李慧鵬，曹亞運(yùn)，高　爽，季偉峰

（1.北京航空航天大學(xué)慣性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191；2.中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院探礦工藝研究所，成都611734）

測(cè)試三軸轉(zhuǎn)臺(tái)誤差分析及建模

李慧鵬1，曹亞運(yùn)1，高爽1，季偉峰2

（1.北京航空航天大學(xué)慣性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191；2.中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院探礦工藝研究所，成都611734）

以用于測(cè)斜儀的三軸轉(zhuǎn)臺(tái)為研究背景，通過(guò)分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，探討了三軸轉(zhuǎn)臺(tái)不正交度誤差源對(duì)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)精度的影響，并用MATLAB對(duì)它進(jìn)行了誤差建模，仿真計(jì)算得出了系統(tǒng)裝配不正交時(shí)三個(gè)坐標(biāo)的誤差率；最后，引入實(shí)際測(cè)試過(guò)程中角度傳感器的測(cè)量誤差，在三軸不正交的前提下又對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量誤差進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，通過(guò)仿真分析，研究探討了角度傳感器帶來(lái)的誤差規(guī)律，在實(shí)際應(yīng)用中為測(cè)斜儀標(biāo)定測(cè)試和誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)。

三軸轉(zhuǎn)臺(tái)；誤差建模；誤差仿真；轉(zhuǎn)移矩陣

0　引言

轉(zhuǎn)臺(tái)作為一種測(cè)試、半實(shí)物仿真的核心設(shè)備，其性能直接影響實(shí)驗(yàn)的精度。在實(shí)際操作中，由于轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備在制造中熱變形、摩擦、振動(dòng)以及安裝過(guò)程中誤差因素的影響，使得轉(zhuǎn)臺(tái)在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的軌跡與理想運(yùn)動(dòng)軌跡不完全重合，存在一定的誤差，最終導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的精度受到影響。因此，深入研究轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的各個(gè)誤差來(lái)源，并對(duì)其進(jìn)行誤差分析建模，采取相應(yīng)措施消除各類(lèi)誤差因素，對(duì)提高整個(gè)系統(tǒng)的仿真、測(cè)試精度具有不可或缺的意義。本文研究的對(duì)象是用于測(cè)斜儀標(biāo)定的三軸轉(zhuǎn)臺(tái)，研究的主要誤差來(lái)源是三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的不正交度。根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)理論，分析了不正交度誤差源對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備系統(tǒng)的影響，對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的誤差率進(jìn)行了誤差建模，從而為測(cè)斜儀標(biāo)定過(guò)程中的誤差分配和誤差補(bǔ)償提供理論依據(jù)。

1　理想情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

測(cè)斜儀在實(shí)際工作過(guò)程中，可以看作剛體在空間三維坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)，因此測(cè)斜儀的工作狀態(tài)特性可以由三軸轉(zhuǎn)臺(tái)來(lái)模擬。圖1是三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)示意圖，三個(gè)軸分別是方位軸、俯仰軸和橫滾軸。圖2是三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的坐標(biāo)變換關(guān)系示意圖，OX0Y0Z0表示地理坐標(biāo)系，即初始位置的正交坐標(biāo)系，作為被測(cè)件的參考坐標(biāo)系。OX1Y1Z1表示方位框架坐標(biāo)系，OX2Y2Z2表示橫滾框架坐標(biāo)系，OX3Y3Z3表示俯仰框架坐標(biāo)系；從三個(gè)軸處于正交時(shí)開(kāi)始，方位軸繞其轉(zhuǎn)動(dòng)軸OX0逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度α，橫滾軸繞其轉(zhuǎn)動(dòng)軸OY1逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度β，俯仰軸繞其轉(zhuǎn)動(dòng)軸OZ2逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度γ，得到轉(zhuǎn)動(dòng)后的坐標(biāo)關(guān)系如圖2所示。

圖1　三軸轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Scheme of the three-axis

圖2　三軸轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)變換關(guān)系示意圖Fig.2　Scheme of three coordinates’changes

設(shè)（x0，y0，z0）為初始坐標(biāo)，（x3，y3，z3）為旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，則兩坐標(biāo)關(guān)系如式（3）所示。

