淡靜怡,　薛　紅

(西安工程大學 理學院，陜西 西安　710048)

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雙分數(shù)跳-擴散過程下籃子期權定價

淡靜怡,薛紅

(西安工程大學 理學院，陜西 西安710048)

期權定價是金融數(shù)學的核心問題之一,金融資產(chǎn)價格的變化過程是期權定價理論的基礎。傳統(tǒng)的期權定價模型是假定資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動,而雙分數(shù)布朗運動是一種更為一般的高斯過程,并且增量不具有平穩(wěn)性,可以描述更多的隨機現(xiàn)象。文章采用雙分數(shù)布朗運動描述資產(chǎn)價格變化過程比傳統(tǒng)模型更具優(yōu)越性,假定股票價格服從雙分數(shù)跳-擴散過程,借助雙分數(shù)布朗運動和跳-擴散過程隨機分析理論,利用保險精算方法研究籃子期權定價問題,得到雙分數(shù)跳-擴散環(huán)境下歐式幾何籃子期權定價公式。研究結果對籃子期權定價模型進行了推廣,使之更適用于實際的金融市場。

雙分數(shù)布朗運動;跳-擴散過程;保險精算方法;幾何籃子期權

0　引　　言

期權定價問題是金融數(shù)學的核心問題之一,隨著金融市場的不斷發(fā)展,近年來市場上出現(xiàn)了許多新型期權, 籃子期權就是新型期權的一種。 籃子期權是一種多資產(chǎn)期權, 其收益是由多個標的資產(chǎn)的加權平均價格決定的, 歐式籃子期權的加權平均價格可分為幾何平均和算數(shù)平均, 本文主要討論歐式幾何平均籃子期權定價問題。文獻[1]利用風險中性方法給出了布朗運動環(huán)境下歐式幾何籃子期權定價公式;文獻[2]利用偏微分方程方法, 得到了布朗運動環(huán)境下歐式幾何籃子期權定價公式;文獻[3]利用保險精算法討論了分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式籃子期權定價公式。在實際金融市場中股票價格可能會出現(xiàn)“跳躍”，文獻[4]在跳-擴散模型下,利用條件期望和矩法得到籃子期權的價格;文獻[5]利用風險中性定價原理得到了跳-擴散過程下的籃子期權定價;文獻[6]首次提出了雙分數(shù)布朗運動這一概念, 它是一種比分數(shù)布朗運動更一般的自相似高斯過程,經(jīng)過長期的研究與實證對比發(fā)現(xiàn),用雙分數(shù)布朗運動驅動的隨機微分方程來刻畫資產(chǎn)的價格變化更加符合實際的需求, 關于雙分數(shù)布朗運動在金融市場中的應用可參見文獻[7-8]。目前關于期權定價的方法很多, 如鞅方法、偏微分方程方法和保險精算方法等, 其中保險精算方法適用的范圍更加廣泛,它不僅適用于完備的、無套利的、均衡的金融市場,而且也適用于不完備的、有套利的、非均衡的金融市場,其主要思想是將期權定價問題轉化為公平保費問題, 關于保險精算方法在金融市場中的應用可參見文獻[9-11]。

目前國內(nèi)外對雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下的各種期權定價的研究還比較少, 本文在雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下,建立更貼合市場的金融數(shù)學模型,對跳-擴散過程下籃子期權定價公式進行了研究,使之能更好地應用到金融市場中去,并在此基礎上進行了相應的推廣。

1　數(shù)學模型

s,t≥0,

其中,H∈(0,1)；K∈(0,1]。

當K=1時,雙分數(shù)布朗運動退化為分數(shù)布朗運動,當K=1,H=1/2時,雙分數(shù)布朗運動退化為標準布朗運動。有關雙分數(shù)布朗運動的相關理論可參見文獻[6-8]。

假設股票價格{Si(t),t≥0}滿足微分方程：

(1)

引理1隨機微分方程(1)的解為:

(2)

假定在t1∈[0,t]時刻內(nèi)只發(fā)生1次跳躍,則在時刻[0,t1)內(nèi)有:

在(t1,t]時刻內(nèi)有:

