王智浩

(1.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093；2.上海工業(yè)自動化儀表研究院，上海 200233)

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NSGA-II在不同性能指標組合下的PID參數(shù)優(yōu)化

王智浩1,2

(1.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093；2.上海工業(yè)自動化儀表研究院，上海 200233)

文中對于PID參數(shù)整定問題，通過分析比較不同組合的性能指標，在基于多目標智能優(yōu)化算法下進行PID參數(shù)整定。該方法基于非支配排序多目標遺傳算法(NSGA-II)，在采用不同性能指標組合后生成的不同目標函數(shù)空間，通過Matlab進行控制系統(tǒng)仿真后，對輸出的階躍響應曲線進行了分析和比較,從而尋找到了IAE、ISE以及控制輸入的平方項作為最優(yōu)的三目標性能指標組合。

多目標優(yōu)化算法；PID; NSGA-II; Matlab

PID控制器因其算法簡單、魯棒性強,因而被廣泛應用于化工、冶金、機械、熱工和輕工等工業(yè)過程控制系統(tǒng)中[1]。但PID控制在實際運用上仍面臨兩個關鍵問題：一是建立一個綜合多種因素動態(tài)數(shù)學模型通常是很困難的；另一個就是PID 參數(shù)的整定，即針對特定的系統(tǒng)建立數(shù)學模型，運用優(yōu)化方法按照一定的性能指標進行尋優(yōu)，使PID 控制系統(tǒng)達到所期望的控制性能。

本文旨在對第2個問題即PID參數(shù)整定提出一種新的思路和解決方法，目前最多的優(yōu)化準則都是按照單一誤差積分性能指標來優(yōu)化系統(tǒng)[2]，但在實際運用中幾種性能指標均有不同的優(yōu)缺點，同時為了保證實際應用的效果，研究人員通常需要對準則進行修改并添加權重[3-7]。

為解決這一問題文中采用了基于非支配排序多目標遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II ，NSGA-II)[8]，算法是目前流行的多目標進化算法之一。該算法已在類似的多目標優(yōu)化問題上取得了較好的效果[9-10]，其在使用中最大的優(yōu)勢在于無需考慮權重的問題，該算法可對多個目標進行綜合比較從而取得Pareto最優(yōu)(即最優(yōu)的PID參數(shù)集合)，這在較大程度上保留了不同性能指標的優(yōu)點同時也消除了彼此的缺點。

1　基于NSGA-II的PID參數(shù)優(yōu)化設計

1.1基于NSGA-II的PID控制系統(tǒng)原理

控制系統(tǒng)由控制器和被控對象以及優(yōu)化設計環(huán)節(jié)組成，控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1　控制系統(tǒng)框圖

在該控制系統(tǒng)中由控制器根據(jù)設定值r與實際輸出值y進行比較，所得偏差e作為PID 控制器的輸入值，經PID控制產生控制量u(k)，之后將所得偏差e(k)、控制量u(k)與實際輸出值Yout(t)輸入優(yōu)化設計模塊。利用NSGA-II算法對PID控制器的比例增益Kp、積分增益Ki、微分增益Kd這3個參數(shù)組合在一起作為進化算法種群中的個體即決策變量，以幾種誤差積分性能指標組合來為目標函數(shù)空間，并以其可能達到的極小值作為評價指標。然后對種群個體進行選擇、排序、交叉和變異操作，不斷地進化，直到找到群體中最優(yōu)目標個體，得到PID 控制器的最優(yōu)參數(shù)，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、準確性整體綜合性能達到理想的控制效果。

1.2PID控制原理

PID控制器是一種線性控制器，其是將偏差e(t)的比例、積分和微分通過線性組合構成控制量對被控對象進行控制。式(1)為其控制規(guī)律，式(2)為修改后的方程

(1)

(2)

式中，t為時間；kp表示比例增益；u(t)為本次控制量；e(t)為本次偏差；Ti表示積分時間常數(shù)；Td表示微分時間常數(shù)；ki表示積分增益；kd表示微分增益；ki=kp/Ti，kd=kp×Td。

為仿真方便，可通過離散化將連續(xù)系統(tǒng)直接化為差分方程。式(2)即為離散化后的差分方程

Δu(t)=Kpe(t)+KiΔe(t)+KaΔ2e(t)

(3)

1.3性能指標

這里文獻[11]選取了6種誤差積分準則的性能指標，如表1所示。

表1　6種性能指標函數(shù)數(shù)字算法

1.4算法流程

基于非支配排序多目標遺傳算法(NSGA-II)的執(zhí)行步驟如下：(1)初始化種群。等概率初始化每個個體的純變異策略；(2)排序。按照性能指標組成的目標函數(shù)進行非支配排序確定非支配序列，進而對每個個體進行適應度計算；(3)混合變異操作。根據(jù)個體變異的概率，產生子代個體；(4)選擇。選取父代種群以及子代種群的集合，利用錦標賽方法(即首先比較排序，若處于相同序列，則進行擁擠度算子比較)選擇出下一代種群個體；(5)終止。判斷是否滿足最大演化代數(shù)的終止，若滿足，則算法終止；否則重復步驟(2)～步驟(4)，直至滿足終止條件。

2　實驗仿真

2.1實驗對象及參數(shù)選取

在過程控制中，許多系統(tǒng)在進行系統(tǒng)辨識時常被近似為一階或二階的典型系統(tǒng)，為比較NSGA-II算法用在PID控制器參數(shù)優(yōu)化整定的性能，針對以下二階時滯對象進行仿真研究,并與相同性能指標的SOA算法以及PSO算法進行比較。選取被控對象其傳遞函數(shù)為

