張宇亭，趙　斌，王茂香

(南京理工大學(xué)　物理實(shí)驗(yàn)中心，南京　210094)

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弦振動實(shí)驗(yàn)中駐波波長的測量方法

張宇亭，趙斌，王茂香

(南京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，南京210094)

弦駐波實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)之一。相比于早期的音叉，該實(shí)驗(yàn)采用了鋼質(zhì)弦線，不僅能觀察到弦線上的駐波，而且還能聽到弦線振動的聲音，便于研究振動與聲音的關(guān)系，有助于理解弦樂器的工作原理。文中基于新型弦振動實(shí)驗(yàn)儀器，對弦線上的駐波進(jìn)行了研究，給出了駐波波長的兩種測量方法，即駐波公式計(jì)算求波長和直接觀察駐波求波長的方法，通過大量數(shù)據(jù)處理與分析，對兩種方法進(jìn)行了對比，為實(shí)驗(yàn)儀器的測評和改進(jìn)提供一定的參考。

弦振動；駐波；弦線張力

弦振動實(shí)驗(yàn)一直是高等學(xué)校普通物理實(shí)驗(yàn)中的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一，是幫助學(xué)生理解波的形成、傳播和干涉的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)[1-3]。以前采用半柔性或柔性的弦線來觀察弦線上的駐波，但在實(shí)驗(yàn)過程中基本聽不到弦線振動的聲音。現(xiàn)在都改用鋼質(zhì)弦線，雖然弦線的振動不太明顯，但通過示波器很容易得到弦線上每點(diǎn)的振幅，最重要的是弦線振動時(shí)可以聽到清楚的聲音。

1　實(shí)驗(yàn)儀器

在如圖1所示的DH4618型弦振動研究實(shí)驗(yàn)儀中，驅(qū)動線圈與函數(shù)信號發(fā)生器相連接，接收線圈與示波器連接。弦線的張力大小和砝碼質(zhì)量有關(guān)，也與砝碼所懸掛的位置有關(guān)。如當(dāng)砝碼懸掛在中央第三個(gè)溝槽時(shí)，張力大小為3倍砝碼的重力。通有交流電的金屬弦線在磁場中受到安培力的作用并發(fā)生振動，當(dāng)滿足一定的條件時(shí)可形成駐波。結(jié)合示波器可以進(jìn)行駐波波形的觀測與研究，而且通過相關(guān)測量可得到弦線的線密度以及橫波傳播的波長和波速，進(jìn)而了解駐波傳播的規(guī)律。

圖1　實(shí)驗(yàn)儀器的連接

2　實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)中，我們把振源定為驅(qū)動器對應(yīng)的弦線處，振動沿著弦線向兩邊傳播，當(dāng)?shù)竭_(dá)劈尖后通過反射又沿弦線相向傳播，穩(wěn)定后即可形成駐波，示意圖如圖2所示。

圖2　相反方向兩列波傳播形成駐波的示意圖

式中，A為簡諧波的振幅，x為質(zhì)點(diǎn)在弦線上的坐標(biāo)位置，λ為波長，f為頻率。駐波是由兩列波疊加后產(chǎn)生的，方程是：

可得波節(jié)位置：

(2)

而相鄰兩波節(jié)之間的距離為：

(3)

兩個(gè)相鄰波腹的間距為：

(4)

由式(3)和式(4)可知，測出相鄰的兩個(gè)波腹或者波節(jié)間的距離即可得到波長。

在本實(shí)驗(yàn)中，我們用劈尖的位置來確定弦的長度，在兩個(gè)劈尖處為波節(jié)。所以只有當(dāng)弦長L為半波長的整數(shù)倍時(shí)，才能形成駐波。其應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

由此得橫波波長為：

(5)

式中：n為弦線上波腹數(shù)，即半波數(shù)；L為弦長。

由波動理論可知，弦線上橫波的傳播速度為：

(6)

那么，式(6)可變型為：

T=ρv2

(7)

式中：ρ為弦線單位長度的質(zhì)量，也叫線密度；T為弦線中張力。

根據(jù)波長、波速和頻率之間具有普遍關(guān)系式v=fλ，將式(5)代入可算出橫波波速為：

(8)

由式(6)和式(8)可得：

(9)

再由式(9)可得頻率：

(10)

通過式(10)分析可以知道，要形成駐波，需頻率f滿足一定條件。所以，對于固定的T、ρ、L，我們要通過調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的頻率使弦線發(fā)生共振。

