劉長劍，　湯正誼

(蘇州大學數學科學學院，蘇州215006)

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兩個周期函數的和的周期性

劉長劍，湯正誼

(蘇州大學數學科學學院，蘇州215006)

顯然如果兩個周期函數的的周期之比為有理數，則它們的和仍然是周期函數.反之，如果已知兩個周期函數的和是周期函數，則這兩個周期函數周期之比是否一定是有理數？若這兩個函數之一是連續(xù)函數，給予上述問題肯定的回答.

周期函數； 最小正周期； 連續(xù)

1　引　　言

假設f1(x),f2(x)都是定義在實數集上的周期函數，問F(x)=f1(x)+f2(x)是否也是周期函數？

關于這個問題，人們已經得到大量結果，這里只列舉兩個結果：在[1]中證明了若周期函數f1(x)和f2(x)連續(xù)，則F(x)為周期函數的充要條件是存在這兩個函數的正周期使得這兩個正周期之比為有理數.在[7]中構造了反例，說明當f1(x)和f2(x)都不連續(xù)時，即使f1(x)和f2(x)的周期之比不是有理數，F(x)仍然可能是周期函數.

在本文中，將考慮f1(x)和f2(x)之間至少一個連續(xù)的情形.具體而言，結果如下：

定理假設f1(x),f2(x)都是定義在實數集上的周期函數且f1(x)連續(xù)，則

F(x)=f1(x)+f2(x)

為周期函數的充要條件是f1(x)和f2(x)的周期之比為有理數.

2　定理的證明

首先介紹兩個引理，其證明并不難，但為了讀者方便，我們仍然給出證明.

引理1若f(x)是定義在實數集上的連續(xù)周期函數且f(x)不是常數函數，則f(x)必有最小正周期.

證反設f(x)沒有最小正周期，下證f(x)恒等于f(0).

由于f(x)連續(xù)，所以任給ε>0,存在δ>0,使得只要|x′|<δ,就有|f(x′)-f(0)|<ε.由于f(x)沒有最小正周期，可以找到f(x)的一個周期T<δ.對于任意的實數x,存在整數n,使得x=nT+τ,0≤τ

|f(x)-f(0)|=|f(τ)-f(0)|<ε.

由ε和x的任意性知，f(x)恒等于f(0).這與f(x)不是常數函數矛盾，故f(x)必有最小正周期.

引理2若f(x)是定義在實數集上的周期函數且有最小正周期T0，又T是f(x)的任一周期，則T必是T0的整數倍.

證如若不然，則存在整數n,使得T=nT0+T′，0

f(x)=f(x+T)=f(x+nT0+T′)=f(x+T′).

上式說明T′也是f(x)的一個周期.但0

最后，來證明定理.充分性是顯然的，只需要證明必要性.

設f1(x),f2(x)和F(x)=f1(x)+f2(x)都是周期函數，分別取它們的周期為T1,T2,T3.則

0=F(x+T3)-F(x)=f1(x+T3)+f2(x+T3)-f1(x)-f2(x)，

于是

f1(x+T3)-f1(x)=f2(x)-f2(x+T3).

引入新函數G(x)=f1(x+T3)-f1(x)，則G(x)連續(xù).另一方面，由

G(x+T1)=f1(x+T3+T1)-f1(x+T1)=f1(x+T3)-f1(x)=G(x),

G(x+T2)=f2(x+T2)-f2(x+T3+T2)=f2(x)-f2(x+T3)=G(x),

知T1,T2都是G(x)的周期.

情形2：G(x)是常數函數.設此常數為c，即f1(x+T3)-f1(x)=c.對于任意正整數n,在上式中令x=0,T3,2T3,…,(n-1)T3，相加得

f1(nT3)-f(0)=nc.

另一方面，f1(x)為連續(xù)周期函數，從而f1(x)有界.無妨設|f1(x)|的上界為M.于是，nc≤2M.由n的任意性，c=0.所以

f1(x+T3)-f1(x)=0,f2(x+T3)-f2(x)=0，

即T3是f1(x)和f2(x)的公共周期.在此情形，取f1(x)的周期T3和f2(x)的周期T3，其周期的比等于1，也是有理數，定理的結論依然成立.

最后，給出定理的一個應用：取f1(x)=sinx,f2(x)=[x], 由于f1(x)的最小正周期是2π，f2(x)的最小正周期是1，其比不是有理數，另外，f1(x)連續(xù)，由定理，和函數

F(x)=f1(x)+f2(x)

不是周期函數.由于f2(x)不連續(xù)，以前的結果不能直接得出此結果.

3　結　　論

在本文中，解決了當兩個周期函數之一連續(xù)時，它們的和是否為周期函數的問題.我們這里考慮的函數都是定義在實數域上的，在理論與實踐上，人們會遇到復數域上的函數，自然地，有下面的問題：

若f1(x),f2(x)都是定義在復數域上的連續(xù)復值周期函數，則F(x)=f1(x)+f2(x)為周期函數是否等價于f1(x)和f2(x)的周期之比為有理數？

我們的證明不能解決這個問題，主要困難是復數域上的周期函數可以有兩個如1和i這樣有理無關的周期，使得引理1和引理2沒有意義.

[1]李繼閔. 周期函數的和、差、積、商的周期性[J]. 數學通報，1965(5)：40-43.

[2]鄧恒道. 關于周期函數的充要條件[J]. 工科數學，1993，9(3)：154-155.

[3]秦翠娥, 黃永強. 函數周期性的判定方法[J]. 工科數學，1994，10(2)：178-182.

[4]周大光，章合利. 周期函數和它的一個充要條件[J]. 工科數學，1994，10(3)：171-174.

[5]吳玫華. 周期函數Fourier級數展開式唯一性的簡單證明與推廣[J]. 大學數學，2006，22(4)：151-153.

[6]譚福錦，農吉夫. 復周期函數的若干性質[J]. 大學數學，2008，24(3)：148-151.

[7]Golomb S W. Periodic functions having incommensurable periods[J]. American Mathematical Monthly, 1957, 64: 598-599.

The Periodic Property of the Sum of Two Periodic Functions

LIU Chang-jian,TANG Zheng-yi

(School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou Jiangsu 215006, China)

Obviously if the ratio of two periods of two function is rational, then the sum of these two functions is also periodic. On the contrary, if the sum is periodic, then must the ratio of two periods be rational. In the present paper, we prove that if one of the two functions is continuous, then the problem is correct.

periodic functions; minimal positive period; continuous

2015-03-15；[修改日期]2016-06-13

國家自然科學基金面上項目(11371269); 江蘇省“青藍工程”青年骨干教師

劉長劍(1978-)，男，博士，教授，從事常微分方程定性理論研究.Email:liucj@suda.edu.cn

O178

C

1672-1454(2016)04-0082-03