龔　寄，駱　拓

（1.湖南涉外經濟學院機械工程學院，湖南 長沙410205；2.長沙礦冶研究院，湖南 長沙410012）

永磁同步電機矢量控制中的坐標變換和解耦

龔寄1，駱拓2

（1.湖南涉外經濟學院機械工程學院，湖南 長沙410205；2.長沙礦冶研究院，湖南 長沙410012）

針對永磁同步電機矢量控制中的線性解耦要求，用矩陣理論方法求出幾種形式的繞組電感矩陣變換時的模態(tài)矩陣，導出坐標變換矩陣，從而使定子磁鏈方程解耦。并給出了功率不變原則下坐標變換時的電磁轉矩方程，為深刻理解永磁同步電機矢量控制的坐標變換理論提供了有益的借鑒和啟發(fā)。

永磁同步電機；坐標變換；解耦

在研究永磁同步電機矢量控制時，廣泛使用到坐標變換。通過坐標變換，可以把定子的電感矩陣對角化、常數(shù)化，從而使定子的磁鏈方程解耦，電磁轉矩方程得到簡化，使交流電機象直流電機一樣容易控制［1］。通常坐標變換是從Blondel的雙反應理論、從物理概念出發(fā)推導出來的［2］，那么從數(shù)學上坐標變換是如何導出的？這也是電機控制工程技術人員關心和困惑的問題。

1　永磁同步電機在A、B、C三相坐標系下的數(shù)學模型

在建立永磁同步電機的數(shù)學模型之前，先做如下假設：

（1）忽略磁路飽和、磁滯和渦流的影響，視電機的磁路是線性的；

（2）電機的定子繞組三相對稱，各繞組軸線在空間上互差120°電角度；

（3）轉子上沒有阻尼繞組，永磁體沒有阻尼作用；

（4）電機定子電勢按正弦規(guī)律變化，定子電流在氣隙中只產生正弦分布磁勢，忽略磁路中的高次諧波磁勢。

按以上假設對被控對象永磁同步電機進行理論分析時，其所得的結果和實際情況十分接近，誤差在工程允許的范圍內。

在A、B、C三相坐標系下，永磁同步電機的物理模型如圖1所示，圖中將定子三相繞組中A相繞組軸線作為空間坐標系的參考軸線OA，在確定好磁鏈和電流正方向后，可得到永磁同步電機在A、B、C坐標系下的定子電壓、電流和磁鏈方程分別如下［3］：

圖1　永磁同步電機物理模型

電壓方程：

電流方程：

磁鏈方程：

ψ=LiS+ψS其中：

式中：ψf為轉子永磁體磁極的勵磁磁鏈，方向為d軸正向；

θ為轉子d軸超前定子A相繞組軸線A的瞬時電角度，θ=ωt+φ，ω＝dθ/dt，φ為初始電角度；

MXY=MYX為定子繞組的互感系數(shù)；

從上面的磁鏈方程的電感矩陣可知，各繞組間存在非線性耦合，而且還和轉子的旋轉角度有關，為了實現(xiàn)解耦，需要對定子電感矩陣對角化。

2　永磁同步電機在α、β、o三相坐標系下的數(shù)學模型

由于定子繞組三相對稱，有LA＝LB＝LC＝Lss，MXY=MYX=Lm，定子繞組的電感矩陣可寫成：的特征根：λ1=λ2=Lss-Lm，λ3=Lss+2Lm.因此，對角化后，有：

要將矩陣L對角化，先求

（1）λ1=λ2=Lss-Lm時

矩陣L-λiE的秩為1，根據(jù)（L-λiE）X＝0，有x1+x2+x3＝0

得到基礎解系的解之一：

現(xiàn)進行正交化，令

最后單位化，有

（2）λ3=Lss+2Lm時

矩陣L-λiE的秩為2，根據(jù)（L-λiE）X＝0，有x1=x2=x3

綜合三個單位向量，有

由于電機繞組為星形接法，且沒有中心線，即iA+iB+iC=0，即i0＝0，第三式可不考慮。僅前兩式有意義，定子的靜止三相電流iA、iB、iC經過三坐標到二坐標的變換，可得到定子的靜止二相電流iα、iβ，如圖2（b）所示。

圖2　靜止三相ABC軸系到靜止二相αβ軸系的變換

3　永磁同步電機在d、q、o三相坐標系下的數(shù)學模型

當電機旋轉時，定、轉子繞組之間產生旋轉的耦合關系。這時定、轉子間互感矩陣內含有定、轉子繞組夾角的元素，即帶有三角函數(shù)非線性，且隨時間變化，一般寫成

表1　定、轉子間互感矩陣的特征根、酉交特征矢和單位化特征矢

從而有酉交變換矩陣如下：

因此有

從上式中可得到

可見這是二坐標旋轉變換，也即將靜止的二軸坐標iα和iβ經旋轉變換成為旋轉的二軸坐標id和iq，從而實現(xiàn)了由ABC三相靜止坐標系的三相電流到dq同步旋轉坐標系的二相電流的變換。如圖3所示。

圖3　ABC三相靜止坐標系到dq二相同步旋轉坐標系的變換

4　結束語

本文討論了永磁同步電機矢量控制中的坐標變換與解耦問題，通過坐標變換，把定子的電感矩陣對角化、常數(shù)化，從而使定子的磁鏈方程解耦，并使電磁轉矩方程得到簡化，使交流電機象直流電機一樣容易控制。與從物理概念出發(fā)推導不同的是，文中從數(shù)學上推導了坐標變換與解耦，給出了功率不變原則下坐標變換時電磁轉矩方程，為深刻理解交流電機坐標變換理論提供了有益的借鑒和啟發(fā)。

［1］陳堅．交流電機數(shù)學模型及調速系統(tǒng)［M］．北京：國防工業(yè)出版杜，1989．

［2］R.Krishnan．Permanent Magnet Synchronous and Brushless DC Motor Drives［M］.CRC Press，2009.

［3］Paul C.Krause．Analysis of Electric Machinery and Drive Systems［M］．Wiley-IEEE Press，2002.

［4］同濟大學數(shù)學系．工程數(shù)學：線性代數(shù)［M］．北京：高等教育出皈社，2007．

Transformation Between Reference Frames and Decoupling of PMSM with Vector Control

GONG Ji1，LUO Tuo2
（1.Mechanical Engineering College，Hunan International Economics University，Changsha Hunan 410205，China；2.Changsha Research Institute Of Mining and Metallurgy，Changsha Hunan 410012，China）

To meet the requirements of linear decoupling of vector control for permanent magnet synchronous motor （PMSM），this paper gives a matrix method of transformation between reference frames by solving the diagonal matrix of the stator winding inductance matrix，derives the coordinate transformation matrix and the decoupling stator flux equation.The electromagnetic torque equation is presented with the transformation under power constant. It is helpful and inspiring for understanding of the coordinate transformation theory of PMSM vector control.

permanent magnet synchronous motor；reference frames；decoupling

TM92

A

1672-545X（2016）07-0152-03

2016-04-14

本文得到湖南省教育廳項目資助（編號：14C0649）

龔寄（1976-），女，湖南澧縣人，碩士，講師，研究方向：主要從事機電系統(tǒng)建模與控制的研究及教學。