3　實(shí)驗(yàn)測量與數(shù)據(jù)處理

調(diào)節(jié)好實(shí)驗(yàn)裝置，放上一根弦線，固定兩個(gè)劈尖的位置即固定弦長，通過改變砝碼的質(zhì)量來改變弦線所受到的張力。分別觀察弦線上的駐波波形，并在信號發(fā)生器上讀出形成穩(wěn)定駐波時(shí)對應(yīng)的頻率f。根據(jù)式(10)即可求出橫波的波長。本文將給出波長測量的兩種方法，并給出相應(yīng)的評價(jià)，為后續(xù)研究提供參考。

1)公式計(jì)算求波長。

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，弦振動實(shí)驗(yàn)除了幫助學(xué)生理解駐波的形成規(guī)律外，還著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和處理能力。在課堂上，主要是觀測實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；課后要求學(xué)生對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，根據(jù)式(10)求出波長(弦線的線密度ρ=1.03 kg/m，南京的重力加速度g=9.794 m/s2)。為減小實(shí)驗(yàn)誤差，常規(guī)做法就是多次測量求平均來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

表1的測量數(shù)據(jù)量大，耗時(shí)長，在時(shí)間有限的課堂教學(xué)中難以完成。另一方面，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，一般要求讀3次頻率再取平均值，課后用作圖法或相關(guān)軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

表2　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理結(jié)果

當(dāng)固定弦線的長度L=0.6 m，波腹數(shù)為3，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理見表2。

圖3　依據(jù)表2中的數(shù)據(jù)作圖

2)直接觀測求波長。

為了分析弦線兩端的形變情況，我們比較了信號發(fā)射器的位置對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。將驅(qū)動線圈分別移到靠近和遠(yuǎn)離砝碼端進(jìn)行對比。當(dāng)弦線上形成駐波時(shí)，移動接收端，在示波器上會看到電壓幅度由小到大周期性地改變，幅度最小時(shí)弦線的位置就對應(yīng)著駐波的波節(jié)，分別記錄弦線上的波節(jié)位置，就可得到半波長。

當(dāng)弦長L=0.6 m，波腹數(shù)為6 ，且發(fā)射端靠近砝碼端時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表3。

表3　L=0.6 m，n=6且發(fā)射端靠近砝碼端時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

當(dāng)弦長L=0.6 m，波腹數(shù)為6 ，且發(fā)射端遠(yuǎn)離砝碼端時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表4。

表4　L=0.6 m，n=6且發(fā)射端遠(yuǎn)離砝碼端時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

由表3和表4可以看出，兩端的半波長的確偏大，與信號發(fā)射器的位置無關(guān)，說明弦線形變確實(shí)影響橫波波長的測量。而且兩端的半波長比較接近，說明弦線上的張力分布基本均勻，在兩端引起的形變也相近。

如果舍棄兩端形變所影響的半波長，則：

4　結(jié)束語

本文通過反復(fù)多次實(shí)驗(yàn)，對大量數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析發(fā)現(xiàn)，直接觀測所得的波長比間接通過公式計(jì)算所得的數(shù)據(jù)更精確，而且免除了大量復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理過程，同時(shí)還能更加直觀地反映弦線形變對橫波波長測量的影響。

[1]李相銀，徐永祥，王海林，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]苗錕，黃育紅，李康，等. 弦振動形成駐波的規(guī)律和數(shù)據(jù)的Matlab處理[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010，23(4)：75-79.

[3]賈金萍，張鵬. 弦線上的波動問題研究[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2007，36(2)：153-159.

[4]王茂香，李相銀. 利用Origin軟件處理霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[J]. 實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2011，9(5)：43.

[5]黃莘，王茂香.弦振動實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理與分析[J]. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26(6)：89-91.

Measuring Methods of Standing Wavelength in the Experiment of String Vibration

ZHANG Yuting，ZHAO Bin，WANG Maoxiang

(Center of Physical Experiment，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)

Standing wave experiment is one of experiments of college physics. Comparing to the tuning fork in the earlier time，metallic string is applied in the new experimental instruments.The standing waves can not only be observed on the string，but also the voice of string vibration can be heard. It will be convenient to study the relationship between vibration and voice，and this will help to understand the mechanics of string instruments. In this paper，we studied the standing waves on the metallic string and gave two methods on the measurement of standing wavelength using the new experimental instrument. One was based on the formula of standing wave and the other was directly observing standing waves to get the wavelength. Through a lot of data processing and analysis，we compared these two methods and gave definite reference for determining and improving the experimental instrument.

string vibration; standing waves; string tension

2014-09-09；修改日期: 2014-12-19

張宇亭(1990-)，本科生，應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)。

王茂香(1981-)，女，博士，副教授，主要從事生物物理方面的理論與模擬研究。

O4-34;O321

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2016.01.013