◇　廣東　陳國(guó)毫

(作者單位：廣東省佛山市南海區(qū)西樵高級(jí)中學(xué))

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2015年高考北京理科數(shù)學(xué)第19題的探究與反思

◇廣東陳國(guó)毫

以問(wèn)題為載體、知識(shí)為基礎(chǔ)、思維為主線、能力為目標(biāo),全面考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng),是當(dāng)前高考命題的一個(gè)重要方向.在每年全國(guó)各地的高考中,圓錐曲線必有1道大題,其中往往綜合考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,以及定義法、配方法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學(xué)通法.試題體現(xiàn)能力立意、強(qiáng)調(diào)思維空間,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.很多學(xué)生往往做了第(1)問(wèn),后面的問(wèn)題或因文字多、符號(hào)繁、探索味道濃、運(yùn)算量大、思路不清晰而望塵莫及.因此對(duì)圓錐曲線的研究,特別是在高三復(fù)習(xí)課上對(duì)圓錐曲線綜合題的解決,應(yīng)當(dāng)選擇合適有效的處理方式.以下筆者結(jié)合2015年高考北京理科數(shù)學(xué)第19題,談?wù)勛约旱囊恍┫敕?

1　原題展示

(1) 求橢圓C的方程,并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m、n表示);

(2) 設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn):y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

2　解法剖析

第(2)問(wèn)實(shí)則考查對(duì)幾何性質(zhì)的探究.圖形中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、直線與x軸的交點(diǎn)、所研究的角的位置,這些直觀的幾何特征是處理問(wèn)題的關(guān)鍵.采用坐標(biāo)法,顯化M、N、Q的坐標(biāo)形式,分別為

利用tan∠OQM=tan∠ONQ,確定坐標(biāo)中涉及的變量之間的關(guān)系

3　背景探源

本題改編自人教版《選修4-4》第34頁(yè)習(xí)題2.2第2題.

從核心方法上分析,都注重運(yùn)用代數(shù)的方法量化幾何關(guān)系.

從形式上看,二者高度相同:都以焦點(diǎn)在x軸的橢圓(盡管例2沒(méi)有指明a>b>0這個(gè)條件,但是通過(guò)分析這個(gè)條件是隱含的)為載體,點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)(例2短軸的端點(diǎn)顯然對(duì)稱(chēng)),過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的直線與x軸有交點(diǎn);涉及的求解對(duì)象都與x軸有關(guān).區(qū)別在于例1研究的是角度的恒等問(wèn)題,例2研究的是線段長(zhǎng)度的定值問(wèn)題.

類(lèi)似的以此題為背景的,還有如下題目:

圖1

(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2) 探究:|OP|·|OQ|是否為常數(shù).

圖2

(1) 求橢圓E的方程.

(2) 設(shè)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A1、A2,P是橢圓上異于A1、A2的任一點(diǎn),直線PA1、PA2分別交x軸于點(diǎn)N、M,若直線OT與過(guò)點(diǎn)M、N的圓G相切,切點(diǎn)為T(mén). 求證：線段OT的長(zhǎng)為定值,并求該定值.

圖3

(1) 求橢圓C的方程.

(3) 設(shè)點(diǎn)P是橢圓C異于M、N的任一點(diǎn),且直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)R、S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:|OR|·|OS|為定值.

例4中2個(gè)頂點(diǎn)A、A1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),由切割線定理得OT2=OM·ON,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度的定值問(wèn)題;而例5中,由橢圓與圓的對(duì)稱(chēng)性可知,點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),問(wèn)題也是求線段長(zhǎng)度的定值問(wèn)題.

4　一般結(jié)論

對(duì)以上3個(gè)類(lèi)似題進(jìn)行對(duì)比,不難發(fā)現(xiàn),2個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是橢圓上任意給定的,點(diǎn)P亦然,并異于2個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn).而結(jié)論涉及的線段長(zhǎng)度的乘積恒為定值.而例1第(2)問(wèn),其實(shí)是源于這個(gè)一般性結(jié)論的推論.

|OP|·|OQ|=a2.

同理可得直線A1B:

陳友益(2018)研究了影響供應(yīng)鏈金融發(fā)展的因素。在整個(gè)鏈中上下游、多級(jí)企業(yè)存在一些操作、法律、市場(chǎng)等的風(fēng)險(xiǎn)。會(huì)影響其發(fā)展。

則|OP|·|OQ|=|xP·xQ|=a2.

|OP|·|OQ|=b2.

|OP|·|OQ|=b2.

|OP|·|OQ|=a2.

