劉　彪

(西安電子科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710126)

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一種改進的各向異性擴散模型

劉彪

(西安電子科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710126)

各項異性擴散方程是一種經(jīng)典的圖像去噪方法，但該方法在去除噪聲的過程中會造成一定程度的模糊邊緣。對此文中提出了一種基于改進的各向異性擴散方程的圖像去噪方法，通過在其能量泛函的目標函數(shù)中添加殘差項，使能量泛函的極小解更加接近原始的函數(shù)，可取得比其更好的去噪效果。文中方法可看作是各項異性擴散方程和全變差模型的結(jié)合。實驗表明，新提出的方程相對經(jīng)典的方程有較好的邊界處理效果和更高的信噪比。

各項異性擴散；圖像光滑化；能量泛函；偏微分方程

圖像是人類社會有力的通訊媒介之一，在生活和研究中占據(jù)很大的重要性。但是圖像在傳遞過程中，不可避免地會受到噪聲的干擾。圖像去噪作為圖像處理領(lǐng)域[1-2]重要的問題之一，主要目的是在去除噪聲的同時保護圖像本身的細節(jié)邊界等信息。目前已經(jīng)有多種圖像去噪的方法，主要有基于變分和偏微分方程的方法，經(jīng)典的方法有熱方程[3]，各向異性擴散方程[4]，TV模型[5-6]，且在其的基礎(chǔ)上發(fā)展出了諸多的模型[7]。這些方法可去除噪聲，但仍會一定程度的造成圖像的邊緣的模糊。

本文在經(jīng)典的各向異性擴散方程P-M[8]方程(Perona-Malik)的基礎(chǔ)上，對其進行改進。經(jīng)典的P-M方程可看作一個特殊的能量泛函的歐拉方程，求歐拉方程的過程就是一個求能量泛函極小的過程。本文在P-M模型的能量泛函中添加殘差項(忠誠項)，這是為了使其能量泛函的極小解更加接近原始的圖像。當然，全變差模型TV模型[7](Total Variation Model)的能量泛函本來含有殘差項與正則項的。因此這種改進方法也可以看作是P-M方程和TV模型的結(jié)合。并且在本文中給出了數(shù)值算法流程，并對比了改進算法與原始P-M模型。

1　一種新的各項異性擴散模型

1.1P-M方程

文中了解P-M方程是圖像去噪算法中重要的一種模型，其是傳統(tǒng)的熱擴散方程的一個推廣，具體的方程如下

(1)

其中，c(|u|2)是一個擴散系數(shù)，其依賴于圖像的梯度。當c(|u|2)=1時，模型退化為熱方程，即高斯光滑濾波。P-M方程在其基礎(chǔ)上進行改進。將擴散率函數(shù)c(|u|2)推廣為梯度u的函數(shù)，熱方程可看作是各項異性擴散模型的一個特殊的形式。通過適當定義擴散率函數(shù)c(|u|2)的形式，可調(diào)節(jié)P-M模型對圖像的擴散的作用，使得其既去噪又能較好的保護邊緣。

當然，該方程可看作是求一個能量泛函極小化的能量耗散過程，用變分的方法可通過能量泛函極小化得到偏微分方程的形式。能量泛函有如下形式

(2)

其中，φ(·)≥0是一個關(guān)于梯度的增函數(shù)，其與P-M方程中的擴散系數(shù)有如下關(guān)系

(3)

這里的s表示梯度模值的平方

s=|u|2

(4)

通過對式(2)進行求解，得到歐拉方程為(因為能量泛函極小化的求解可看作其關(guān)于u的導數(shù)為0)

div(c(|u|2)u)=0

(5)

用最速下降法解決這一方程便可得到傳統(tǒng)的P-M方程。

1.2P-M方程的推廣

本文對上述方程進行改進，在Perona 和Malik提出的各向異性擴散方程的基礎(chǔ)上，在能量泛函中添加殘差項。這樣會使得改進模型相比較P-M方程更加接近原始的圖像，保留圖像的主要特征。這樣能量泛函方程式(2)變?yōu)?/p>

(6)

其中，L2(Ω)是能量有限函數(shù)或圖像空間；f是退化圖像；u是原始真實圖像。當然，函數(shù)φ的形式取作不同的函數(shù)，模型的效果也不同。

求解上述改進的能量泛函式(6)的歐拉方程，即能量泛函的極小解。文中討論退化過程中只有噪聲，則有

(7)

求極小即導數(shù)為0，可得到等價的形式

div(c(|u|2)u)+λ(f-u)=0

(8)

此歐拉方程式(8)可用最速下降法求解，得到的改進各項異性擴散模型，如式(9)所示的形式

(9)

