宋莉莉　楊　帆　潘國(guó)峰

(河北工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院　天津 300401)

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Arnold變換與Gray碼變換相融合的雙置亂算法研究

宋莉莉楊帆潘國(guó)峰

(河北工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院天津 300401)

Arnold置亂由于其簡(jiǎn)單易懂被應(yīng)用到數(shù)字水印、安全防偽、軍事機(jī)密等各個(gè)領(lǐng)域，并得到了很好的效果。Gray碼變換由于其在彩色空間和位置空間都能靈活運(yùn)用等特點(diǎn)在信息安全中也得到了很好實(shí)際應(yīng)用。但是，由于兩種算法相對(duì)簡(jiǎn)單，很容易被入侵者破解，為了提高信息的加密程度和抗攻擊性，提出一種Arnold與Gray碼變換相融合的雙置亂算法，使得加密信息在位置空間和灰度空間上都得到很好的隱藏。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能很好地應(yīng)用在圖像處理方面，為信息隱蔽技術(shù)的預(yù)處理工作提供更好的保證。

Arnold變換Gray碼變換圖像置亂信息隱蔽

0　引　言

伴隨著互聯(lián)網(wǎng)的逐漸普及，多媒體技術(shù)、信息存儲(chǔ)技術(shù)的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的數(shù)字圖像信息在網(wǎng)絡(luò)上傳輸，并且成為了人們?nèi)粘Ｉ钪蝎@取資源信息的主要途徑之一，由此帶來(lái)的信息安全問(wèn)題也受到廣泛關(guān)注。面對(duì)越來(lái)越多的數(shù)字產(chǎn)品的版權(quán)和數(shù)據(jù)安全得不到穩(wěn)定的保護(hù)等現(xiàn)代問(wèn)題，也因此成為一項(xiàng)備受關(guān)注的熱點(diǎn)話(huà)題和亟待解決的問(wèn)題。因此對(duì)網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)拇罅繑?shù)字圖像信息如何進(jìn)行可靠的加密處理，受到眾多學(xué)者的關(guān)注，是網(wǎng)絡(luò)信息時(shí)代一個(gè)值得深入研究和探索的課題[1-4]。

圖像傳輸?shù)冗^(guò)程中，為了安全保密，經(jīng)常對(duì)圖像進(jìn)行編碼然后解碼，編碼的目的是防止信息泄露，這就是圖像加密。圖像加密的方法很多都可以從圖像變換方法中找到[5]。

圖像置亂是通過(guò)相關(guān)的變換公式進(jìn)行編碼，從空域改變圖像內(nèi)部信息的排列分布或者從頻域徹底改變圖像信息內(nèi)容的一種信息加密技術(shù)，主要應(yīng)用在對(duì)數(shù)字圖像加密的前期預(yù)處理和后續(xù)解密當(dāng)中。在需要信息隱藏的網(wǎng)絡(luò)傳輸中，置亂技術(shù)能很好地消除隱蔽信息間的相關(guān)性，增強(qiáng)通信的隱蔽性，設(shè)置相應(yīng)的秘鑰對(duì)隱蔽信息進(jìn)行加密處理，還能減小錯(cuò)誤比特率以增強(qiáng)秘密信息的魯棒性[6-9]。目前運(yùn)用比較廣泛的置亂方法越來(lái)越多，如Logistic變換、Hilbert變換、仿射變換、Arnold變換、廣義Gray碼變換、幻方變換、Conway游戲、Fibonacci變換等方法。其中Arnold變換由于簡(jiǎn)單易懂等特點(diǎn)受到學(xué)者們的廣泛應(yīng)用。Gray碼變換因應(yīng)用靈活被運(yùn)用在圖像處理方面，它不僅可以從位置空間改變圖像信息，還可以從色彩空間上改變圖像灰度值達(dá)到處理圖像的目的。但是，由于A(yíng)rnold變換的簡(jiǎn)單性和周期性，破壞者在知道圖像的置亂次數(shù)的條件下可以輕易破解加密信息，使得傳輸者的隱蔽信息被泄露，信息安全得不到保證。為了提高加密信息的安全性，提出首先運(yùn)用Arnold算法進(jìn)行置亂加密處理，打亂圖像的原始載體信息，然后在此基礎(chǔ)上利用后面提到的Gray碼變換方法，使加密的圖像信息徹底改變，達(dá)到雙置亂效果。隱蔽信息能夠得到更深度的加密保護(hù)，提高抗攻擊能力，確保隱蔽信息的安全傳輸。

