張 永 紅

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南 714099)

?

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

基于張量積Bézier曲面生成組合混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

張 永 紅

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南 714099)

給出了一種基于組合混沌系統(tǒng)的圖像加密算法:首先,通過給定的密鑰生成器,獲得若干個(gè)混沌系統(tǒng)的初始值,利用所得初始值通過混沌系統(tǒng)生成若干個(gè)混沌矩陣；其次,利用張量積Bézier曲面的生成方法得到組合混沌矩陣,把所得的組合混沌矩陣和原始圖像進(jìn)行插值,得到插值圖像；最后,把插值圖像利用組合混沌序列進(jìn)行置亂處理,從而得到最終的加密圖像。數(shù)字實(shí)驗(yàn)表明,利用組合混沌系統(tǒng)進(jìn)行加密具有較好的加密與恢復(fù)效果。

數(shù)字圖像；混沌系統(tǒng)；插值；加密

0　引言

人們?cè)絹碓疥P(guān)心日新月異的信息技術(shù)發(fā)展中的信息安全問題,如何能夠保證信息量的完整性、可用性和保密性便成了信息安全技術(shù)中的一個(gè)最為基本的問題,在信息安全技術(shù)中一個(gè)最為必要的手段便是對(duì)信息的加密。

混沌現(xiàn)象是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的類隨機(jī)過程的表現(xiàn)形式之一[1],目前廣泛應(yīng)用于信息安全中。利用混沌系統(tǒng)對(duì)信息進(jìn)行加密主要是依賴該系統(tǒng)所生成的混沌序列的不可預(yù)測性[2-5]。文昌辭等[2,6]基于仿射變換和復(fù)合混沌系統(tǒng)提出了一種數(shù)字圖像加密的新算法,該算法首先利用三維類仿射變換對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行初步加密,然后根據(jù)像素的坐標(biāo)在置亂像素位置的同時(shí)對(duì)灰度值進(jìn)行混合,最后按行交替進(jìn)行非線性擴(kuò)散和自適應(yīng)替代,在替代過程中用圖像信息擾動(dòng)耦合的多個(gè)混沌系統(tǒng)從而進(jìn)行自適應(yīng)加密。郭銀景等[3]基于三維Baker映射與復(fù)合混沌序列提出了一種數(shù)字圖像加密算法,該算法分別選用了一維無限折疊映射和三維Baker映射對(duì)圖像進(jìn)行置亂,然后利用指數(shù)變換和一維Logistic映射對(duì)像素進(jìn)行擴(kuò)散處理。胡學(xué)剛等[4]結(jié)合一維與高維混沌系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn),基于一維Logistic系統(tǒng)和三維Lorenz系統(tǒng)提出了一種數(shù)字圖像加密算法,該算法依據(jù)加密矩陣和數(shù)字圖像自身特征,自適應(yīng)地對(duì)每一個(gè)像素點(diǎn)選擇不同的置亂和擴(kuò)散變換等等。

現(xiàn)有的這些算法均是把不同的混沌系統(tǒng)混合起來應(yīng)用于圖像加密之中,這里基于張量積Bézier曲面生成思想,首先獲得新的組合混沌系統(tǒng),然后把該組合混沌系統(tǒng)應(yīng)用于數(shù)字圖像加密之中,從而給出了一種基于組合混沌系統(tǒng)的圖像加密算法,該算法的思想是:首先,通過給定的密鑰生成器,獲得若干個(gè)混沌系統(tǒng)的初始值,利用所得初始值通過混沌系統(tǒng)生成若干個(gè)混沌矩陣；其次,利用張量積Bézier曲面的生成方法得到組合混沌矩陣,把所得的組合混沌矩陣和原始圖像進(jìn)行插值,得到插值圖像；最后,把插值圖像利用混沌序列進(jìn)行置亂處理,從而得到最終的加密圖像。

該算法的優(yōu)點(diǎn)是首先生成了新的組合混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)的初始條件較多,從而在應(yīng)用于圖像加密時(shí)使得密鑰空間大大增加,可以增大加密的安全性。數(shù)字實(shí)驗(yàn)表明,利用組合混沌系統(tǒng)進(jìn)行加密具有較好的加密與恢復(fù)效果及良好的安全性與抗攻擊性。

1　算法原理

1.1Logistic混沌系統(tǒng)

Logistic混沌系統(tǒng)[7]也被稱為蟲口模型,該混沌系統(tǒng)最早被用來描述和預(yù)測昆蟲數(shù)目變化情況,由于其表述簡潔、計(jì)算簡單而被廣泛應(yīng)用。

Logistic混沌系統(tǒng)的迭代形式如式(1)所示:

xn+1=f(xn,μ)=μxn(1-xn)。

(1)

其中：初始值x0∈(0,1),當(dāng)3.569 946 …≤μ≤4時(shí),Logistic系統(tǒng)的輸入和輸出都分布在區(qū)間(0,1)上,并呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。圖1給出了Logistic系統(tǒng)的分岔圖。