2　誤差建模

2.1初始實(shí)際坐標(biāo)值計(jì)算

定義OXaYaZa為實(shí)際旋轉(zhuǎn)時(shí)的直角坐標(biāo)系，OXiYiZi為理想直角坐標(biāo)系。

在實(shí)際坐標(biāo)系和理想坐標(biāo)系不完全重合的前提下，設(shè)Xa投影在Xi-Yi平面內(nèi)與Yi正半軸之間的誤差?yuàn)A角為δΔxy；Xa投影在Xi-Zi平面內(nèi)與Zi正半軸之間的誤差?yuàn)A角為δΔxz。同理，可定義δΔyx、δΔyz、δΔzx、δΔzy，則可以求出Xi與Xa，Yi與Ya，Zi與Za的誤差?yuàn)A角為δx、δy、δz。

假設(shè)在三軸不正交的情況下測(cè)得一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（i，j，k）a，根據(jù)以上推算，可以推出該點(diǎn)在理想直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（i，j，k）i，其關(guān)系如式（5）所示。

2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣矯正

已知在三維空間直角坐標(biāo)系中，空間中任意一點(diǎn)繞過(guò)原點(diǎn)的直線向量（x，y，z）按照右手定則旋轉(zhuǎn)一定角度后，得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為式（6）。這里規(guī)定坐標(biāo)系是右手系，矢量（x，y，z）必須是單位化了的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線向量。

由前面推算可知，實(shí)際的Xa在理想直角坐標(biāo)系下的單位直線向量為（1，tanδΔxy，tanδΔxz）/Mx；Ya在理想直角坐標(biāo)系下的單位直線向量為（tanδΔyx，1，tanδΔyz）/My；Za在理想直角坐標(biāo)系下的單位直線向量為 （tanδΔzx，δΔzy，1）/Mz，所以，當(dāng)物體繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)理想狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為T(mén)αi，如式（7）所示。同理可以得到當(dāng)沿Y軸Z軸旋轉(zhuǎn)β、γ時(shí)的理想狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Tβi、Tγi。

因?yàn)檎`差角很小所以，δmn→0，所以tanδmn→δmn。（m，n為任意x，y，z兩兩組合），所以可以化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)移矩陣為T(mén)αa、Tβa、Tγa，如式（8）～式（10）所示。

綜上所述，當(dāng)一個(gè)在初始不正交坐標(biāo)系下空間坐標(biāo)點(diǎn)為（i，j，k），經(jīng)過(guò)初始矯正，繞OXaYaZa分別按照右手定則旋轉(zhuǎn)α、β、γ后，兩坐標(biāo)關(guān)系如式（11）所示。

3　誤差仿真

用MATLAB對(duì)三個(gè)坐標(biāo)的誤差率進(jìn)行仿真分析。如圖3～圖5所示，根據(jù)式（2）和式（11）對(duì)三個(gè)坐標(biāo)的誤差進(jìn)行誤差建模，分析在三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度一定的情況下，當(dāng)誤差角度變化時(shí)對(duì)三個(gè)坐標(biāo)誤差率影響，以及當(dāng)誤差角度一定時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)度數(shù)變化對(duì)三個(gè)坐標(biāo)誤差率的影響；可以看出當(dāng)誤差角存在時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)存在一定的誤差率，誤差率的范圍大約在10-3數(shù)量級(jí)。

圖3　坐標(biāo)誤差率跟隨δΔxy、δΔxz變化的誤差曲線圖Fig.3　Error curve chart of coordinate error rate with δΔxy、δΔxzchanges

圖3是當(dāng)α=β=γ=45°，且δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)誤差率跟隨δΔxy、δΔxz變化的誤差曲線圖。

圖4　坐標(biāo)誤差率跟隨δΔxy變化的誤差曲線圖Fig.4　Error curve chart of coordinate error rate with δΔxychanges

圖5　坐標(biāo)誤差率跟隨β、γ變化的誤差曲線圖Fig.5　Error curve chart of coordinate error rate with β、γ changes

圖4是當(dāng)α=β=γ=45°，δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0.01°時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)誤差率跟隨δΔxy變化的誤差曲線圖。

圖5是當(dāng)δΔxy=δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0.01°，α= 45°時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)誤差率跟隨β、γ變化的誤差曲線圖。

在實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，編碼器存在測(cè)量誤差，假設(shè)已知外框編碼器測(cè)量誤差Δα=0.01°sin（α），中框編碼器測(cè)量誤差Δγ=0.01°sin（γ），內(nèi)框編碼器測(cè)量誤差Δβ=0.01°sin（β）。圖6是當(dāng)α=60°，β= 60°，γ變化時(shí)三個(gè)坐標(biāo)的誤差率曲線圖（假設(shè)δΔxy= δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0.01°）。圖7是當(dāng)α=60°，β=60°，γ變化時(shí)，由于編碼器存在而帶來(lái)的三個(gè)坐標(biāo)誤差的相對(duì)變化率（假設(shè)δΔxy=δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy= 0.01°），從圖7中可以看出誤差曲線成正弦函數(shù)變化。