1　Arnold變換與Gray碼變換

1.1Arnold變換

Arnold變換過(guò)程可以用矩陣表示如下：

(1)其中x,y∈{0,1,2,…,N-1},N為圖像的長(zhǎng)和寬。mod是模運(yùn)算，目的是確保置亂后的圖像信息的位置范圍不變，仍然落到圖像區(qū)域內(nèi)部。(x′,y′)T是圖像(x,y)T位置的像素點(diǎn)經(jīng)過(guò)置亂得到的新位置的坐標(biāo)。經(jīng)過(guò)一次Arnold變換后圖像還留有許多原始信息，即并沒(méi)有完全達(dá)到徹底置亂圖像的作用。在實(shí)際應(yīng)用中，Arnold變換是指經(jīng)過(guò)多次迭代Arnold變換的結(jié)果[10]。運(yùn)用等式(1)，經(jīng)過(guò)多次反復(fù)變換，就得到最終理想的加密置亂圖。

設(shè)定自然數(shù)N>2，Arnold變換公式的周期用mN表示，根據(jù)Arnold變換具有周期性的特點(diǎn)，式(2)中的最小自然數(shù)n即為Arnold變換的最小正周期：

(2)

圖1是一幅380×380大小的圖像，經(jīng)過(guò)式(2)計(jì)算得到圖像的置亂周期為90，對(duì)圖1(a)的原始圖像分別進(jìn)行10次、90次Arnold置亂，得到圖1(b),(c)的變換結(jié)果。可見(jiàn)，圖像經(jīng)過(guò)周期變換再次恢復(fù)到初始圖像。

圖1　Arnold迭代變換及周期特性

依據(jù)Arnold算法的周期性特性，可以較容易實(shí)現(xiàn)對(duì)信息圖像的加密與解密工作，是信息隱蔽技術(shù)的一種很好的預(yù)處理方法。但是由于A(yíng)rnold的周期性強(qiáng)，編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，使攻擊者能輕松地破譯加密信息，達(dá)到攔截信息或篡改信息的目的。發(fā)生在一些政治軍事上就會(huì)危害到國(guó)家利益，所以Arnold變換還存在被改進(jìn)的空間。為此需要想辦法加入其他的加密技術(shù)，以提高信息的保密度。

1.2Gray碼變換

設(shè)定變量u為一個(gè)非負(fù)整數(shù)，其二進(jìn)制形式的表達(dá)式對(duì)應(yīng)為u=(upup-1…u1u0)2，令：

gp=up,gi=ui⊕ui+1i=1,2,…,p-1

(3)

得到一個(gè)二進(jìn)制整數(shù)g(u)=(gpgp-1…g1g0)2。式(3)就叫作Gray變換，二進(jìn)制整數(shù)g(u)稱(chēng)為變量u的Gray碼(格雷碼)。其中運(yùn)算“⊕”為模2加法。

Gray碼算法的優(yōu)點(diǎn)是可以對(duì)像素編碼進(jìn)行置亂，從位置空間改變圖像信息；也可以不改變位置，對(duì)圖像灰度值編碼進(jìn)行置亂，也就是從色彩空間上改變圖像信息。此算法也可以推廣到任意進(jìn)制情況下的廣義Gray碼，適用性非常靈活。

根據(jù)Gray碼變換原理對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行圖像信息加密，也是一種實(shí)現(xiàn)圖像信息隱藏預(yù)處理的方法。置亂變換過(guò)程也是加解密的過(guò)程，要想有效地進(jìn)行信息的加密與恢復(fù)，得到傳輸信息，變換的可逆性是至關(guān)重要的，即處理的圖像能夠經(jīng)過(guò)相應(yīng)的反變換，最終得到復(fù)原。

Gray碼變換實(shí)際上就是異或變換，同理得到Gray碼反變換公式：

gp=up,gi=ui⊕gi+1

(4)

