管海龍，郭兵，褚昊

(山東建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250101)

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復(fù)合荷載下簡(jiǎn)支梁的彈性彎扭屈曲

管海龍，郭兵*，褚昊

(山東建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250101)

復(fù)合荷載作用下單向受彎簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩對(duì)簡(jiǎn)支梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)非常重要。文章基于總勢(shì)能公式，圍繞復(fù)合荷載作用下簡(jiǎn)支梁的彈性彎扭屈曲進(jìn)行了研究，針對(duì)簡(jiǎn)支梁在復(fù)合荷載作用下的彈性臨界彎矩計(jì)算公式適用范圍有限的情況，通過(guò)采用瑞利—里茲法主要推導(dǎo)了單個(gè)集中荷載、滿跨均布荷載和端彎矩單獨(dú)作用以及組合作用下簡(jiǎn)支梁的彈性臨界彎矩和對(duì)應(yīng)參數(shù)的計(jì)算方法，并與現(xiàn)有的計(jì)算方法進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明：推導(dǎo)的彈性臨界彎矩計(jì)算公式在形式上與傳統(tǒng)公式完全一致，但參數(shù)C1、C2、C3不再是簡(jiǎn)單荷載下的具體數(shù)值，而是通用計(jì)算公式，不僅可適用于簡(jiǎn)單荷載，也可適用于復(fù)合荷載;一系列的算例表明，文中所給公式的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)計(jì)算方法所得結(jié)果最大偏差為5.5%，精度較高且適用范圍廣。

彈性彎扭屈曲；簡(jiǎn)支梁；總勢(shì)能公式；臨界彎矩；復(fù)合荷載

0　引言

受彎構(gòu)件的穩(wěn)定研究始于18世紀(jì)，但早期沒(méi)有考慮彎曲與扭轉(zhuǎn)的耦合作用，直到19世紀(jì)末，國(guó)內(nèi)外學(xué)者才首次考慮，并建立了工字形截面受彎構(gòu)件的彎扭平衡微分方程[1-4]。隨著各種求解穩(wěn)定問(wèn)題近似方法的出現(xiàn)，彎扭屈曲理論在20世紀(jì)中葉得到了快速發(fā)展，形成了經(jīng)典彎扭屈曲理論。在此基礎(chǔ)上，后來(lái)的一些學(xué)者又通過(guò)不同的研究方法提出了新的見(jiàn)解[3-6]。

彈性臨界彎矩Mcr對(duì)穩(wěn)定設(shè)計(jì)非常重要，由于問(wèn)題的高度復(fù)雜性，各國(guó)規(guī)范給出的Mcr計(jì)算公式不盡相同。國(guó)內(nèi)外部分學(xué)者對(duì)復(fù)合荷載下簡(jiǎn)支梁的彎扭屈曲進(jìn)行了研究，研究對(duì)象或限于雙軸對(duì)稱截面，或限于特定的荷載形式，適用范圍有限[7-8]。周緒紅等和劉占科等雖然給出了參數(shù)C1、C2、C3的通用計(jì)算公式，可用于不同荷載類型并且可以同時(shí)考慮多種荷載，但由于文獻(xiàn)中假設(shè)的位移函數(shù)為單個(gè)正弦函數(shù)，只能描述對(duì)稱變形，與簡(jiǎn)支梁的實(shí)際變形不一定完全相符，當(dāng)荷載非對(duì)稱時(shí)，得到參數(shù)會(huì)有較大的偏差[9-10]。

文章研究復(fù)合荷載作用下簡(jiǎn)支梁的彈性彎扭屈曲，為了擴(kuò)大簡(jiǎn)支梁在復(fù)合荷載作用下的彈性臨界彎矩計(jì)算公式的適用范圍以及減小劉占科等計(jì)算公式的誤差[10]，文章將采用多項(xiàng)式表達(dá)的位移函數(shù)，并利用童根樹的總勢(shì)能公式，通過(guò)瑞利—里茲法對(duì)簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩及其參數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，得到復(fù)合荷載作用下的簡(jiǎn)支梁彈性臨界彎矩計(jì)算公式。