圖7　γ角度變化時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)的相對(duì)誤差Fig.7　Coordinates’absolute error when γ changes

4　結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)用于測(cè)斜儀標(biāo)定的三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的安裝不正交度誤差以及角度傳感器測(cè)量誤差進(jìn)行分析，對(duì)其進(jìn)行誤差建模，仿真計(jì)算出了三個(gè)坐標(biāo)誤差率隨三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度的曲線變化規(guī)律。這為測(cè)斜儀的標(biāo)定和測(cè)試提供了理論依據(jù)，在測(cè)斜儀實(shí)際測(cè)試標(biāo)定中對(duì)誤差來(lái)源分配和誤差補(bǔ)償具有重要的實(shí)踐指導(dǎo)意義。

［1］Y Lin，Y Shen.Modeling of five-axis machine tool metrology models using the matrix summation approach［J］.Advanced Manufacturing Technology，2003，21（4）∶243-248.

［2］V.S.B.Kiridena，P.M.Ferreira.Kinematic modeling of quasistatic errors of three-axis machining centers［J］.International Journal of Machine Tools&Manufacture，1994，34（1）∶85-100.

［3］ 夏斯.三軸測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)精度特性分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［D］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010. XIA Si.Three accuracy properties of three-axis test table and control design［D］.Harbin Institute of Technology，2010.

［4］曲志勇，姚郁.仿真轉(zhuǎn)臺(tái)誤差分析及誤差建模［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2006，23（3）∶301-304. QU Zhi-yong，YAO Yu.Error analysis and error modeling of simulation turntable［J］.Computer Simulation，2006，23（3）∶301-304.

［5］ Louis A，De More.Design study for a high-accuracy three-axis test table［J］.AIAA Guidance and Control Conference，1985，10（1）∶104-114.

［6］李凡，朱國(guó)力.三軸標(biāo)定轉(zhuǎn)臺(tái)的指向誤差建模與仿真分析［J］.機(jī)械工程與自動(dòng)化，2014，187（6）∶147-149. LI Fan，ZHU Guo-li.Modeling and simulation analysis of pointing error for three-axis calibration rotary table ［J］.Mechanical Engineering and Automation，2014，187 （6）∶147-149.

［7］趙玉華，袁峰，丁振良.三軸仿真轉(zhuǎn)臺(tái)誤差建模與分析

［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，42（6）∶228-229. ZHAO Yu-hua，YUAN Feng，DING Zhen-liang.Error modeling and analysis of three-axis simulation turntable［J］.Journal of Sichuan University，2010，42（6）∶228-229.

［8］白雪峰，趙剡.單軸速率三軸位置慣性測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)誤差及傳遞分析［J］.航天控制，2006，24（2）∶26-29. BAI Xue-feng，ZHAO Yan，Errors propagation analysis of single-axis rate and three-axis position turntable［J］. Aerospace Control，2006，24（2）∶26-29.

［9］ Zhiyong QU，Yu Yao.Derivation of error models and error compensation procedure for simulation turntable using multi-body kinematics［C］.International Conference on Mechatronics&Automation Niagara Falls，2005∶1408-1411.

［10］ Z.S.Wang，Y.Wang，B.K.Su.Friction compensation for high precision turntable using adaptive sliding mode controller［J］.Industrial Electronics and Applications，2007∶1090-1094.

ErrorAnalysis and Modeling of Test Three-axis Turntable

LI Hui-peng1，CAO Ya-yun1，GAO Shuang1，JI Wei-feng2
（1.Key Laboratory on Inertial Science and Technology，Beihang University，Beijing 100191；2.Institute of Exploration Technology，Chengdu 611734）

Through analyzing the inclinometer’s three-axis turntable motion principle，this paper discusses the influence on the accuracy of three-axis turntable which is generated by the error source of three-axis nonorthogonality.And we build systematic error modeling as well as obtain three coordination’s error rate by simulating calculation.At last，by introducing actual angular transducer measuring error，we achieve a mathematical modeling on the premise of three-axis nonorthogonality.The research studies the angular transducer error pattern by simulation analysis，thus it provides theoretical foundation for inclinometer test and error compensation.

three-axis turntable；error modeling；error simulation；transfer matrix

TP202

A

1674-5558（2016）05-01110

10.3969/j.issn.1674-5558.2016.02.016

2015-04-20

李慧鵬，男，副教授，研究方向?yàn)閼T性技術(shù)與組合導(dǎo)航。