圖2是經(jīng)過(guò)Gray碼變換與相應(yīng)的反變換置亂得到的變換圖像。

圖2　Gray碼變換與反變換置亂圖像

2　Arnold和Gray碼相融合的雙置亂算法

前面具體講述了Arnold變換算法的原理，可以改變數(shù)字圖像灰度信息的分布，達(dá)到了信息加密的目的[11]。但是由于A(yíng)rnold變換的局限性，其周期性強(qiáng)，容易被非法入侵者破解等弱點(diǎn)，使得Arnold變換在實(shí)際應(yīng)用中受到限制[12]。為了使一些重要信息得到更好的隱蔽，就需要更好的加密技術(shù)，使得在原有的簡(jiǎn)單技術(shù)上實(shí)現(xiàn)深度加密，達(dá)到算法的簡(jiǎn)單易行，又同時(shí)提高信息的加密破解難度。本文在運(yùn)用Arnold變換對(duì)圖像進(jìn)行置亂處理的情況下，又附加上另一種置亂方法—Gray碼算法。此算法不僅是一種色彩空間域上的置亂方法，通過(guò)徹底改變圖像的像素灰度值，直方圖的總體分布，達(dá)到置亂；也可以從位置空間上，通過(guò)改變圖像信息中像素的具體位置坐標(biāo)，得到加密處理的圖像?；贏(yíng)rnold和Gray碼變換的雙置亂變換(為了便于描述，后面將簡(jiǎn)稱(chēng) “A&G” 變換)是基于Gray碼在色彩空間上的置亂方法。

圖3為 “A&G” 變換的流程圖?！癆&G” 變換是運(yùn)用兩者結(jié)合，首先圖像的位置空間得到置亂，解除空間相關(guān)性，然后解除色彩相關(guān)性，達(dá)到改變直方圖的效果，提高置亂的均勻度。

圖3　“A&G” 變換流程圖

(5)

其中aij表示像素矩陣中第i行第j列位置上的灰度值，經(jīng)過(guò)σ映射，改變像素坐標(biāo)的位置。

得到置亂像素新坐標(biāo)a[i+j,i+2j]N，并得到一次Arnold置亂結(jié)果，圖像記作A1；

步驟3對(duì)步驟2中得到的置亂結(jié)果AN的各像素點(diǎn)的像素值，利用式(3)進(jìn)行Gray碼變換，得到最終要加密的目標(biāo)圖像B。

圖像置亂起到對(duì)圖像信息隱蔽的作用，而還原操作也是一種置亂操作，是置亂處理的一個(gè)逆過(guò)程，是保證信息在安全的情況下能準(zhǔn)確無(wú)誤的傳輸?shù)浇饷苋耸种械囊环N很好的處理方法。根據(jù)置亂的步驟要想恢復(fù)置亂圖像，首先要對(duì)已經(jīng)置亂的目標(biāo)圖像B進(jìn)行Gray碼反變換，解除Gray碼置亂效果，再進(jìn)行Arnold變換操作，得到原始信息。大體步驟如下：

步驟1首先對(duì)得到的加密圖像B利用式(4)給出的Gray碼反變換公式進(jìn)行置亂，初步處理結(jié)果得到圖像AN；

步驟2運(yùn)用Arnold變換的逆變換公式或者Arnold算法的周期特性等方法，將步驟1中得到的初步還原圖像AN恢復(fù)到圖像A′。對(duì)比恢復(fù)后的圖像A′與原圖A的圖像信息，證明變換是可恢復(fù)的。

3　仿真實(shí)驗(yàn)及驗(yàn)證結(jié)果分析

用圖2中的(a)圖作為仿真實(shí)驗(yàn)的原始圖像，在10×10的尺寸大小情況下對(duì)圖像進(jìn)行 “A&G” 算法處理。經(jīng)過(guò)新算法的處理，得到圖4顯示的仿真效果示意圖。其中圖4(a)為原始圖像的像素信息，圖4(b)顯示的是經(jīng)過(guò)Arnold算法后的像素信息，同理圖4(c)則是經(jīng)過(guò) “A&G” 變換后的像素信息。

由圖4的 “A&G” 變換可知，圖像信息經(jīng)過(guò)Arnold變換處理得到新的圖像信息，新的圖像信息內(nèi)容沒(méi)有發(fā)生改變，只是改變了原來(lái)信息的存儲(chǔ)位置。但是經(jīng)過(guò)雙置亂變換后的圖像，信息發(fā)生了改變，改變了原來(lái)圖像攜帶的信息，起到了深度加密的目的，對(duì)信息隱蔽的深入研究提供了很好的方法。