1　簡(jiǎn)支梁的臨界彎矩計(jì)算公式

1.1基本假設(shè)

推導(dǎo)臨界彎矩的總勢(shì)能公式有很多，比如Bleich公式、童根樹公式和呂烈武公式[11-13]。文章采用了童根樹的總勢(shì)能公式來(lái)研究臨界彎矩計(jì)算公式，勢(shì)能公式由式(1)表示為

-2Mu'θ'+2βyM'θθ'-2M'u'θ)dz

(1)

式中：П為總勢(shì)能，J；E為彈性模量，N/mm2；G為剪切模量，N/mm2；M為彎矩，kN·m；P為集中荷載，kN；qy為均布荷載，kN/m；Iy為繞y軸的慣性矩，mm4；Iω為翹曲慣性矩，mm6；It為自由扭轉(zhuǎn)慣性矩，mm4；βy為截面不對(duì)稱參數(shù)；l簡(jiǎn)支梁的長(zhǎng)度，m；u和θ分別為梁上任意一點(diǎn)在x方向的位移和該點(diǎn)繞剪心S的轉(zhuǎn)角；θ(z1) 為集中荷載處構(gòu)件截面的轉(zhuǎn)角;a為荷載作用點(diǎn)到剪心在y方向的距離，mm。圖1中各作用點(diǎn)在剪心上方時(shí)取負(fù)值，反之取正值。

圖1所示簡(jiǎn)支梁，承擔(dān)一個(gè)沿z方向任意位置的集中荷載P、滿跨均布荷載q以及端彎矩，假設(shè)P和q的作用點(diǎn)位置一致，與剪心之間在y向的距離為a，忽略自重的影響。

圖1　構(gòu)件坐標(biāo)、荷載及截面?zhèn)认驈澟の灰茍D(a)坐標(biāo)及荷載；(b) 截面位移

在圖1中P為集中荷載，kN；q為均布荷載，kN/m；M1、M2為端彎矩，kN·m；x、y、z為坐標(biāo)軸；z1為跨中集中荷載作用點(diǎn)的位置，mm；S為剪力中心；O為形心；u和θ分別為梁上任意一點(diǎn)在x方向的位移和該點(diǎn)繞剪心S的轉(zhuǎn)角；S′ 和O′分別為構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)后的剪力中心和形心；a為荷載作用點(diǎn)到剪心在y方向的距離，mm。

假設(shè)u、θ、ψ、ζ以及Mx的函數(shù)表達(dá)式由式(2)～(6)表示為

u=Aψ+Bζ

(2)

θ=Cψ

(3)

ψ=sin(πz/l)

(4)

ζ=sin(2πz/l)

(5)

Mx=Mmaxη

(6)

式中：ψ為u和θ的基函數(shù)；ζ為u的基函數(shù)；A、B、C為相對(duì)應(yīng)的系數(shù)；Mx為繞x軸的彎矩；Mmax為彎矩最大值；η為簡(jiǎn)支梁上彎矩的分布函數(shù)。

當(dāng)跨中作用集中荷載或集中荷載與滿跨均布荷載的復(fù)合荷載時(shí)，令q=βP，β為系數(shù)，設(shè)式(7)為

Mmax=Pe

(7)

其中，e為等效力臂，表達(dá)式(8)為

(8)

將式(2)、(3)、(6)、(7)代入總勢(shì)能公式即式(1)中，通過(guò)整理可得式(9)為

(9)

式中：k1～k10為參數(shù)，分別按式(10)～(19)計(jì)算為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

1.2臨界彎矩及參數(shù)公式

EIyk7A+EIyk10B-(k1+k2)MmaxC=0

(20)

EIyk10A+EIyk9B-(k3+k4)MmaxC=0

(21)