(3)

由(1)式有:

當n→+∞時,可得:

即

將Si(t1)代入(3)式可得:

因此當跳躍的次數(shù)服從泊松過程時,可得:

從而引理1得證。

定義2過程{Si(t),t≥0}在區(qū)間[t，T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]定義[13]為:

引理2股票價格{Si(T),T≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]為:

(4)

證明因為

所以

又由{Uij,j=0,1,2,…}獨立同分布可知:

從而可知E[Si(T)]=Si(t)exp{μi(T-t)},所以有:

從而引理2得證。

在實際中,預期收益率μi是投資者認為會有的報酬率,期望回報率βi是實際回報的期望。如果存在紅利等其他因素時,期望回報率與預期收益率兩者是不相等的,而本文不涉及紅利等因素,因此為了表明兩者關系,本文提出引理2并給出了證明。

2　籃子期權定價公式

歐式幾何籃子看漲期權的損益函數(shù)[2]為:

(5)

其中,T為到期日;X為執(zhí)行價格;αi為第i個股票在幾何籃子期權中所占的比例,且

定義3歐式幾何看漲籃子期權在0時刻的保險精算價格定義為:

(6)

定理1歐式幾何看漲籃子期權在0時刻的保險精算價格為:

Cn=exp{d-rT+lnX}×

(7)

其中,Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)；

ki(i=1,2,…,n)表示第i個股票在區(qū)間[0,T]上跳躍的次數(shù)。

證明記

由引理1與引理2知A={η>-d},根據(jù)定義3可知:

(8)

由全期望公式可得:

(9)

其中,

因為ξ～N(a,b), 所以有:

(10)

由(9)式、(10)式可得:

(11)

因為

(12)

所以將(11)式和(12)式代入(8)式可得結果。

綜上所述，當n=1時,可得雙分數(shù)跳-擴散下歐式期權定價公式,具體參見文獻[8]；當λi=0時,可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下的籃子期權定價公式；特別地,當K=1時,可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下籃子期權定價公式,具體參見文獻[3]。

3　結　論

籃子期權由于它價格上的優(yōu)勢與其本身所具有的靈活性使人們對其需求越來越大,因此對籃子期權進行研究有很大的實際意義,而為了讓籃子期權能更好地應用于實際的金融市場,本文在傳統(tǒng)模型的基礎上,采用雙分數(shù)布朗運動去刻畫金融市場的資產(chǎn)價格,利用跳-擴散過程隨機分析理論與保險精算方法,討論雙分數(shù)跳-擴散過程下的幾何籃子期權定價問題,并對分數(shù)布朗運動環(huán)境下的籃子期權定價的相關結論進行了推廣,使其更具有實際意義。

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(責任編輯張镅)

Basket option pricing under bi-fractional jump-diffusion process

DAN Jingyi，XUE Hong

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Option pricing is one of the core problems of financial mathematics, and the price process of financial underlying asset is the basis of option pricing theory. In the traditional option pricing mode, it is assumed that asset price follows geometric Brownian motion, but the bi-fractional Brownian motion is a more general Gaussian process, and does not have stationary increments, which can describe more random phenomenon. Bi-fractional Brownian motion has more advantages than the traditional model in describing the asset price process. Assuming that stock price satisfies the bi-fractional jump-diffusion process, and using the stochastic analysis theory for bi-fractional Brownian motion and jump-diffusion process, the pricing problem for European geometric basket option is discussed by using the insurance actuary approach, and the pricing formula of European geometric basket option in bi-fractional jump-diffusion environment is obtained. The result of basket option pricing model is generalized, and it is more applicable to actual financial market.

bi-fractional Brownian motion; jump-diffusion process; insurance actuary approach; geometric basket option

2015-12-15；

2016-05-04

陜西省自然科學基金資助項目(2016JM1031);陜西省教育廳自然科學專項基金資助項目(14JK1299)

淡靜怡(1990-),女,陜西寶雞人,西安工程大學碩士生;

薛紅(1964-),男,山西萬榮人,博士,西安工程大學教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.07.027

F830;O211.6

A

1003-5060(2016)07-1004-05