圖4　“A&G”變換信息圖

根據(jù)Arnold變換與Gray碼變換都具有可逆性的原理，在信息隱藏的后期處理中可以將置亂圖像復(fù)原，解除加密隱藏。例如，一個(gè)程序員把加密信息發(fā)送給指定要接收的人員后，接收人要根據(jù)秘鑰原理進(jìn)行解密處理，實(shí)現(xiàn)信息的復(fù)原。

運(yùn)用兩種算法相結(jié)合的辦法，不僅改變了圖像的灰度分布，也使圖像的灰度值發(fā)生了改變，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像深層加密的目的。對(duì)研究數(shù)字圖像的信息隱蔽技術(shù)預(yù)處理的后續(xù)工作提供了很好的技術(shù)前提。

為測(cè)試算法的有效性，更加全面地衡量與比較所提算法的置亂效果，進(jìn)行下面的仿真實(shí)驗(yàn)。圖5給出仿真實(shí)驗(yàn)的原始圖像以及其灰度直方圖信息，圖6為“A&G” 算法對(duì)原始圖像的變換效果圖，并顯示圖像置亂后的直方圖，同時(shí)還給出Arnold算法和Hilbert算法的兩種置亂變換相對(duì)應(yīng)的處理結(jié)果作為參照。

圖5　原始圖像及其直方圖

圖6　參數(shù)N=7時(shí)，Arnold、Hilbert和 “A&G”方法的置亂效果對(duì)比圖

圖6顯示，與作為參考的兩種現(xiàn)有的方法相比，新提出的置亂方法—— “A&G” 變換經(jīng)過(guò)置亂后得到的圖像紋理更細(xì)，顆粒更加均勻，更接近于理想的白噪聲狀態(tài)。從人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)的角度來(lái)說(shuō)，加密圖像的相關(guān)信息被完全打亂，看不出加密圖像的相關(guān)內(nèi)容，置亂效果最好；對(duì)比三種變換方法置亂后的灰度直方圖，Arnold變換和Hilbert變換處理得到的直方圖信息置亂前后沒(méi)有發(fā)生變化，與原始圖像的直方圖一致，破壞者容易根據(jù)截獲的直方圖信息破解加密信息，竊取重要的信息內(nèi)容，而這個(gè)缺點(diǎn)對(duì)于所有基于位置空間變化的圖像置亂方法來(lái)說(shuō)也是一個(gè)目前急待解決和難以攻克的話(huà)題焦點(diǎn)。而經(jīng)過(guò) “A&G” 變換得到灰度直方圖與前兩種方法相比差距很大，不僅改變了灰度值，而且處理后的灰度值比原來(lái)分布的更加均勻，使整體上得到的置亂圖像的灰度值在整個(gè)灰度空間上均勻分布。這就證明了在數(shù)字水印等需要進(jìn)行信息隱藏的技術(shù)預(yù)處理中，新的置亂方法可以將加密信息更加均勻的嵌入到宿主信息中，使后續(xù)工作中得到的水印透明性更好，信息隱藏的更加難以察覺(jué)[13]。

下面根據(jù)文獻(xiàn)[13]中定義的比較置亂程度的三個(gè)變量，從三個(gè)角度來(lái)衡量圖像的置亂效果。

(6)

從像素的位置空間上說(shuō)，當(dāng)變換后的圖像像素位置與原圖像的像素信息完全一樣時(shí)，置亂均勻度ED=m2-1-E，此時(shí)歸一化置亂均勻度ED為1；當(dāng)變換得到的最終結(jié)果達(dá)到“均勻”的最佳狀態(tài)時(shí)，此時(shí)ED=0。依據(jù)概率分布形式歸一化處理，ED的取值范圍：0≤ED≤1。ED越接近0仿真得到的置亂圖像越均勻，加密效果越好，越接近1則效果越差。

(7)

絕對(duì)值距離D的值越大說(shuō)明兩個(gè)向量的相異度越大，置亂處理后得到的圖像的均勻度就越差；反之D的值越小，置亂圖像就越接近于置亂“均勻”狀態(tài)，置亂達(dá)到的整體水平就越好。這是針對(duì)相異測(cè)量的方法。它的歸一化形式為：

(8)

歸一化后D的范圍：0≤D≤1。

根據(jù)式(8)的原理，同理也可以運(yùn)用兩個(gè)向量夾角的余弦值來(lái)體現(xiàn)圖像置亂前后變換的相關(guān)性，作為相似度進(jìn)行比較：

