩牽連模型的特點可知,沿著繩子方向的分速度大小必相等,即vA1=vB1.

圖13　　　　　　　　　　　圖14

對小球B,沿水平方向的實際速度vB即為合速度,vB可以分解為沿著輕桿方向的分速度vB1和垂直于輕桿方向的分速度vB2,如圖14,則vB1=vBsin 60°.

5.3光點(或影子)移動類

求解光點(或影子)移動類問題時,應把握光點(或影子)移動的速度,此即為合速度,它可以分解為沿著光線方向的分速度和垂直于光線方向的分速度．

圖15　　　　　　　　　　圖16

5.4有相對運動的速度合成類

在速度合成和分解中,若出現相對運動時,應選擇經典速度合成定理求解．求解時務必弄清3個速度:絕對速度、相對速度和牽連速度．再通過速度矢量的幾何關系建立方程．

分析本題的動點是風,動系是人,靜系是地．絕對速度指風對地的速度v風對地,牽連速度指人對地的速度v人對地,相對速度指風對人的速度v風對人．

當自行車向正東以v人對地=5 km·h-1的速度行駛時,人感覺風從正北方向吹來,根據經典速度合成定理,有v風對地=v人對地+v風對人,如圖17所示．

圖17　　　　　　　　　圖18

由圖17可知

5.5恒力作用下的曲線運動類

在研究一些復雜的運動時,一般先分解為2個簡單的分運動,通過研究這2個簡單的分運動,再利用運動合成的方法,得到合運動的規(guī)律．這種方法尤其適用于對恒力作用下的物體的運動情況．

分析小球的運動可分為3個過程:第1過程小球做勻加速直線運動;第2過程小球做“類平拋運動”;第3過程小球做勻減速直線運動．

在第1過程中,小球受電場力作用,根據牛頓第二定律得小球的加速度為a=QE/m=0.20 m·s-2．

經過1 s小球沿x軸方向的速度大小vx=at=0.20 m·s-1,速度的方向沿x軸正方向．

經過1 s小球沿x軸方向運動的位移

x1=at2m/2=0.10 m.

在第2過程中,電場方向沿y軸正方向,小球做類平拋運動．可分解為沿x軸方向、速度為vx的勻速運動和沿y軸方向、初速度為0的勻加速運動．

在第2秒內,小球沿x方向運動的位移

x2=vxt=0.20 m.

在第2秒內,小球沿y方向運動的位移

y2=at2/2=0.10 m.

在第2秒末,小球在x方向的分速度仍為vx,在y方向的分速度vy=at=0.20 m·s-1.

由此可知,此時小球的運動方向與x軸成45°角．要使小球速度變?yōu)?,則在第3秒內所加勻強電場的方向必須與此運動方向相反,即指向第三象限,與x軸成135°角．

在第3過程中,設小球在電場作用下,小球加速度的x分量和y分量分別為ax、ay,由速度公式得

在第3秒內小球在x方向運動的位移

在第3秒內小球在y方向運動的位移

所以小球在第3秒末到達的位置坐標(x,y)為

x=x1+x2+x3=0.40 m,y=y2+y3=0.20 m.

總之,在求解運動的合成與分解問題時,關鍵是弄清哪個是合運動,這個合運動產生哪幾個效果,可以分解為哪幾個分運動,再作出速度分解示意圖,根據幾何關系求出結果．

浙江省義烏市第二中學)