陳秀琴,張澤鋒，沈志萍，李鈞濤

(1信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽 464000;2河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

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基于LMI方法的不確定系統(tǒng)的保成本反同步

陳秀琴1,張澤鋒1，沈志萍2，李鈞濤2

(1信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽 464000;2河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

針對一類具有不同參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾的不確定混沌系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(LMI)方法，設(shè)計(jì)了一種線性狀態(tài)反饋控制器使得從系統(tǒng)反同步到主系統(tǒng)，且確保了閉環(huán)成本函數(shù)值不超過規(guī)定的上限。同時(shí)通過求解矩陣不等式，得到了控制器的增益矩陣K。最后以Murali Lakshmanan Chua電路系統(tǒng)為例說明了該方案的有效性。

混沌系統(tǒng)；保成本反同步；線性矩陣不等式

0　引言

混沌系統(tǒng)是一種特殊的非線性系統(tǒng)，由于它對初值具有極度敏感性，混沌系統(tǒng)的同步曾一度被認(rèn)為是控制界的難點(diǎn).自從Pecora和Carrol[1-2]于20世紀(jì)90年代初首先提出用PC方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步后，混沌同步就已經(jīng)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，并隨之出現(xiàn)了多種同步方法，如觀測器方法[3-5]、滑模控制方法[6]、自適應(yīng)設(shè)計(jì)方法[7]、反同步設(shè)計(jì)法[8-9]、LMI方法[10-13]等.

最近，江、鄭[10]基于線性矩陣不等式理論提出了通過設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制器使得一類混沌系統(tǒng)同步.然而，文獻(xiàn)[10]提出的標(biāo)準(zhǔn)沒有考慮參數(shù)擾動(dòng)和外部干擾.雖然仿真結(jié)果表明所提出的方法能降低外部噪聲，但沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.實(shí)際上，系統(tǒng)參數(shù)必然受到外力或其他因素的干擾.張和馬[11]基于主動(dòng)控制技術(shù)研究了一類受外部干擾和參數(shù)擾動(dòng)的系統(tǒng)同步, 并給出了一個(gè)控制器，但是控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是主系統(tǒng)和從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相同，而且沒有給出有效的方法來找出增益矩陣.文獻(xiàn)[12-13]雖然是基于LMI方法來研究系統(tǒng)的保成本控制，但他們是針對時(shí)滯系統(tǒng)來研究的.本研究受上述討論的啟發(fā)，對不確定混沌系統(tǒng)的參數(shù)和外部擾動(dòng)時(shí)變的情況進(jìn)行充分考慮，基于線性狀態(tài)反饋技術(shù)和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論, 以確保系統(tǒng)保成本反同步.很容易驗(yàn)證通過求解LMI，建立保成本反同步，適用于一大類不確定混沌系統(tǒng).最后，通過仿真驗(yàn)證了所提出的線性矩陣不等式條件的可行性.

1　問題描述

假定有2個(gè)具有參數(shù)擾動(dòng)和外部干擾的不確定混沌系統(tǒng)，其中主系統(tǒng)描述為:

(1)

從系統(tǒng)為:

(2)

(3)

‖f(x,t)-f(y,t)‖≤L‖x-y‖

(4)

這里考慮的參數(shù)不確定性是假設(shè)為范數(shù)有界的形式:

[△A1(t)△A2(t)]=DF(t)[E1E2]

(5)

其中,D,E1和E2是已知常實(shí)數(shù)矩陣;F(t)∈Ri×j是一個(gè)未知的矩陣函數(shù)且勒貝格可測元素,滿足:

FT(t)F(t)≤I

(6)

其中I表示單位矩陣.

此外，由于系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng)的，所以存在一個(gè)正常數(shù)M1，使得‖x‖≤M1.

d2(t)+d1(t)+[△A1(t)-△A2(t)]x

(7)

與誤差系統(tǒng)(7)相關(guān)的成本函數(shù)為:

(8)

其中,Q和R是正定對稱矩陣;r是一個(gè)正常數(shù)，且:

本研究的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u(t)=Ke(t)使誤差系統(tǒng)(7)保成本反同步.

