李朋，余諒（四川大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，成都　610065）

一種改進(jìn)的小波閾值去噪方法

李朋，余諒
（四川大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，成都610065）

0　引言

數(shù)字圖像在獲取、傳輸及存儲的過程中不可避免地會受到各種噪聲的污染，這不僅影響圖像的視覺效果，還會給對圖像的進(jìn)一步處理和分析帶來不利影響。因此，對圖像進(jìn)行去噪處理就顯得尤為重要。與傳統(tǒng)的去噪方法，如中值濾波、鄰域濾波、均值濾波等方法相比，小波變換具有衰減性和波動性，它可以對圖像的時域和頻域做局部化分析，通過伸縮平移變換達(dá)到對信號逐步地進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到在高頻處時間細(xì)分，在低頻處頻率細(xì)分的結(jié)果。在小波去噪方法中，尤以小波閾值去噪研究最為廣泛[1]。

1　小波閾值去噪的原理及步驟

1994年，Donoho和Johnstone提出了基于小波收縮（Wavelet Shrinkage）的去噪方法[2]，他們提出的Vis-uShrink方法就是最早的小波閾值去噪方法。小波所具有的低熵性、良好的時頻特性、去相關(guān)性等特點(diǎn)[3]，使得小波能夠?qū)π盘栠M(jìn)行多尺度分析，有效地分離圖像信號與噪聲。

1.1小波閥值去噪的原理

小波閾值去噪的基本原理是，含有噪聲的圖像信號經(jīng)小波變換后，有用信號的能量主要集中在少數(shù)幅值較大的系數(shù)上，而噪聲的能量則主要在高頻處且小波系數(shù)的幅值較小，所以，只要我們能確定一個合適的閾值，對分解得到的小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理，濾除噪聲的小波系數(shù)，保留有用信號的系數(shù)，就能實現(xiàn)對圖像的去噪[4]。小波閾值去噪實現(xiàn)起來比較簡單，去噪效果也較理想，因此，它得到了相關(guān)研究者的重視，是目前小波去噪方法中研究較為廣泛的去噪方法之一。

1.2小波閥值去噪的步驟

利用小波閾值方法對含噪圖像進(jìn)行去噪的一般步驟為：

（1）選擇合適的小波并確定分解層次，對含早圖像信號進(jìn)行小波分解，將其變換到小波域，得到個尺度的小波系數(shù)。

（2）選擇合適的閾值函數(shù)和閾值，對高頻小波系數(shù)進(jìn)行量化處理。

（3）將經(jīng)過閾值處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，得到去噪后的圖像。

很顯然，小波閾值去噪方法的關(guān)鍵步驟是選擇閾值函數(shù)以獲得合適的閾值，這樣才能達(dá)到理想的去噪效果。下一節(jié)將介紹小波閾值去噪中閾值函數(shù)和閾值的選擇方法。

2　小波閾值與閾值函數(shù)的選擇

2.1常見的閥值

小波閾值去噪中一個比較大的挑戰(zhàn)是如何找出一個合適的門限來充當(dāng)閾值。太小的門限值會使處理后的小波系數(shù)保留很多與噪聲有關(guān)的小波系數(shù)，使噪聲去除不徹底；而太大的門限值又會使與圖像信息有關(guān)的小波系數(shù)置為零，使圖像的重要細(xì)節(jié)信息丟失。因此，閾值的選取在小波閾值去噪方法中十分重要。下面介紹幾種常見的閾值估計方法。

（1）VisuShrink閾值

Donoho和Johnstone在1994年提出了VisuShrink方法[2]，該方法又被稱為通用閾值法。它是針對多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨向無窮時得出的結(jié)論，在最小最大估計限制下得出的最佳閾值。該閾值被定義為：

其中，σn是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，N是圖像中像素的個數(shù)。在該閾值估計方法中，相同的閾值被應(yīng)用在小波分解得到各級小波系數(shù)中。盡管通用閾值的估計結(jié)果相對平滑，但可能會產(chǎn)生過扼殺現(xiàn)象，在實際應(yīng)用的效果不太理想。

（2）SureShrink閾值

Donoho和Johnstone在1995年提出了一種基于Stein無偏似然估計 （Stein's Unbiased Risk Estimation，SURE）的軟域值估計方法，由此得到的閾值被稱為SureShrink閾值[5]。這種方法為不同層級的小波系數(shù)設(shè)定不同的閾值，SureShrink閾值的目的是使含噪圖像與原始圖像的均方誤差最小。SureShrink閾值的計算方法是先取得給定閾值的似然估計，如式（2）所示；然后再將似然函數(shù)最小化，得到所需要的閾值，如式（3）所示。

式（2）中，t是選定的初始閾值，Wj表示來自子帶j的小波系數(shù)，NW表示各子帶Wxy小波系數(shù)的個數(shù)和。Donoho和Johnstone指出，當(dāng)小波系數(shù)較多時，適用此閾值，當(dāng)小波系數(shù)個數(shù)較少時，宜用通用閾值。