在求解中，方程中的λ可調(diào)節(jié)忠誠項和正則項的作用。

對于方程中擴散率函數(shù)c(|u|2)，需要滿足一些條件才能保證方程的有效性，本文列舉幾種經(jīng)常用到的擴散率函數(shù)的形式

(10)

這種情況下的擴散方程(9)是一個光滑型的偏微分方程，可去除噪聲。若擴散率函數(shù)取

(11)

或

c(s)=e-s/k

(12)

這也是Perona和Malik提出的兩個函數(shù)，由于函數(shù)的性質(zhì)，這兩種函數(shù)式(11)和式(12)可去除噪聲并保護邊緣。

若與TV模型相比較，TV模型中的擴散率函數(shù)可看作(10)中的函數(shù)。本文選用擴散率函數(shù)(11)作數(shù)值仿真實驗。所以，本文提出的模型可看作是PM模型和TV模型的一個結(jié)合，可以取得比二者更好的結(jié)果。

1.3數(shù)值算法

在計算機中的數(shù)字圖像處理中，圖像是以二維矩陣的形式存儲和處理的。對于本文提出的模型式(9)，可用差分的方法對圖像進行擴散，用差分近似函數(shù)的梯度。對于二維圖像，計算4個方向的差分

(14)

然后通過差分近似計算梯度，從而計算擴散率函數(shù)，具體的算法流程如圖1所示。

圖1　算法流程圖

按照流程圖1對圖像進行迭代，不斷更新圖像中每個點的像素值。當新舊圖像中的像素值的變化小于某個值時，迭代停止，用最后得到的像素值代替原來對應的像素值，就得到了處理后的結(jié)果。同時，恢復圖像的PSNR值也達到最優(yōu)。

2　數(shù)值試驗

接下來，對所提算法的有效性進行說明，對比文中提出的新算法和原始的各向異性擴散模型。在圖2中對比了本文的算法與PM模型對Lena圖的處理結(jié)果，如圖2所示，文中算法可取得更好的視覺效果。為更直觀的對比，在表1中列舉了兩種算法的比較的PSNR值，從表中也可看出，文中的算法取得了更高的PSNR值，說明該算法的有效性。

圖2　去噪效果對比圖

σ=15σ=20σ=25σ=30Lena512×512P-M本文方法31.8332.1530.7930.8529.7929.8728.9529.04Barbara512×512P-M本文方法28.5928.6826.8826.9725.6425.7324.8424.64

3　結(jié)束語

文中給出了一種基于各向異性擴散方程的新圖像處理方法。其可看作是一個能量泛函的歐拉方程，因此P-M模型也可看作是一個能量泛函極小化的過程。本文提出的算法能量泛函是在P-M模型能量泛函的基礎(chǔ)上添加忠誠項得到的。所以，可將其看作是對P-M模型的一種推廣，可取得比傳統(tǒng)P-M模型更好的去噪效果。被推廣后的能量泛函的形式與TV模型的能量泛函的形式類似，文中算法可看作是P-M模型和TV模型的一個結(jié)合。

因圖像可看作是一個二維的離散的函數(shù)，所以需要運用差分的方法近似得到不同點的導數(shù)，本文給出了模型的算法流程。為驗證算法的有效性，在最后對這種算法進行了數(shù)值仿真實驗。可從數(shù)據(jù)中看到，這種模型比原始P-M模型和TV模型均取得了更高的PSNR值，且視覺效果更好。

[1]Buades A,Coll B,Morel J M.Image denoising methods with A new nonlocal principle[J].SIAM Review,2010,52(1): 113-147.

[2]Buades A,Coll B,Morel J M.A review of image denoising algorithms, with a new one[J]. Multiscale Modeling & Simulation,2005,4(2): 490-530.

[3]Lindenbaum M,Fischer M,Bruckstein A. On Gabor’s contribution to image enhancement[J].Pattern Recognition,1994, 27(1):1-8.

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A New Modified Anisotropic Diffusion Equations

LIU Biao

(School of Mathematics and Statistics，Xidian University, Xi’an 710126, China)

The anisotropic diffusion equation is a classical image denoising method, but this method can cause a certain degree of fuzzy edge in the process of removing noise. This paper presents a based on improved anisotropic diffusion equation for image to denoising method, through in the objective function of the energy functional add residuals and make the energy functional minimizer is closer to the original function can get better denoising effect. The method can be regarded as the combination of the anisotropic diffusion equation and the total variation model. Experiments show that the new equation has better boundary treatment effect and higher signal to noise ratio than the classical equation.

anisotropic diffusion; image smoothing; energy functional; differential equation

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.08.038

2015-11-24

劉彪(1989-)，男，碩士研究生。研究方向：圖像處理等。

TP391.41;O24

A

1007-7820(2016)08-130-03