(EIωk7+GItk8+2k1Mmaxβy+2k2Mmaxβy-k5Mmaxβy+k5Mmaxa+k6Mmaxβy-k6Mmaxa)C

-(k1+k2)MmaxA-(k3+k4)MmaxB=0

(22)

因k10=0，可直接去掉，式(20)～(22)簡(jiǎn)化為(23)、(24)

EIyk7A-(k1+k2)MmaxC=0

(23)

EIyk9B-(k3+k4)MmaxC=0

(24)

(EIωk7+GItk8+2k1Mmaxβy+2k2Mmaxβy-k5Mmaxβy+k5Mmaxa+k6Mmaxβy-k6Mmaxa)C

-(k1+k2)MmaxA-(k3+k4)MmaxB=0

(25)

由A、B、C的系數(shù)行列式為零可得式(26)為

(26)

將式(26)進(jìn)行整理可得式(27)為

(27)

將k7、k8、k9的值代入式(27)，整理可得彈性臨界彎矩Mcr，由式(28)表示為

(28)

式中：C1、C2、C3為參數(shù)，分別按式(29)～(31)計(jì)算為

(29)

(30)

(31)

式中：當(dāng)跨中作用集中荷載或集中荷載與滿跨均布荷載的復(fù)合荷載時(shí)，k6=0。

2　與現(xiàn)有計(jì)算方法的對(duì)比分析

2.1跨中集中荷載

假設(shè)簡(jiǎn)支梁只在跨中央作用一個(gè)集中荷載，由式(32)表示為

(32)

由式(8)得e=l/4，由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.38、C2=0.56、C3=0.41；經(jīng)典的解析解[14]為C1=1.35、C2=0.55、C3=0.4；對(duì)應(yīng)參數(shù)的最大誤差為5.5%。

假設(shè)只在簡(jiǎn)支梁跨中四分之一處作用一個(gè)集中荷載，由式(33)表示為

(33)

由式(8)得e=3l/16，由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.527、C2=0.413、C3=0.557；由童根樹的βb公式解得βb=1.45[11]。當(dāng)荷載作用在剪心且為雙軸對(duì)稱截面時(shí)，C1應(yīng)與βb相等，誤差為5.3%。

為了能進(jìn)一步了解文章Mcr公式的具體偏差，下面舉一個(gè)實(shí)例來(lái)進(jìn)行對(duì)比分析。

圖2為跨中央承擔(dān)集中荷載的簡(jiǎn)支梁，選單軸對(duì)稱的工字型截面為分析對(duì)象，l=3000 mm。假設(shè)鋼材為彈性，彈性模量E=206000N/mm2，剪切模量G=79000N/mm2。該截面的幾何參數(shù)為：A=4386mm2、Ix=6.0118×107mm4、Iy=3.3939×106mm4、It=1.251×105mm4、βy=-104.8mm、Iω=2.7985×1010mm6、ys=-86mm。當(dāng)荷載作用點(diǎn)分別位于1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)點(diǎn)時(shí)的根據(jù)公式(28)～(31)計(jì)算的臨界彎矩見(jiàn)表1，其中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為經(jīng)典解[14]。

圖2　跨中作用集中荷載的簡(jiǎn)支梁圖/mm

荷載作用點(diǎn)位置Mcr值/(kN·m)誤差比/%1號(hào)點(diǎn)91.584(90.514)12號(hào)點(diǎn)114.935(113.218)13號(hào)點(diǎn)274.829(266.747)3

由表1可知，兩條公式求到的臨界彎矩值的誤差較小，最大不超過(guò)3%。

2.2滿跨均布荷載

假設(shè)只在簡(jiǎn)支梁上作用滿跨均布荷載，則式(34)為

(34)

由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.15、C2=0.47、C3=0.53；與經(jīng)典解析解完全一致，誤差為0[14]。

2.3端彎矩

假設(shè)只在簡(jiǎn)支梁上作用端彎矩，當(dāng)兩端彎矩相等且同號(hào)(η=1)時(shí)，由式(10)～(15)求得

k4=0，k5=0，k6=0

將k1～ k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1、C2=0、C3=1；與經(jīng)典解析解[14]完全一致，誤差為0。

