馮琴榮，王芬芬

(山西師范大學 數(shù)學與計算機科學學院， 山西 臨汾　041004)

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基于模糊軟集的群決策方法研究

馮琴榮，王芬芬

(山西師范大學 數(shù)學與計算機科學學院， 山西 臨汾041004)

針對基于模糊軟集的群決策問題,將模糊軟集相似度度量的概念引入到專家權(quán)重未知的群決策問題中來,分析了單個專家模糊軟集與標準模糊軟集之間的關(guān)系及單個專家模糊軟集與其他專家模糊軟集之間的關(guān)系,進而提出了一種構(gòu)造專家權(quán)重的方法。最后利用模糊軟矩陣和專家權(quán)重設(shè)計了一個基于模糊軟集的群決策算法,實例表明該算法是合理的。

模糊軟集;相似度度量;群決策

實際應用中采集的數(shù)據(jù)大都是不確定的、不精確的和模糊的,為了能從這些數(shù)據(jù)中提取出隱含的有用信息,學者們已提出了一些數(shù)學理論和工具。如:模糊數(shù)學[1]、區(qū)間數(shù)學[2]、概率論等,但是這些理論都有其不完善的一面。如模糊集理論在處理不確定性問題時需要提供隸屬函數(shù);概率論在處理不確定問題時需要提供先驗概率;區(qū)間數(shù)學只是為問題的精確解建立一個區(qū)間估計,在大多數(shù)情況下區(qū)間數(shù)是非常有用的,但是它不能有效地處理不確定性問題。

針對上述理論存在的不足,1999年D.Molodstov 提出了軟集理論[3]。 在軟集基礎(chǔ)上,Maji[4]提出了模糊軟集的概念。目前，模糊軟集已被廣泛應用于各個領(lǐng)域,如經(jīng)濟學、工程學以及環(huán)境科學等。近年來對模糊軟集的研究,無論是理論方面還是應用方面都已取得了很大的進展,特別是它在決策方面的應用已被大家廣泛關(guān)注。Maji等人[5]運用傳統(tǒng)的對象求行和的方法獲得最優(yōu)決策,這種方法在模糊軟集下就不適用了。因此Feng等人[6]提出了水平軟集的概念,將模糊軟集轉(zhuǎn)化為軟集從而進行決策。Guan等人[7]研究了模糊軟集的軟信息序關(guān)系,并給出了基于模糊軟集的決策算法。

群決策的研究始于1781年。決策者為了提高決策的準確性和科學性,由多個專家對同一個問題共同進行決策。目前基于模糊軟集的群決策問題受到了大家的關(guān)注。何其慧等人[8]利用集成算子和可能度矩陣等工具研究了基于模糊軟集的群決策問題。Feng[9]利用軟粗糙集的上下近似研究了基于模糊軟集的群決策問題。Lan等人[10]利用α水平截集和模糊軟集的相似度研究了基于模糊軟集的群決策問題。然而在基于模糊軟集的群決策問題中,決策者一般是在專家權(quán)重給定的情況下對方案進行排序的,結(jié)果具有一定的主觀性。為了能更客觀地獲取最佳決策對象,我們根據(jù)給定的數(shù)據(jù)來確定每個專家的權(quán)重。毛軍軍等人[11]是從連續(xù)和離散時間建立基于指數(shù)衰減模型的權(quán)重確定公式,利用集成思想將時序模糊軟集集成為綜合模糊軟集,最后得到最優(yōu)決策。錢慶慶等人[12]根據(jù)時間權(quán)重符合對數(shù)增長模型得到權(quán)重確定公式。

本文將模糊軟集的相似度度量引入到專家權(quán)重未知的群決策問題中來,分析了單個專家的模糊軟集與標準模糊軟集的關(guān)系，及單個專家的模糊軟集與其他專家的模糊軟集間的關(guān)系,進而提出了一種構(gòu)造專家權(quán)重的方法。最后利用模糊軟矩陣和專家權(quán)重設(shè)計了一個基于模糊軟集的群決策算法。

1　預備知識

本節(jié)我們將簡要回顧模糊軟集的基本知識。

定義1[3]設(shè)U是非空有限論域,E是參數(shù)集，P(U)為論域U的冪集，A?E，稱有序?qū)?F,A)為論域U上的軟集,這里F:A→P(U)。

U上的軟集可以看成是由論域U的子集構(gòu)成的參數(shù)族。因此,對于每一個e∈A,F(e)可以看作軟集(F,A)的e-近似集。

2　基于相似度確定專家權(quán)重的方法

在解決群決策問題時,一般文獻都是在專家權(quán)重給定的條件下做決策。為了能更客觀地獲取最佳決策對象,我們提出了一種確定專家權(quán)重的方法。下面給出模糊軟集間相似度的定義,通過使用模糊軟集間的相似度來構(gòu)造專家的權(quán)重。

其中

第k個專家的模糊軟集與標準模糊軟集之間的相似度越大,則該專家所占的權(quán)重比例就應越大;反之則較小,接下來給出專家權(quán)重的定義。

定義8在只考慮單個專家模糊軟集與標準模糊軟集之間的相似度情形下,第k個專家的權(quán)重定義為:

在決定專家的權(quán)重時,除了考慮單個專家的模糊軟集與標準模糊軟集之間的相似度外,還應該考慮單個專家模糊軟集和其他專家模糊軟集間的相似度。接下來我們就給出單個專家模糊軟集和其他專家模糊軟集之間的相似度,并進一步求專家的權(quán)重。

k=1,2,…,K。

如果單個專家的模糊軟集與其他專家模糊軟集之間的相似度越大，專家所占的權(quán)重比例就應越大;反之則較小。

定義10在只考慮單個專家模糊軟集與其他專家模糊軟集間的相似度情形下,第k個專家的權(quán)重定義為

定義11整合后第k個專家的標準權(quán)重λk定義如下:

其中α∈[0,1],α可以由決策者指定。

注在文獻[14]中，Liang等人的方法僅從單個專家模糊軟集和其他專家模糊軟集之間的相似度來考慮。本文不僅考慮了單個專家模糊軟集和其他專家模糊軟集之間的相似度,而且也考慮了單個專家模糊軟集與標準模糊軟集之間的相似度。

定義12[15]模糊軟集中的每個對象和參考對象的評分指標定義如下:

3　模糊軟集在群決策中的應用

在大多數(shù)文獻中,專家權(quán)重是由決策者直接給出或者假定各專家權(quán)重是相等的,有少數(shù)文獻中給出了確定專家權(quán)重的方法。如文獻[11-12]研究了時序模糊軟集環(huán)境下的群決策問題,考慮不同時刻模糊軟集數(shù)據(jù)對最終決策的影響不同,從時間上建立了指數(shù)衰減模型的權(quán)重確定公式。在本文中,我們通過使用模糊軟集的相似度來構(gòu)造多個專家的權(quán)重,求出來的專家權(quán)重在研究基于模糊軟集的群決策問題時顯得更加合理和精確。然后利用加權(quán)算術(shù)平均算子將多個專家的模糊軟矩陣和標準權(quán)重集成為綜合模糊軟矩陣,最后利用評分指標對綜合模糊軟矩陣進行了排序。

按照上面的分析,給出了如下基于模糊軟集的群決策算法。

算法:基于模糊軟集的群決策算法。

輸出:所有對象之間的一個序關(guān)系。

第2步:決策者給出參數(shù)集中各參數(shù)的權(quán)重。

第7步:按如下方式構(gòu)造綜合模糊軟集的參考對象,

第8步:利用以下公式計算綜合模糊軟集中的每個對象和參考對象的評分指標,

其中wj為第j個參數(shù)的權(quán)重。

第9步:按照評分指標降序?qū)C合模糊軟集中對象進行排序。評分指標最大者即為最優(yōu)的決策對象。

為了說明基于模糊軟集的群決策方法的有效性,下面我們通過一個例子來說明。

例1[8]假設(shè)某個公司中有一個崗位需要招聘一名職員,現(xiàn)有5個候選人{xi:i=1,2,…，5}競選這個崗位。通過職業(yè)的分析得到4個決策因素:良好的態(tài)度(e1),性格開朗(e2)，良好的英語(e3)，良好的溝通技巧(e4),為了公平選擇，公司決定由4位專家分別對這5位候選人打分，其打分結(jié)果如下:

專家1

專家2

專家3

專家4

第1步:輸入4位專家為5位候選人打分的模糊軟集數(shù)據(jù)表如上。

第2步:假設(shè)決策者給每個參數(shù)的權(quán)重為:w1=0.2,w2=0.2,w3=0.35和w4=0.25。

根據(jù)定義7和定義8求得的專家權(quán)重為:

λ1=(0.246,0.259,0.249,0.246)，

根據(jù)定義9和定義10求得專家權(quán)重為:

λ2=(0.243,0.253,0.256,0.248)。

表1　標準模糊軟集

第4步:假設(shè) α=0.5,利用定義11整合專家的兩種權(quán)重λ1和λ2,求得的專家的標準權(quán)重λ為:

λ=(0.245,0.256,0.252,0.247)。

表2　綜合模糊軟集

第7步:由第6步可知, 綜合模糊軟集的參考對象為

第8步:通過

計算綜合模糊軟集中每個對象和參考對象的評分指標, 結(jié)果如表3所示。

表3　評分指數(shù)

第9步:按照評分指標降序?qū)C合模糊軟集中對象進行排序,結(jié)果為: x4>x2>x5>x3>x1,因此對象x4為最優(yōu)決策對象。

4　結(jié)　論

本文將模糊軟集的相似度引入到專家權(quán)重未知的群決策問題中來, 分析了單個專家的模糊軟集與標準模糊軟集的關(guān)系及單個專家的模糊軟集與其他專家的模糊軟集間的關(guān)系,進而提出了一種構(gòu)造專家權(quán)重的方法。最后利用模糊軟矩陣和專家權(quán)重設(shè)計了一個基于模糊軟集的群決策算法。實例表明該算法是合理的。

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(編輯亢小玉)

Research on group decision making based on fuzzy soft set

FENG Qin-rong, WANG Fen-fen

(School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041004， China)

The aim of this paper is to focus on the problem of group decision making based on fuzzy soft sets. Firstly, the concept of similarity measure for fuzzy soft sets is introduced to solve the problem of group decision making under the condition of expert weight unknown. Secondly, the relationship between the single expert fuzzy soft set and standard fuzzy soft set as well as the relationship between the single expert fuzzy soft set and the other expert fuzzy soft set are analyzed, and a method of constructing expert weight is proposed. Finally, the group decision making algorithm is presented using fuzzy soft matrix and the expert weight, an example is provided to show that the algorithm is reasonable.

fuzzy soft set; similarity measure; group decision making

2015-12-04

山西省自然科學基金資助項目(2012011011-1)

馮琴榮，女，山西運城人，山西師范大學副教授，博士，從事粗糙集、軟集方面的研究。

O29,N94

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-04-002