杜　謙，白忠臣，陸安江，張正平*

(1.貴州大學(xué) 省級(jí)光電子技術(shù)及應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

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雙粒子耦合布朗系統(tǒng)輸運(yùn)過程中阻塞的研究

杜謙1,2，白忠臣1，陸安江2，張正平1,2*

(1.貴州大學(xué) 省級(jí)光電子技術(shù)及應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

本文研究了相互作用的兩個(gè)布朗粒子構(gòu)成的系統(tǒng)在閃爍棘輪勢中定向輸運(yùn)的阻塞特性。采用控制變量法和對(duì)比法，分析了阻塞產(chǎn)生的機(jī)制，探索了熱噪聲和引入的外場力之間的關(guān)系。結(jié)果表明，當(dāng)外部驅(qū)動(dòng)力恒定時(shí)，降低熱燥聲將會(huì)明顯地增加阻塞，或當(dāng)外場力為高頻周期力時(shí)，通過控制頻率和振幅進(jìn)而調(diào)控阻滯產(chǎn)生、增加和消失的過程?；诖搜芯康慕Y(jié)論可以廣泛地應(yīng)用于生物醫(yī)藥、材料、新藥的研發(fā)和定點(diǎn)給藥等領(lǐng)域。

布朗棘輪；阻滯；外場力；熱噪聲

通常生物體內(nèi)各種生命活動(dòng)，例如復(fù)制DNA鏈、細(xì)胞或物質(zhì)輸運(yùn)、肌肉收縮等現(xiàn)象在物理機(jī)制上均可看作是分子馬達(dá)的驅(qū)動(dòng)造成的[1-3]。當(dāng)不考慮分子馬達(dá)構(gòu)象變化時(shí)，可將其簡化為布朗粒子，能夠利用非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論來解釋，其模型也符合布朗馬達(dá)[4]。

棘輪效應(yīng)是典型的布朗馬達(dá)，首先由費(fèi)曼提出，它的基本物理思想可以理解為布朗粒子利用一定的熱噪聲和勢函數(shù)的聯(lián)合作用，使布朗粒子能夠像棘輪一樣定向輸運(yùn)(在工程上也稱為“整流”現(xiàn)象)[5-6]。

在真實(shí)的生物分子中，肌動(dòng)蛋白具有“雙頭”構(gòu)象，可以簡化為雙粒子耦合布朗棘輪，它的物理結(jié)構(gòu)與彈簧振子類似，是由兩端具有同等質(zhì)量的頭部和具有相互作用力的頸部組成，它合理地反映了諸如蛋白質(zhì)分子馬達(dá)等多種在介觀尺度下真實(shí)存在的分子結(jié)構(gòu)輸運(yùn)的物理機(jī)制，是一類重要的分子動(dòng)力學(xué)模型[7]。然而，粒子在棘輪勢等受限邊界條件下會(huì)出現(xiàn)定向輸運(yùn)阻塞的現(xiàn)象，并且廣泛存在于類似的真實(shí)生物系統(tǒng)中，引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[8-13]。

另外，生物體給藥往往是通過口服的形式作用于病患處，在到達(dá)目的地時(shí)已經(jīng)所剩無幾了。一般依靠提升體液中藥物分子的濃度來起到治療病灶的效果。而對(duì)生物粒子操控的研究，能夠?qū)崿F(xiàn)需要藥物直接作用于相應(yīng)細(xì)胞，這就要求藥物粒子不僅能夠定向輸運(yùn)到病灶，還應(yīng)該在相應(yīng)病灶位置停留，不僅能夠避免藥物的浪費(fèi)，還能夠延長藥效。同時(shí)，有的藥物能夠?qū)Π┘?xì)胞中關(guān)鍵蛋白的輸運(yùn)起到抑制阻礙的作用，如紫杉醇，由于其對(duì)肌動(dòng)蛋白輸運(yùn)的干擾，使之成為抗癌的關(guān)鍵藥物。故，在物理上闡明雙粒子布朗系統(tǒng)的定向輸運(yùn)機(jī)制在疾病治療、給藥等許多領(lǐng)域具有重要的科學(xué)價(jià)值。

1　模型

外場作用于布朗粒子的郎之萬方程可表述為：

(1)

公式(1)中，m 為粒子的質(zhì)量，η是背景介質(zhì)的黏滯系數(shù)。方程右側(cè)的第二項(xiàng)表示一對(duì)布朗粒子之間的相互作用勢的梯度。 第三項(xiàng)可表述為一對(duì)布朗粒子在受限邊界產(chǎn)生的雙井棘輪勢的梯度。F 表示為作用于布朗粒子的外力，如電場力等。最后一項(xiàng)代表由環(huán)境介質(zhì)或外界施加于布朗粒子的隨機(jī)力，簡化為高斯白噪聲。則過阻尼的雙布朗粒子耦合閃爍勢棘輪系統(tǒng)方程組為：