（3）BayesShrink閾值

BayesShrink閾值[6]是在假定小波系數(shù)服從廣義高斯分布（Generalized Gaussian Distribution，GGD）的前提下，利用貝葉斯數(shù)學(xué)框架、以最小化貝葉斯平均風(fēng)險為準(zhǔn)則來找到各子帶詳細(xì)小波系數(shù)。BayesShrink閾值的定義如式（4）所示。

式中，σnoise表示噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差，σsignal表示圖像信號的標(biāo)準(zhǔn)方差。

2.2常見的閥值函數(shù)

在小波閾值去噪方法中，常見的閾值函數(shù)主要是硬閾值（Hard threshold）函數(shù)和軟域值（Soft threshold）函數(shù)。

（1）硬閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)是將絕對值小于或等于閾值的小波系數(shù)當(dāng)作噪聲，予以去除，對其作置零處理，將絕對值大于閾值的小波系數(shù)予以保留。硬閾值函數(shù)的表達(dá)式如下式所示。

式中，ω表示小波系數(shù)，T表示所選擇的閾值，Thard（ω）表示經(jīng)硬閾值函數(shù)量化處理后的小波系數(shù)。

（2）軟域值函數(shù)

軟域值函數(shù)也是將絕對值小于或等于閾值的小波系數(shù)當(dāng)作噪聲，予以去除，即作置零處理，而將絕對值大于閾值的小波系數(shù)當(dāng)作圖像信息，并按照一定比例收縮后保留。軟域值函數(shù)的表達(dá)式如下所示。

式中，ω表示小波系數(shù)，T表示所選擇的閾值，Tsoft（ω）表示經(jīng)硬閾值函數(shù)量化處理后的小波系數(shù)。函數(shù)sgn（ω）是符號函數(shù)，它返回變量ω的符號。

一般來說，由于硬閾值函數(shù)直接把絕對值小于閾值T的小波系數(shù)置為零，因此硬閾值函數(shù)會使圖像在T和-T處產(chǎn)生不連續(xù)現(xiàn)象，但可以較好地保留邊緣等局部特征，而軟域值函數(shù)處理要相對平滑，但會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。

2.3改進(jìn)的閥值與閥值函數(shù)

（1）改進(jìn)的閾值

考慮到通用閾值會產(chǎn)生“過扼殺”現(xiàn)象等缺點(diǎn)，在參考其他學(xué)者研究成果的基礎(chǔ)上[7-9]，本文提出了一種改進(jìn)的閾值選取方法，如下式所示：

其中，Timprove表示對第j層小波系數(shù)所選取的閾值的閾值，σ是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，N是輸入的圖像中含有的像素個數(shù)。j表示小波分解尺度。由式（7）可以看出，當(dāng)j=1時，所選取的閾值為；當(dāng)j=2時，所選取的閾值大于j=1時的閾值，而在j>2以后，所選取的閾值又依次減小。之所以這樣選擇閾值，是因為在小波分解的高頻系數(shù)中，除了噪聲信息外，還有圖像的細(xì)節(jié)信息，因此，為了較多地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，本文在對第二層小波系數(shù)處理時，所選取的閾值比第一層的閾值增大了；又由于隨著小波分解尺度的增大，噪聲的幅值逐漸減小，所以當(dāng)j>2后，選取的閾值又逐漸減小。綜上所述，本文所選取的閾值具有一定的自適應(yīng)性，更符合噪聲在不同層次的分布及圖像細(xì)節(jié)信息的實際分布情況，因此，改進(jìn)后的閾值去噪效果更理想。

（2）改進(jìn)的閾值函數(shù)

針對軟域值會造成圖像邊緣模糊失真等缺點(diǎn)，本文提出了一種改進(jìn)的閾值方法所選取的閾值函數(shù)是如下式所示。

由式（8）可知，與原來的軟域值函數(shù)相比，改進(jìn)后的閾值函數(shù)的主要變化是對|ω|T的小波系數(shù)全置為0，改進(jìn)后的函數(shù)是在原始閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行萎縮，且使其具有更高階，從而使新閾值函數(shù)在|ω|=T和|ω|=-T處的圖像是連續(xù)的且是平滑過渡的，這樣，噪聲（小波系數(shù)）與有用信號（小波系數(shù)）之間存就在一個平滑過渡區(qū)，從而在一定程度上降低圖像的邊緣模糊程度。