(9)

S越小說(shuō)明兩個(gè)向量的相似度越小，置亂均勻度越差，得到的加密效果就越不明顯；S越大說(shuō)明兩個(gè)向量的相似度就越大，置亂就越接近“均勻”的理想狀態(tài)，得到的評(píng)比結(jié)果就越好。S的取值范圍為0≤S≤1，這是針對(duì)相似測(cè)量的方法[14]。

依據(jù)圖6得到的置亂效果圖，運(yùn)用上述三種衡量置亂程度的變量比較三種置亂算法的置亂程度，結(jié)果見(jiàn)表1所示。

表1　不同算法的置亂度比較

從表1中可知，隨著加密次數(shù)的逐漸增加，圖像越接近置亂“均勻”狀態(tài)，只是三種方法的置亂速度不同，顯示的效果也就不同。 “A&G” 變換ED趨近0、S趨近1遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于其他兩種方法，D的值也比其他兩種方法更加趨近于零?？梢?jiàn)，新提出的 “A&G” 算法的置亂效果，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出已有的Hilbert和Arnold兩種算法所達(dá)到的最佳效果。充分證明了新提出的置亂算法能很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的均勻加密處理。且該算法與人類(lèi)視覺(jué)的評(píng)價(jià)結(jié)果一致，能夠更好地實(shí)現(xiàn)信息加密的目的，對(duì)以后在信息隱蔽的實(shí)際應(yīng)用中有重要作用。

4　結(jié)　語(yǔ)

在圖像置亂技術(shù)的研究中，Arnold變換算法因其方法簡(jiǎn)單、運(yùn)用方便等特點(diǎn)，被學(xué)者們廣泛應(yīng)用于圖像加密技術(shù)的研究中。通常使用Arnold變換可以實(shí)現(xiàn)圖像基于像素位置空間的變換，但不會(huì)改變圖像攜帶的像素信息，使得加密圖像的置亂效果不能達(dá)到理想的要求。而且，由于A(yíng)rnold算法本身存在周期性強(qiáng)、易破解性等缺點(diǎn)，本文在上述方法的基礎(chǔ)上又加入Gray碼變換算法，提出一種新的置亂方法—— “A&G” 變換，達(dá)到對(duì)圖像進(jìn)行雙層置亂處理的目的。實(shí)驗(yàn)證明，運(yùn)用Gray碼變換在色彩空間上的應(yīng)用，在A(yíng)rnold置亂處理的基礎(chǔ)上，采用兩者相融合的方法，在保持原來(lái)優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，很大程度上增加了信息的破譯難度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)加密圖像的雙重置亂處理。充分說(shuō)明了本方法能更好地運(yùn)用在信息隱蔽技術(shù)的預(yù)處理中，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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ONDOUBLESCRAMBLINGALGORITHMINTEGRATINGARNOLDTRANSFORMATIONANDGRAYCODEPERMUTATION

SongLiliYangFanPanGuofeng

(College of Information Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

Arnoldscrambling,duetoitseaseofunderstanding,hasbeenwidelyappliedinthefieldsofdigitalwatermarking,securityandanti-counterfeiting,militaryencryption,etc.,andachievesgoodeffect.Graycodepermutationalgorithmhasalsobeenwellappliedininformationsecurity,sinceitcanbeflexiblyimplementedinboththecolourspaceandthepositionspace.However,eitherofthemiseasilycrackedbytheintruders,fortheyarerelativelysimple.Inordertoimprovethedegreeofinformationencryptionandanti-attackproperty,weproposedadoublescramblingscheme,itisessentiallyacombinationoftheArnoldscramblingandtheGraycodepermutationalgorithm,andmakestheencryptedinformationbewellhiddeninboththepositionspaceandthegreyspace.Experimentalresultsshowedthatthisnewschemecouldbewellappliedinimageprocessingasabetterpreprocessorforinformationhidingtechniques.

ArnoldtransformGraycodepermutationImagescramblingInformationhiding

2014-07-29。國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)項(xiàng)目(2009ZX02308-004)。宋莉莉，碩士，主研領(lǐng)域：智能信息處理，圖像處理。楊帆，教授。潘國(guó)峰，教授。

TP391

ADOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.03.072