胡江紅，趙天緒

(寶雞文理學院 數(shù)學與信息科學學院，陜西 寶雞　721013)

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ND樣本密度函數(shù)的小波估計

胡江紅，趙天緒

(寶雞文理學院 數(shù)學與信息科學學院，陜西 寶雞721013)

設(shè)X1,X2,…,Xn是同分布的負相依(ND)隨機樣本,且其密度函數(shù)f(x)未知,利用小波方法,構(gòu)造了f(x)的小波估計器,并給出該估計器在Besov空間上的Lp(1≤p<∞)風險上界。

負相依;小波估計器;密度函數(shù);Newman不等式

1993年,Bozorgnia, Patterson and Taylor[5]首先提出了負相依(ND)樣本的概念,此后很多學者對其性質(zhì)進行了研究。 比如,2012年,文獻[6]和文獻[7]就討論了ND序列下最近鄰密度估計的強相合性。由于ND隨機序列在可靠性理論、概率過程、隨機過程和多元統(tǒng)計等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,而且在大氣、地質(zhì)、海洋生物等領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用,所以研究ND樣本密度函數(shù)的小波估計具有重要的實際意義。本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上利用Newman不等式,構(gòu)造ND隨機樣本密度函數(shù)的線性小波估計器,并給出該估計器在Besov空間中的風險上界。

1　預備知識

首先,給出ND隨機樣本的定義

定義1[6]設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn(n≥2),如果對任意x1,x2,…,xn∈R,都有

P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn)≤

及

P(X1>x1,X2>x2,…,Xn>xn)≤

則稱隨機變量X1,X2,…,Xn是ND隨機樣本。

定義2[4]設(shè)1≤r,q≤∞且s=n+α,其中n∈N,α∈[0,1],定義R上的Besov空間

其中

進一步,定義Besov空間的范數(shù)為

此外,由文獻[8]知,當f∈Lr(R)(1≤r≤∞)時,f也有上述類似的小波展式。下面進一步給出Besov空間的小波刻畫,它也可以看成是Besov空間的等價定義。

定義3[4]設(shè)φ是t(t>s)階正則尺度函數(shù),ψ是相應(yīng)的小波函數(shù),若f∈Lr(R)(1≤r≤∞), 則下列結(jié)論等價:

并且下述關(guān)系成立

‖f‖srq～‖{2js‖Pjf-f‖r}j≥0‖q～

下面給出一個重要不等式Newman不等式[10]設(shè)X和Y是兩個ND隨機變量且方差有界,若函數(shù)h1和h2是可導的,則

|cov(h1(X),h2(Y))|≤

為了證明本文的主要結(jié)果,給出下述引理。

本文中假定密度函數(shù)

易知,f在VJ空間上的正交投影可以用函數(shù)φJ,k(x)展開,即

其中αJ,k=∫f(x)φJ,k(x)dx。因此,定義線性小波估計器:

(1)

其中K={k∈Z,suppf∩suppφj,k≠?},

(2)

2　主要結(jié)果

下面給出本文的主要定理并加以證明。

(3)

則

證 明由式(2)可知

∫φj,k(x)f(x)dx=αj,k。

所以

φj,k(Xl))。

(4)

又

var(φj,k(Xi))≤E[φj,k2(Xi)]=

(5)

且根據(jù)Newman不等式和式(3)有

(6)

證 明對于任意的1≤p<∞,顯然有

(7)

根據(jù)Besov空間中的逼近定理(文獻[9]定理9.4),有

(8)

(9)

(10)

則利用定理1可得

結(jié)合式(10)可推出

(11)

將式(7),(10)和(11)相結(jié)合,得到

即證明了當1≤p≤2時定理成立。

接下來,證明當2≤p<∞時,定理依然成立。

又因為選取的尺度函數(shù)φ有界,所以

(12)

另外

又利用定理1 可得

(13)

結(jié)合式(10)和(13)可推出

再結(jié)合式(7),(9)和(14)得到

所以當2≤p<∞時,定理成立。

綜上所述,對任意的1≤p<∞,定理2的結(jié)論成立。

[1]DOUKHANP,LEONJR.Deviationquadratiquedestimatesdedensiteparprojectionsorthogonales[J].CRAcadSciParisSerIMath，1990, 310(6):425-430.

[2]KERKYACHARIANG,PICARDD.Densityestimationinbesovspaces[J].StatistProbabLett，1992,13(1):15-24.

[3]CHESNEAUC,DEWANI,DOOSTIH.Waveletlineardensityestimationforassociatedstratifiedsize-biasedsample[J].JNonparametrStat, 2012, 24:429-445.

[4]許俊蓮. 基于偏差密度模型的小波估計[J]. 數(shù)學年刊,2015,36A(2):151-160.

[5]PATTERSONRF,TAYLORRL.LimittheoremsforNDr.v.s[R].UniversityofGeorgia, 1993.

[6]倪展,吳群英,施生塔.ND序列下最近鄰密度估計的強相合速度[J]. 山東大學學報(理學版),2012, 47(12):6-9.

[7]劉燕,吳群英.ND樣本最近鄰密度估計的一致強相合性[J]. 華僑大學學報(自然科學版),2012,33(5):590-593.

[8]DAUBECHIESI.TenLecturesonWavelets[M].Philadephia:SIAM, 1992.

[9]HARDLEW,KERKYACHARIANG,PICARDD,etal.Wavelets,ApproximationandStatisticalApplications[M].Berlin:Springer-Valag, 1998.

[10]NEWMANCM.NormalfluctuaionsandtheKFGinequalities[J].CpmmunMathPhys,1980, 74:119-128.

(編輯亢小玉)

Wavelet estimation for density function of negative dependent samples

HU Jiang-hong, ZHAO Tian-xu

(College of Mathematics and Information Science, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013， China)

Suppose thatX1,X2,…,Xnare negative dependent samples, with an unknown density functionf(x). In this paper, a linear estimator off(x) based on wavelets is constructed, and then its upper bounds onLp(1≤p<∞) risk in Besov space are provided.

negative dependent; wavelet estimator; density function; Newman inequality

2016-01-11

國家自然科學基金資助項目(61402015)；陜西省教育廳專項科研計劃基金資助項目(15JK1022)；寶雞市科技計劃基金資助項目(14GYGG-04-02，15RKX-1-5-8)；寶雞文理學院校級基金資助項目(YK1618)

胡江紅，女，陜西寶雞人，從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究。

趙天緒，男，陜西寶雞人，博士，教授，從事最優(yōu)化理論及分析研究。

O175.29

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-04-004