(4)

其中，參數(shù)Kp、Ki、Kd的范圍分別為[0, 100]、[0, 100]和[0, 100], 輸入信號為單位階躍響應。群體大小為100,終止代數(shù)為100, 控制器的輸出限值為[-10, 10]。交叉概率0.9，變異率0.5，采用實數(shù)編碼。

2.2適應度函數(shù)選取

對于PSO和SOA算法，為獲得滿意的過度過程動態(tài)性能，采用IAE性能指標作為參數(shù)選擇的最小目標函數(shù)。同時為防止控制能量過大，在目標函數(shù)中加入控制輸入的平方項，選用的目標函數(shù)如式(5)所示。

(5)

其中，u(t)為本次控制量；e(t)為本次偏差；ω1和ω1為權值。

為避免超調，采用了懲罰控制，如果e(t)<0，則超調量將作為最優(yōu)指標的一項，此時目標函數(shù)如式(6)所示。

(6)

其中，ω3為權值，且ω3≥ω1，這里取ω1=0.999，ω2=0.001,ω3=100。

對于NSGA-II算法，文中在保留懲罰控制的前提下，取消了上述權重ω1和ω2，并將式(5)和式(6)重修改為對應的目標函數(shù)，此時目標函數(shù)為式(7)～式(9)

(7)

(8)

(9)

其中，式(6)和式(8)為懲罰控制，當且僅當e(t)<0時才會選用這個方程，一般情況只使用式(5)和式(7)。

2.3仿真結果與分析

圖2為NSGA-II算法種群分布，說明F1和F2是兩個相互沖突的目標函數(shù)，且其中的曲線正是NSGA-II算法所尋找到的Pareto最優(yōu)前端。圖3顯示了各算法在PID控制的階躍響應效果，可從圖中看到NSGA-II算法相較于其他算法在響應時間上取得了較好的效果，且并未產生過大的超調量。

圖2　種群分布

圖3　階躍響應輸出曲線比較

此外，由于NSGA-II算法是個多目標優(yōu)化算法，該算法可對多個目標函數(shù)進行計算，并可通過添加額外的性能指標來取得更好的Pareto最優(yōu)解，即PID參數(shù)。之前通過IAE性能指標來構造二維目標函數(shù)空間，之后可通過分別添加誤差平方項的性能指標如ISTSE、ITSE、ISE來構造三維目標函數(shù)空間(添加的性能指標的目標函數(shù)作為F2，式(9)變?yōu)镕3)。如圖4～圖7是通過添加性能指標后的種群分布及相應的PID控制的階躍響應效果圖。

圖4　添加ISE后的種群分布

圖5　添加ITSE后的種群分布

圖6　添加ISTSE后的種群分布

圖7　階躍響應輸出曲線綜合比較

通過對比圖4～圖6后可發(fā)現(xiàn)，雖不同的F2對種群的分布產生了一定影響，但種群在F1和F2的面上并未產生較大的改變，說明添加誤差平方項的性能指標后的階躍響應輸出曲線，相較于雙目標函數(shù)的曲線，在添加后的三目標函數(shù)輸出的曲線在此有了更進一步的優(yōu)化，但不同的誤差平方項對結果沒有過大影響。同樣在圖7中綜合比較所有的三目標函數(shù)結果后，說明雖三目標相對于雙目標有了進一步的優(yōu)化，但誤差平方項與時間的乘積并未產生較大的影響。由此說明，影響Pareto最優(yōu)解的主要因素是誤差平方項即ISE。因此，為減少算法的運行時間，選用目標函數(shù)組合IAE和ISE以及控制輸入的平方項作為最優(yōu)組合。

3　結束語

文中提出了利用非支配排序多目標遺傳算法(NSGA-II)，基于誤差積分準則的性能指標和控制輸入的平方項對PID進行參數(shù)優(yōu)化。與其他算法相比，取消了除懲罰參數(shù)之外的所有需要人工進行干預的權重參數(shù)的選擇及輸入，消除了因權重不同可能引起的不同優(yōu)化結果，使所有的PID參數(shù)優(yōu)化結果無需進行額外的經驗，而只需選取相應的性能指標即IAE和ISE。通過仿真試驗對此方法進行驗證，優(yōu)化獲得的增益參數(shù)應用于PID控制器中達到了良好的控制性能，如超調小、調節(jié)時間短、上升時間快、穩(wěn)態(tài)誤差小等等，結果表明此方法的有效性和實用性。

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Research on PID Parameters Based on NSGA-II in a Combination of Different Indicators

WANG Zhihao1, 2

(1.School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China; 2.Shanghai Institute of Process Automation Instrumentation, Shanghai 200233, China)

The PID parameter optimization based on multi-objective evolutionary algorithm is proposed by analyzing performance metrics to compare different combinations. The method is based on the non-dominated sorting genetic algorithm II (NSGA-II) for generating different targets after the introduction of different indicators combination of properties function. Analysis and comparison the curves of step response output is made through Matlab simulation of the control system to find the optimal combination of the performance indicators IAE, ISE and squared term control input.

multi-objective evolutionary algorithm; PID; NSGA-II; Matlab

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.08.021

2015-11-22

王智浩(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：智能算法。

TP301.6

A

1007-7820(2016)08-070-04