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        對容器重心位置變化的一點討論

        2016-09-18 01:43:50
        物理通報 2016年8期
        關(guān)鍵詞:液面燒杯水面

        晏 鵬

        (沭陽縣沭陽高級中學(xué) 江蘇 宿遷 223600)

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        對容器重心位置變化的一點討論

        晏 鵬

        (沭陽縣沭陽高級中學(xué)江蘇 宿遷223600)

        高一物理在有關(guān)重心的內(nèi)容方面,很多資料上有類似于這樣一道習(xí)題:將水慢慢注入一薄壁圓柱形燒杯直至水滿.在此過程中,系統(tǒng)(包括燒杯和水)的重心位置

        A.慢慢下降 B.慢慢上升

        C.先下降后上升 D.先上升后下降

        對于這個習(xí)題的解析,資料上給出了這樣的答案:如圖1所示,在未注水時,燒杯和水的共同重心在容器的中心O點附近.隨著水的流入,系統(tǒng)的質(zhì)量分布發(fā)生了變化,系統(tǒng)的共同重心在O點下方某位置O′點處.當(dāng)容器注滿水后,系統(tǒng)的重心又回到了O點附近.因此,系統(tǒng)的重心是先下降后上升.此題正確答案為C.

        圖1

        這個答案給出了系統(tǒng)重心變化的3個狀態(tài)并由此得出正確的結(jié)果.但是對于系統(tǒng)重心的具體變化過程,答案沒有給出明確的分析.有學(xué)生對于這個問題產(chǎn)生了如下疑問:

        (1)系統(tǒng)初始狀態(tài)和末狀態(tài)的重心在中心點O附近,但在注水過程中重心位置會不會有更為復(fù)雜的變化,如:下降—上升—下降—上升?

        (2)在水未滿的過程中(如圖2),重心如何變化?重心變化和水位變化是什么關(guān)系?

        圖2

        要得到系統(tǒng)重心具體變化過程,需要通過計算來分析重心的位置變化.對于由多個質(zhì)點組成的系統(tǒng),其重心C點的位置坐標(biāo)(xC,yC,zC)由如下公式求得

        此題所涉及的系統(tǒng)比較簡單,系統(tǒng)重心與燒杯重心、水的重心都在一條豎直線上,如圖3所示.可以設(shè)坐標(biāo)都在x軸上.另外設(shè)系統(tǒng)重心為C點;燒杯質(zhì)量為m,重心A點坐標(biāo)為x1;水的質(zhì)量為m′,重心B點坐標(biāo)為-x2.由公式

        可得

        mx1=m′x2

        (1)

        圖3 圖4

        如圖4,在注水過程中,當(dāng)重心C恰位于水面時,水面高度為2x2.設(shè)水的密度為ρ,則水的質(zhì)量

        m′=ρS·2x2

        (2)

        代入式(1)可得

        mx1=ρS·2x2·x2

        (3)

        (4)

        將所得的結(jié)果與式(3)比較,很顯然若x1不變,式(4)是不成立的,所以假設(shè)不成立.要使式(4)成立,x1應(yīng)減小,C點應(yīng)上升.所以得到結(jié)論:當(dāng)系統(tǒng)重心處在液面處時,繼續(xù)注水,系統(tǒng)重心升高.

        下面分析另一種情況:當(dāng)系統(tǒng)重心位于液面處時,降低水位,判斷重心如何變化.

        (5)

        所得結(jié)果與式(4)相同.所以得到相同的結(jié)論:當(dāng)系統(tǒng)重心處在液面處時,降低水位,系統(tǒng)重心仍升高.

        綜上所述,可以得到結(jié)論:向空燒杯里注水時,系統(tǒng)重心降低,當(dāng)系統(tǒng)重心降至液面處時,系統(tǒng)重心最低;繼續(xù)注水,系統(tǒng)重心升高,當(dāng)燒杯注滿水時,系統(tǒng)重心升至原空燒杯重心處.所以,對于本文前面給出的例題,正確答案為C.

        對上述結(jié)論的拓展應(yīng)用:

        【例題】(第七屆全國奧賽決賽題)一薄壁圓柱形燒杯,半徑為r,質(zhì)量為m,重心位于中心線上,離杯底的距離為H,今將水慢慢注入杯中,問燒杯連同杯內(nèi)的水共同重心最低時水面離杯底的距離等于多少?(設(shè)水密度為ρ)

        解析:如圖5,由題意知當(dāng)重心下降到水面時,共同重心最低.

        圖5

        重心最低時y=yC,解方程求得

        根據(jù)題意舍去負值得

        要正確解決此題,必須應(yīng)用之前推導(dǎo)的結(jié)論,即:系統(tǒng)重心處于水面高度時為其最低位置.

        2016-03-03)

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