當(dāng)兩端彎矩相等且異號(hào)，則式(35)為

(35)

由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=2.78、C2=0、C3=0；由童根樹的βb公式解得βb=2.64[11]。當(dāng)荷載作用在剪心且為雙軸對(duì)稱截面時(shí)，C1應(yīng)與βb相等，誤差為5.3%。

2.4復(fù)合荷載

圖3所示簡(jiǎn)支梁，承擔(dān)一個(gè)跨中央處的集中荷載P、滿跨均布荷載q以及端彎矩M、P與q的作用點(diǎn)位置相同，令q=4P/l、M=Pl/4，則

圖3　復(fù)合荷載作用下的簡(jiǎn)支梁圖

(36)

由式(8)得e=3l/4，由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.162、C2=0.157、C3=0.843；由Kirby的βb公式解得βb=1.143[15]。當(dāng)荷載作用在剪心且為雙軸對(duì)稱截面時(shí)，C1應(yīng)與βb相等，誤差為1.7%。

3　結(jié)論

針對(duì)單個(gè)集中荷載、滿跨均布荷載以及端彎矩組合作用下的單向受彎簡(jiǎn)支梁，文章利用瑞利—里茲法推導(dǎo)出了臨界彎矩Mcr及參數(shù)C1、C2、C3的通用計(jì)算公式，可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1) 文中推導(dǎo)的彈性臨界彎矩計(jì)算公式在形式上與傳統(tǒng)公式完全一致。

(2) 參數(shù)C1、C2、C3不再是簡(jiǎn)單荷載下的具體數(shù)值，而是通用計(jì)算公式，不僅可適用于簡(jiǎn)單荷載，也可適用于單個(gè)集中荷載、滿跨均布荷載以及端彎矩組合作用下的簡(jiǎn)支梁，集中荷載可沿z方向任意位置，而且復(fù)合荷載的大小與作用點(diǎn)位置也可以不同；一系列的算例表明，文中所給公式的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)計(jì)算方法所得結(jié)果最大偏差為5.5%，精度較高且適用范圍廣。

(3) 文章提供的計(jì)算方法也有局限性，要求集中荷載與均布荷載的作用點(diǎn)位置a相一致，對(duì)于a不同的情況還有待進(jìn)一步研究。

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(學(xué)科責(zé)編：吳芹)

Elastic flexural-torsional buckling of simply supported beam under combined loads

Guan Hailong, Guo Bing*, Chu Hao

(School of Civil Engineering, Shandong Jianzhu University, Jinan 250101, China)

The elastic critical moment of one-way flexural simply supported beam under combined loads is very important to the stable design of simply supported beam. The article is based on the total potential energy formula of Tong Genshu, studied around elastic flexural-torsional buckling of simply supported beam under combined loads, for the case of the scope of formula of the elastic critical moment of simply supported beam limited under combined loads, using Rayleigh-Ritz method to derive calculation method for critical simply supported beam bending moment and its parameters in the single concentrated loads、uniformly distributed load and end moment effect, making comparative analysis with the existing calculation method. The result shows: The critical moment formula derived in this article is fully consistent with the traditional formula in the form, however, the parameters CC2C3is no longer a specific value under the simple load, but the general formula, not only for simple load, but also be used in the composite load. A series of examples show that the maximum deviation of the results of the formula in this article and the traditional formula is 5.5%high precision and wide range of application.

elastic flexural-torsional buckling; simply supported beam; total potential energy equation; critical moment; combined loads

2016-03-23

管海龍(1992-)，男，在讀碩士，主要從事鋼結(jié)構(gòu)等方面的研究. E-mail: 1490479117@qq.com

*：郭兵(1970-)，男，教授，博士，主要從事鋼結(jié)構(gòu)等方面的研究. E-mail: sdgb123@163.com

1673-7644(2016)03-0249-05

TU996

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