(2)

(3)

公式(2)(3)中，F(xiàn)rat(x)代表棘輪勢，呈周期性變化，其示意圖如圖1。k代表雙粒子之間的耦合勁度系數(shù)。α(t)為閃爍勢的開關(guān)，當(dāng)粒子1與粒子2所受勢能之和為正時(shí)，勢能打開，反之關(guān)閉。利用此方程組，可以求出粒子1和粒子2隨時(shí)間的位移演化。

圖1　棘輪勢示意圖

2　模擬結(jié)果與分析——影響停滯時(shí)間的參數(shù)的探究

對(duì)方程組(2)(3)的求解是一個(gè)非線性問題，難于獲得精確解，故采用龍格庫塔法數(shù)值求解。由于真實(shí)的動(dòng)植物細(xì)胞大致尺寸在1～10 um之間，因此在這里，選取與真實(shí)的生物細(xì)胞具有相同簡化參數(shù)的模型為例。取彈簧原長a=10-6m=1 um，勁度系數(shù)k=10-5N/m，外場力F=10-6N，棘輪勢

為F(x)=|10-6cos(106x)|N，粒子質(zhì)量為m=10-7kg=1 mg。取隨機(jī)力為期望等于0.001的正態(tài)分布。

2.1熱噪聲的強(qiáng)弱對(duì)停滯時(shí)間的影響

圖2為1000 s內(nèi)，粒子位移隨時(shí)間的演化圖。從圖2(a)中可以看出，粒子難以跨越1.5 um處的勢壘，而圖2(b)中，將熱噪聲擴(kuò)大十倍之后，粒子輕易的在1000 s內(nèi)到達(dá)了140 um處左右。

噪聲擴(kuò)大之后，系統(tǒng)的位移明顯增大，可見熱噪聲確實(shí)是跨越勢壘的動(dòng)力。并且，我們能夠看到，圖2(a)粒子在1.5 um處停滯了1000 s以上，圖2(b)最大停滯時(shí)間為100 s左右，與圖2(a)相比，被阻塞的時(shí)間變短了。由于粒子位移演化是一次方程的解，不能代表普遍情況。因此我們采取多次模擬求平均值的方法，取粒子平均停滯時(shí)間。

針對(duì)圖2的分析可得出結(jié)論，噪聲越弱，粒子平均被阻塞時(shí)間越長。

(a)熱噪聲的期望為〈ξ(t)〉=10-6N　　　　　　(b)熱噪聲的期望為〈ξ(t)〉=10-5N圖2　將熱噪聲擴(kuò)大十倍效果圖

2.2外場力對(duì)粒子停滯時(shí)間的影響

(1)恒定外場力

圖3為恒定外場力變化后，粒子位移隨時(shí)間演化關(guān)系，從圖3(a)中可以看出，當(dāng)恒定外場力為F=10-4N時(shí)，兩個(gè)布朗粒子起始位移一正一負(fù)，這可以認(rèn)為是雙粒子在外場力作用下偏離平衡中心較遠(yuǎn)的結(jié)果。從圖3(b)中可以看出，恒定外力減少到F=10-5N時(shí)，雙粒子之間保持較穩(wěn)定的相互作用，使其在較長一段時(shí)間內(nèi)(500 s)位移基本為零，而后，快速增加。從圖3(c)中可看出，當(dāng)恒定外力減少到F=10-6N時(shí)，兩粒子之間相互作用變得非常微弱，可以認(rèn)為這兩個(gè)粒子為獨(dú)立的單布朗粒子。故，從圖3中的分析可以得出結(jié)論，當(dāng)兩粒子之間的耦合相互作用存在一極值，這一極值可以影響輸運(yùn)過程中的阻塞，具有短時(shí)迅變特性(如圖3(b)所示)，這強(qiáng)烈地影響雙粒子的耦合輸運(yùn)。

(2)正弦外場力

令外場力呈正弦周期變化，且具有F=Fs·sin(ωt)(N)的形式，分別數(shù)值求解它的振幅和頻率對(duì)雙粒子耦合布朗系統(tǒng)阻塞的影響機(jī)制。

①振幅的影響

首先，我們?cè)O(shè)置正弦交變場的角頻率為ω=106，將Fs=10-5N增大到Fs=10-4N，即隨機(jī)力的十倍關(guān)系時(shí)，雙粒子輸運(yùn)將會(huì)出明顯的出現(xiàn)阻塞效應(yīng)，如圖4(b)中的峰值。