圖4

證明結(jié)合圖4可知,

5　拓展

類(lèi)比橢圓,可以將上述的結(jié)論推廣至雙曲線.限于篇幅,這里不一一列舉,有興趣的讀者可以類(lèi)比上述的方法進(jìn)行求證,或者用幾何畫(huà)板進(jìn)行驗(yàn)證.

下面探討拋物線在滿(mǎn)足上述條件的情況下,會(huì)有什么性質(zhì).

性質(zhì)2設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上2個(gè)點(diǎn)A與A1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),B是拋物線上異于A與A1的任一點(diǎn),直線AB、A1B與x軸分別交于點(diǎn)M、N,則有|OM|=|ON|.

推論3設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上2個(gè)點(diǎn)A與A1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),其準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N,連接NA交拋物線于點(diǎn)B,則A1B必過(guò)焦點(diǎn)F.

推論4設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N,F為拋物線的焦點(diǎn),A是拋物線上任一點(diǎn),直線NA交拋物線于點(diǎn)B,直線BF交拋物線于點(diǎn)A1，則直線NA與NA1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

6　反思

1) 通性通法齊把握.

所謂通性通法是指解決具有相同性質(zhì)數(shù)學(xué)問(wèn)題所用的通用方法,通性通法是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在解決問(wèn)題中的集中體現(xiàn).就現(xiàn)階段而言,中學(xué)生應(yīng)該掌握的最基本的通性通法應(yīng)是具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的思想方法.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的眼光來(lái)看待平面幾何問(wèn)題.用代數(shù)的方法研究圓錐曲線的性質(zhì),實(shí)質(zhì)上是將對(duì)復(fù)雜的幾何關(guān)系的考查轉(zhuǎn)化為對(duì)曲線方程特點(diǎn)的考查,因?yàn)榇鷶?shù)方法可以程序化地進(jìn)行運(yùn)算、操作,可以使研究過(guò)程更有規(guī)律可循.

2) 對(duì)比變式相結(jié)合.

所謂變式是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,如：不斷地變更命題中的非本質(zhì)特征;變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論;轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式;配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境,使數(shù)學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而本質(zhì)特征保持不變.就高三復(fù)習(xí)階段而言,教師在評(píng)講、處理練習(xí)時(shí),應(yīng)給學(xué)生滲透的思想不應(yīng)止步于最終答案的獲得.問(wèn)題得到了答案,并非意味著解題過(guò)程的完成,對(duì)待解決問(wèn)題態(tài)度,除了透徹理解自己的思路、解法外,還應(yīng)該考慮能否用不同的方式去解決問(wèn)題.當(dāng)問(wèn)題的解答冗長(zhǎng)而復(fù)雜時(shí),自然會(huì)揣測(cè)是否存在著某種更清楚且少迂回的解法,即使成功地找出一個(gè)令人滿(mǎn)意的解法,也不必有大功告成的感覺(jué),而應(yīng)該考慮是否還有其他做法,然后對(duì)不同解法加以比較,看看哪個(gè)最本質(zhì)，哪個(gè)最簡(jiǎn)單，哪個(gè)最完美.同時(shí),教師應(yīng)以試題研究為陣地,充分利用題目之間的相似性進(jìn)行比較,就其共同點(diǎn)概括問(wèn)題的本質(zhì),將問(wèn)題進(jìn)行變式推廣,教學(xué)生如何去分類(lèi)處理、研究反思,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性.只要弄清問(wèn)題本質(zhì)上的共性,就會(huì)應(yīng)用解答的同一模式去處理類(lèi)似的問(wèn)題.

總之,數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動(dòng)地構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),使自己得到全面發(fā)展的過(guò)程.而其中最重要的是讓學(xué)生把握問(wèn)題處理的通性通法,明白數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移是豐富多彩的，題目之間的聯(lián)系是非常緊密的.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是埋于題海、盲目追求數(shù)量,而是真正了解數(shù)學(xué)問(wèn)題變化的規(guī)律,掌握這種變化背后的本質(zhì)聯(lián)系,學(xué)會(huì)解決變式,學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)變式、拓展問(wèn)題，提高自身的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(作者單位：廣東省佛山市南海區(qū)西樵高級(jí)中學(xué))