引理1[14]對于任何相容維數(shù)矩陣D,E,F(t)，當(dāng)FT(t)F(t)≤I有下面的不等式成立：

DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1ETE.

2　主要結(jié)果

定理1考慮主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2),如果(A,B)是可控矩陣，當(dāng)反饋增益滿足條件:

(9)

證明取李亞普諾夫函數(shù)為:

V=eTPe

(10)

則:

由引理1得:

(11)

(12)

2eTP[d1(t)+d2(t)]≤eTP2e+d2

(13)

(14)

由式(9)和式(11)～(14)得：

(15)

(16)

因?yàn)镻為正定對稱矩陣，所以eT(T)Pe(T)>0，即可得:

(17)

(18)

(19)

于是得出定理的結(jié)論是成立的.

定理2考慮主系統(tǒng)(1)和從系統(tǒng)(2)，如果存在矩陣X>0，W滿足下列不等式：

(20)

則設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益為K=WTX-1可以使系統(tǒng)保成本反同步，并且跟蹤誤差有界，

證明利用Schur補(bǔ)[14]的性質(zhì)，式(9)可以轉(zhuǎn)化為:

(21)

在式(21)兩邊同時(shí)乘以矩陣∧=diag(P-1,I,I,I,I,I)，取X=P-1，K=WTX-1，則用定理1類似的方法可證得定理2結(jié)論成立.

3　數(shù)值模擬

混沌Murali Lakshmanan-Chua電路為:

(22)

(23)

其中d1(t)=[0.28sin(0.5t),-0.2cos(5t)]T,△β1(t)=0.1cos(2t),△σ1(t)=-0.11cos(2t),從系統(tǒng)為:

(24)

其中,d2(t)=[-0.1cossin(5t)]T,△β2(t)=0.13cos(2t),△σ2(t)=0.098cos(2t).

由式(23)和式(24)得到：

由方程(14)～(16)采用文獻(xiàn)[16]的方法，可以將式(7)改寫成:

(25)

由式(25)可以得到:

利用MATLAB的LMI工具箱得出仿真圖如圖1～4所示.

圖曲線圖

圖曲線圖

圖3　e1(γ1),e1(γ2)

圖4　e2(γ1),e2(γ2)

4　結(jié)論

研究了一類具有參數(shù)擾動(dòng)和外界擾動(dòng)的不確定系統(tǒng)的保成本反同步問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(LMI)方法，設(shè)計(jì)了一種狀態(tài)反饋控制器使從系統(tǒng)反同步到主系統(tǒng)，同時(shí)通過求解矩陣不等式，得到了控制器的增益,最后對Murali Lakshmanan Chua電路系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了本研究所提方法的可行性.

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(責(zé)任編輯高嵩)

Guaranteed Cost Anti-synchronization for Uncertain Chaotic Systems Based on LMI Criteria

Chen Xiuqin1, Zhang Zefeng1,Shen Zhiping2,Li Juntao2

(1School of Mathematics and Computer Science,Xinyang Vocational and Technical College,Xinyang Henan 464000;2School of Mathematics and Information Science,Henan Normal University,Xinxiang Henan 453007)

For a class with different parameter perturbation and external disturbance of uncertain chaotic systems,based on the Lyapunov stability theory and linear Matrix Inequality(LMI)method,a linear state feedback controller is designed to make the slave system anti-synchroniz to the main system,and guarantee the closed-loop cost function value not to exceed the prescribed limit.At the same time,the controller gain matrix K is obtained by solving matrix inequalities.Finally,the scheme is expounded by taking Murali Lakshmanan Chua circuit system as an example.

chaotic system;guaranteed cost anti-synchronization;the linear matrix inequality (LMI)

2016-04-19

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：61203293)；河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)計(jì)劃(項(xiàng)目編號：122102210131)。

陳秀琴,講師,碩士。

10.3969/j.issn.2095-4565.2016.04.011

O231

A

2095-4565(2016)04-0043-05