為了進(jìn)一步確定阻塞的短時(shí)變化，我們?cè)赱0,1]區(qū)間內(nèi)減小圖4(b)中的Fs=10-4N的比例，模擬結(jié)果如圖5所示。

圖3　恒定外場力與阻塞時(shí)間的關(guān)系

圖4　ω=106rad/s,振幅效果圖固定參數(shù)

圖5　探討影響輸運(yùn)阻滯的振幅范圍圖

從圖5中可以明顯地看出，隨著正弦力振幅的增大，阻塞效應(yīng)變得非常明顯(圖5(b)的峰值)。分析認(rèn)為：這與雙粒子之間的相互作用力呈明顯的依賴關(guān)系，即，輸運(yùn)阻塞的強(qiáng)弱與雙粒子之間的相互作用力對(duì)外部交變場振幅反映呈相關(guān)性。

②頻率的影響

為了清楚正弦力頻率與輸運(yùn)阻塞依賴關(guān)系，首先，固定Fs=10-4N，將正弦力頻率從ω=105逐漸變化到ω=103，如圖6所示。

從圖6中可以明顯地看出隨著外部施加的正弦力頻率的減小，阻塞效應(yīng)將變得越來越弱。分析認(rèn)為,這是由于雙粒子在背景介質(zhì)中，受到高斯隨機(jī)力的作用，處于平衡位置上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)的力場中，這樣的力場具有平均值為零的特點(diǎn)，當(dāng)外部場力的頻率變高時(shí)，雙粒子在背景噪聲的作用下，正向外部力施加于雙粒子后，還未等雙粒子回復(fù)到負(fù)向前，另一波正向力已經(jīng)到來，使得雙粒子的阻塞效應(yīng)表現(xiàn)明顯。

圖6　調(diào)整高頻周期外場力頻率效果圖

3　結(jié)論

本文通過對(duì)熱噪聲的強(qiáng)弱、恒定外場力、周期變化外場力的分別討論，總結(jié)得到了以下三種特殊情況，針對(duì)本文中的系統(tǒng)，在以下情況時(shí)，會(huì)進(jìn)入難以定向輸運(yùn)的阻塞階段。

(1)粒子輸運(yùn)動(dòng)力源于熱噪聲，故熱噪聲強(qiáng)度的期望低于〈ξ(t)〉=10-5N時(shí)，系統(tǒng)容易阻塞。

(2)兩粒子間耦合作用力存在某極值，超過F=10-6N正負(fù)外場作用力能夠在初始階段，有效產(chǎn)生阻塞效果。

(3)引入周期變化的正負(fù)外場力，通過調(diào)整振幅和頻率能夠有效影響阻塞效果。

通過以上研究發(fā)現(xiàn)，造成阻塞的情況不僅可以通過降低熱燥來處理，還能夠通過外加力場的大小、方向和頻率的影響形成阻塞。本文的結(jié)論對(duì)微流控芯片的設(shè)計(jì)、定向給藥、生物藥物研發(fā)等具有重要的研究意義和價(jià)值。

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(責(zé)任編輯：曾晶)

The Block of Double-particle Coupling Brownian System During Direct Transport

DU Qian1,2, BAI Zhongchen1, LU Anjiang2,ZHANG Zhengping1,2*

(1. Optoelectronic Technology and Application Provincial Key Laboratory, Guizhou University,Guiyang 550025, China;2. College of Big Data and Information Engineering, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

Some research was conducted on the feature of block of double-particle coupling brownian system which has interaction force between these two same brownian particles in the flashing ratchet during direct transport. The control variable method and comparative approach were adopted to analyze the mechanism of block and explore the relation between thermal noise and external field force was introduced. The results show that when external field force is constant, reducing thermal noise will lengthen block time apparently and when introduced external field force is high-frequency periodical force, the time of block could also be control by amplitude and frequency. The conclusion based on this research could be applied on biological medicine, material field, development of new drugs and accurate drug administration.

Brownian Ratchet; block; external field force; thermal noise

1000-5269(2016)02-0019-04

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.02.05

2015-12-07

國家自然科學(xué)基金(11204046)；國際合作研究項(xiàng)目(2014DFA00670)

杜謙(1990-)，男，在讀碩士，研究方向：微流控系統(tǒng)中的布朗粒子動(dòng)力學(xué)，Email：601542246@qq.com.

張正平，Email：zpzhang@gzu.edu.cn.

O552.1

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