3　算法仿真

圖1　不同閾值去噪方法對高斯噪聲去噪的結(jié)果比較

實驗采用MATLAB（R2010b）自帶的圖像camera-man.tif進(jìn)行仿真實驗，各種閾值去噪方法所用圖片均加入均值為0、方差為0.005的高斯白噪聲，用sym4小波函數(shù)（由于sym小波有更好的對稱性，更適合于圖像處理，且能減小圖像重構(gòu)時的相移[10]）對圖像進(jìn)行4層小波分解，然后在不同小波分解層采用不同的閾值去噪方法對小波系數(shù)進(jìn)行處理，最后重構(gòu)圖像。camera-man圖片的原始圖像、加入高斯噪聲的圖像、硬閾值去噪圖像、軟域值去噪圖像以及經(jīng)參考文獻(xiàn)[7]、[8]、[9]提出的閾值去噪算法處理后的去噪圖像和經(jīng)本文提出的改進(jìn)閾值的小波閾值去噪方法處理后的去噪圖像如圖1（a）-（h）所示。

主觀上看，上述小波閾值去噪方法都不能完全去除噪聲，但與其它方法相比，本節(jié)所提出的基于新閾值的去噪方法在去除圖像噪聲方面更徹底些，處理后的圖像更平滑自然些。

從客觀角度評價上述幾種基于小波閾值的圖像去噪方法（本文中，我們選擇所得去噪圖像的均方誤差和峰值信噪比作為比較內(nèi)容），由MATLAB計算出的經(jīng)上述各種閾值去噪方法對含噪圖像 （所含噪聲是均值為0、方差為0.005的高斯白噪聲）進(jìn)行去噪處理后所得圖像的均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）如表1所示。

由表1中的數(shù)據(jù)，我們可以看出，提出的基于小波變換的改進(jìn)閾值很改進(jìn)閾值函數(shù)去噪方法比上述其他幾種方法有明顯的優(yōu)勢：去噪更徹底，且對于圖像的一些細(xì)節(jié)信息有更多保留，此外，由該方法的進(jìn)行去噪處理后所得去噪圖像的峰值信噪比也較高，均方誤差較小，與原始圖像的差別度較小。

表1　不同閾值去噪方法對高斯噪聲去噪的MSE和PSNR比

4　結(jié)語

本文在分析了小波閾值去噪原理、步驟、閾值選擇及軟硬閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，針對常用閾值及軟硬閾值函數(shù)的不足，提出了改進(jìn)閾值與改進(jìn)閾值函數(shù)的小波閾值去噪算。實驗證明，本文提出去噪方法是有效的，對高斯噪聲的去除效果較好。

[1]王蓓，張根耀，李智，王靜.基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法[J].計算機(jī)應(yīng)用，2014，34（5）：1499-1502.

[2]Donoho DL，Johnstone IM.Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet Shrinkage[J].Biometrika，1994，81:425-455.

[3]李旭超，朱善安.小波域圖像降噪概述[J].中國圖象圖像學(xué)報，2006，11（9）：1201-1209.

[4]程正興，楊守志，馮曉霞.小波分析的理論算法進(jìn)展和應(yīng)用[M].北京，國防工業(yè)出版社，2007.

[5]Donoho DL，Johnstone IM.Adapting to Unknown Smoothness Via Wavelet Shrinkage[J].AmericanStaticalAssoc，1995，90（432）: 1200-1224.

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[7]王香菊.基于中值濾波和小波變換的圖像去噪方法研究[D].西安科技大學(xué)，2008.

[8]楊鑫蕊.改進(jìn)的小波閾值去噪算法研究[D].哈爾濱理工大學(xué)，2014.

[9]蔡德尊.基于小波變換的圖像去噪算法研究[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.

[10]董長虹，高志，余嘯海.MATLAB小波分析工具箱原理與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2004.

Image Noise;Soft and Hard Threshold;Wavelet Transform;Threshold Denoising

An Improved Wavelet Threshold Denoising Method

LI Peng，YU Liang
（College of Computer Science，Sichuan University，Chengdu 610065）

1007-1423（2016）07-0072-05

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.07.017

李朋（1988-），男，河南周口人，碩士研究生，研究方向為多媒體技術(shù)余諒（1963～），男，四川成都人，副教授、博士，研究方向為多媒體技術(shù)

2016-01-26

2016-02-28

數(shù)字圖像在獲取、傳輸及存儲的過程中不可避免地會受到各種噪聲的污染，這不僅影響圖像的視覺效果，還會給對圖像的進(jìn)一步處理和分析帶來不利影響。因此，對圖像進(jìn)行去噪處理就顯得尤為重要。針對小波軟、硬閾值去噪方法的缺點(diǎn)，提出一種改進(jìn)的小波閾值去噪方法，該方法的去噪效果要優(yōu)于軟硬、閾值去噪方法和其他一些改進(jìn)算法。

圖像噪聲；軟硬閾值；小波變換；閾值去噪

In the process of acquisition,transmission and storage,digital image inevitably will be polluted by a variety of noise,this not only influ-ence the visual effect of the image,but also will bring trouble in further processing and analysis of the image.Therefore,it is very impor-tant to remove the noise of the image.For soft and hard threshold wavelet denoising method exist some shortcomings,proposes an im-proved wavelet threshold denoising method,the denoising effect of this method is superior to the hard and soft threshold method and some other improved algorithms.