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發(fā)現(xiàn)“零”

對于零這個數(shù)字有兩種不同的解釋。首先，在2009或90210這類數(shù)字中，零是用來表示空置數(shù)位的符號，這是零的功能。如果沒有零這個數(shù)字，我們就無法區(qū)分這兩個數(shù)字與29和921。

當然，像古埃及或古羅馬一類不使用位值系統(tǒng)的文化中不存在這個問題，也就不需要對應空位的符號。人們可以很容易地區(qū)分羅馬數(shù)字MMIX（2009）和XXIX（29）。因此，零這個觀念沒有在這些社會中出現(xiàn)也就不足為奇了。然而，巴比倫人的確使用了一種位值數(shù)字系統(tǒng)，但在許多個世紀中，他們也沒有想到要用一個記號來表示空數(shù)位。表面上看，2009和29之間的含混之處似乎沒有造成他們的麻煩，或許這是因為人們通常可以從前后關(guān)系中明顯地看出究竟應該是哪一個數(shù)字。同樣的情況即使在今天也會發(fā)生。如果有人告訴你今年是哪一年，你會覺得自己將聽到一個類似2009的數(shù)字；如果他們說的是自己的年齡，29就更合理一些了。

只是在大約公元前400年，也就是獨立存在的巴比倫行將作古的時候（此時已經(jīng)是人們開始使用楔形數(shù)字系統(tǒng)之后大約1500年了），書吏們確實開始使用兩個垂直的楔形（∧∧）來表示一個空數(shù)位。這是歷史上第一次出現(xiàn)的表示零的符號，但很顯然，巴比倫人只是把它作為占據(jù)數(shù)位的符號，其本身并非數(shù)字。

零的第二個更為微妙的概念出現(xiàn)在印度，即把它作為實際存在的實體對待，例如等式1-1=0中所隱含的意義。這一概念于公元628年，在婆羅摩笈多所著的一本題為《經(jīng)過更正的梵天的論述》的書中第一次出現(xiàn)。

跟許多古代數(shù)學家一樣，有關(guān)婆羅摩笈多生平的資料也甚為稀少。他于公元598年生于印度中北部，曾是烏賈因數(shù)學流派的一員。他生活的時代距笈多王朝終結(jié)后不久；該王朝大約存在于公元320年至550年，其間文化欣欣向榮，經(jīng)常被人認為是印度文化的黃金時代。梵語文學的許多經(jīng)典著作就是在這一時期寫就的，那時的天文學家們也開發(fā)了對日月食和行星運行規(guī)律非常準確的預測方法。婆羅摩笈多清楚地理解了零的本質(zhì)。他這樣寫道：“兩個正數(shù)的和是正數(shù)，兩個負數(shù)的和是負數(shù)：一個正數(shù)和一個負數(shù)的和是它們的差；如果這個正數(shù)與這個負數(shù)（絕對值）相等則和為零?！币虼?，零是通過兩個數(shù)量相等（絕對值相等）的正數(shù)與負數(shù)相加得來，例如l+（-1）。這就是現(xiàn)代理念1－1的意義。婆羅摩笈多還進一步寫道，任何數(shù)加零都不改變它的符號，0+0＝0，任何數(shù)乘以零都得零。然而他不很清楚用零做除數(shù)會有什么結(jié)果。他曾多次重復：“一個負數(shù)或正數(shù)可以被零整除，則零為其因數(shù)?！倍宜€錯誤地認為“零除以零得零”。現(xiàn)代數(shù)學家會說，任何用零做除數(shù)的除法都無法定義。

值得注意的是，在婆羅摩笈多的著作中，零是與負數(shù)一起出現(xiàn)的。的確，想象負肘尺和負只綿羊更為困難，或許可以用這一點解釋人們對零的抗拒。在婆羅摩笈多之后的許多個世紀中，數(shù)學家們還繼續(xù)避免在他們的公式中使用負數(shù)。例如，求解二次方程與三次方程的過程就是因為數(shù)學家們避免使用負數(shù)而被弄得過分復雜了。他們理解到需要用幾種不同的方法求解，而我們今天已經(jīng)把這些方法歸結(jié)為單一的公式。

現(xiàn)代數(shù)學對于零的重要性的強調(diào)通常毫無過分之處。數(shù)學家們把它稱為單位元素，因為把它加到任何數(shù)字上都不會改變那個數(shù)。單位元素對數(shù)學的重要性就相當于同義詞對文學的重要性。沒有誰會質(zhì)疑我們?yōu)槭裁赐瑫r需要“幸?！迸c“高興”這兩個詞。它們能讓我們以不同的方式述說本質(zhì)上相同的事情，但可能卻揭示了略為不同的細微之處。

數(shù)學家在19世紀和20世紀發(fā)現(xiàn)了許多正數(shù)和實數(shù)之外的有用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了許多普通的加法和乘法之外的有用的運算方式。例如，計算機使用模運算，密碼學家使用橢圓曲線上的乘法運算，量子物理學家在希爾伯特空間內(nèi)運算矢量加法與乘法。所有這些運算都是“加”與“乘”這兩種基本概念的變種，但它們有時跟我們在學校里學習的加法與乘法大相徑庭。它們的共同點是，大家都有一個單位元素。因此，婆羅摩笈多對數(shù)學的貢獻，即他關(guān)于數(shù)字零的想法至今還有著鮮活的生命力，盡管他可能不容易意識到這一點。

（摘自《無言的宇宙》，北京聯(lián)合出版公司2015年5月版 達納·麥肯齊/著 李永學/譯）