圖1　Logistic映射的分岔圖

圖2　組合混沌序列分布圖

圖3　組合混沌序列的初值敏感性

(2)

1.2張量積Bézier曲面

張量積Bézier曲面[8]定義為

(3)

張量積Bézier曲面改寫成矩陣的形式為

(4)

其中：參數(shù)u,v∈[0,1]。

1.3加密與解密算法

Step1:輸入大小為M×N的原始圖像PI ,密鑰序列K,μ,u,v,θ,λ,m,n;

通過線性變換

u=(1-θ)a+θb

(5)

Step3:將原圖像矩陣PI和組合混沌矩陣ECM對(duì)應(yīng)位置按照式(6)進(jìn)行線性插值

MidPI=(1-λ)PI+λECM；

(6)

Step4:利用組合混沌序列對(duì)MidPI進(jìn)行混沌置亂運(yùn)算,從而得到加密圖像EnI。

解密算法是加密算法的逆過程。

2　數(shù)值試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所給算法的有效性,分別選取不同的原始圖像進(jìn)行試驗(yàn),這里選取了Couple (64×64),Bridge(128×128),Camera(256×256),Lake(512×512),括號(hào)中的數(shù)字表示圖像的大小。其中圖4至圖7中的(a)分別表示原始圖像；圖4至圖7中的(b)分別表示加密圖像,這里密鑰選取:μ=4,u=0.2,v=0.3,K=qwertyuiopasdfgh,m=2,n=2,θ=0.1,λ=0.9;圖4至圖7中的(c)分別表示正確密鑰的解密圖像；圖4至圖7中的(d)分別表示錯(cuò)誤密鑰的解密圖像,這里的密鑰僅僅把K=qwertyuiopasdfgh改變?yōu)镵=zwertyuiopasdfgh,其他密鑰不改變。

從圖4至圖7中的(b)可以看出,該算法加密效果較好;從圖4至圖7中的(c)可以看出,該算法恢復(fù)效果較好；從圖4至圖7中的(d)可以看出,僅僅改變密鑰序列K的一位(a改為z),原始圖像便不能正確地恢復(fù)出來。從而可知,該算法具有較好的加密解密效果和較高的安全性。

圖4　對(duì)Couple應(yīng)用加密解密算法

圖5　對(duì)Bridge應(yīng)用加密解密算法

圖6　對(duì)Camera應(yīng)用加密解密算法

圖7　對(duì)Lake應(yīng)用加密解密算法

3　安全性分析

3.1密鑰空間和初值敏感性分析

加密算法的安全性首先體現(xiàn)在其具有足夠大的密鑰空間[9],致使其能夠更為有效地抵御暴力攻擊。這里所謂的密鑰空間是指所有應(yīng)用于加密算法和解密算法的所有不同的密鑰的總數(shù)[1]。該算法的密鑰序列為K,μ,u,v,θ,λ,m,n。其中:K=K1K2…Kk,Ki(i=1,2,…,k)表示第i個(gè)位置字母或者數(shù)字的二進(jìn)制表示; μ表示Logistic混沌系統(tǒng)的混沌參數(shù); (m+1)× (n+1)表示需要的混沌序列的個(gè)數(shù); u,v表示張量積曲面的參數(shù); θ,λ表示線性插值所需參數(shù)。因此,密鑰空間為2135(≈4.355 6×1040)。

圖8　密鑰敏感性分析

另一方面,密鑰的敏感性也是一個(gè)理想的加密方案所必須的,即對(duì)密鑰進(jìn)行細(xì)微改變的時(shí)候,加密結(jié)果會(huì)完全改變[7]。圖8針對(duì)Couple圖像給出了密鑰的敏感性分析,其中:圖8(a)表示密鑰正確時(shí)的解密圖像,其密鑰選取為:μ=4,u=0.2,v=0.3,m=2,n=2,θ=0.1,λ=0.9,K=qwertyuiopasdfgh；圖8(b)(c)(d)分別表示密鑰錯(cuò)誤時(shí)的解密圖像,這里僅僅改變密鑰K中的某一位,分別選取K1=zwertyuiopasdfgh，K2=qxertyuiopasdfgh， K3=qwcrtyuiopasdfgh,其他密鑰均不發(fā)生改變。從圖8可以看出,當(dāng)解密的密鑰僅僅一位發(fā)生改變時(shí),原始圖像便不能被正確恢復(fù)出來,由此可知該算法具有較好的密鑰敏感性,可以滿足加密的安全性要求。

3.2直方圖分析

直方圖是用來表示數(shù)字圖像變化情況的一種非常重要的工具。[10]利用直方圖可以非常清楚地解析出圖像的規(guī)則性,比較清晰直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)字圖像質(zhì)量特性的分布狀態(tài),對(duì)于數(shù)字圖像的分布狀況可以做到一目了然,從而可以非常方便的判斷出其總體質(zhì)量的分布情況。

圖9至圖12分別給出了圖像Couple、Bridge、Camera和Lake的加密實(shí)驗(yàn)的直方圖，其中：圖9至圖12中的(a)表示原始圖像的直方圖；圖9至圖12中的(b)表示加密后圖像的直方圖,這里密鑰選擇：μ=4,u=0.2,v=0.3,m=2,n=2,θ=0.1,λ=0.9,K=qwertyuiopasdfgh；圖9至圖12中的(c)表示正確密鑰解密圖像的直方圖；圖9至圖12中的(d)表示錯(cuò)誤密鑰解密圖像的直方圖,這里僅僅是把K=qwertyuiopasdfgh改變成為K1=zwertyuiopasdfgh,其他密鑰不變。

圖9　圖像Couple的直方圖

圖10　圖像Bridge的直方圖

圖11　圖像Camera的直方圖

圖12　圖像Lake的直方圖

由圖9至圖12可以看出，原始圖像與正確密鑰的解密圖像的直方圖基本相像,加密圖像和錯(cuò)誤密鑰解密圖像的直方圖與原始圖像的直方圖相差較大,由此可知該算法有效。

4　結(jié)語

本文提出了一種基于張量積Bézier曲面生成的組合混沌序列的方法,并將該組合混沌序列應(yīng)用于數(shù)字圖像加密中。首先利用特定的密鑰序列生成若干個(gè)混沌初始值,進(jìn)而利用張量積Bézier曲面生成了組合混沌序列,并把該混沌序列應(yīng)用于數(shù)字圖像加密之中。數(shù)字實(shí)驗(yàn)表明,利用組合混沌系統(tǒng)進(jìn)行加密具有較好的加密與恢復(fù)效果和良好的安全性和抗攻擊性。

[1] 廖曉峰,肖迪,陳勇,等.混沌密碼學(xué)原理及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2009.

[2] 文昌辭,王沁,劉向宏，等.基于仿射和復(fù)合混沌的圖像自適應(yīng)加密算法[J].通信學(xué)報(bào),2012,40(11):119-127.

[3] 郭銀景,武光收,王萍，等.基于三維Baker映射與復(fù)合混沌序列的圖像加密算法[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008,27(6)：68-71.

[4] 胡學(xué)剛,王月.基于復(fù)合混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2010,30(5)：1209-1211.

[5] G.R.Chen,Y.B.Mao,C.K.Chui.A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat map[J].Chaos,Solitons and Fractals，2004,21：749-761.

[6] 文昌辭,王沁,劉向宏，等.基于仿射和復(fù)合混沌的圖像加密新算法[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展,2013,50(2):319-324.

[7] 李彩虹,李貽斌,趙磊，等.一維Logistic映射混沌偽隨機(jī)序列統(tǒng)計(jì)特性研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究,2014,31(5)：1403-1406.

[8] Gerald Farin. Curves and Surfaces for Computer aided Geometric Design[M].Boston:Academic press,1984.231-251.

[9] 張永紅.基于有理Bézier曲面生成組合混沌序列的圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2015,42(4)：136-141.

[10] 張雪鋒.混沌序列生成技術(shù)及其若干應(yīng)用研究[D].西安:西安電子科技大學(xué)博士學(xué)位論文,2011.

【責(zé)任編輯牛懷崗】

An Algorithm of Image Encrypting Based on Multi-chaotic System Generated by Tensor Product Bézier Surfaces

ZHANG Yong-hong

(School of Mathematics and Physics,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

In this paper,an implementation of digital image encryption scheme based on the multi-chaotic system is proposed. The first,many initial conditions of Logistic chaotic system are generated by using the external secret key of 128-bit,and then many Logistic chaotic matrixes are generated; the second,the multi-chaotic matrix is generated based on tensor product Bézier surfaces; the third,the interpolation between plain-image and chaotic matrix is applied; finally,the chaotic address set is generated by using the multi-chaotic matrix,and then the permutation is given by using this chaotic address set. The algorithm has the advantage that both diffusion and scrambling are operated by using the multi-chaotic sequence. The results of several experimental,statistical analysis and key sensitivity tests show that the proposed image encryption scheme provides an efficient and secure way for real-time image encryption and transmission.

digital image; chaos map; interpolation; encryption

TP391.41

A

1009-5128(2016)12-0019-06

2016-03-14

陜西省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目：基于脊波和曲波的數(shù)字圖像降噪技術(shù)研究(2013JK0569)；渭南師范學(xué)院特色學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目：數(shù)學(xué)方法在秦東經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展中的應(yīng)用(14TSXK02)；渭南師范學(xué)院(省)扶持學(xué)科項(xiàng)目：基于小波的圖像加密算法研究

張永紅(1976—)，男,陜西合陽人,渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院副教授,理學(xué)碩士,主要從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)及圖像處理研究。