馬 劍

(南京第九中學(xué)　江蘇 南京　210018)

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萬有引力與航天高考新題鑒賞

馬 劍

(南京第九中學(xué)江蘇 南京210018)

對2015年高考中“萬有引力與航天”相關(guān)的創(chuàng)新試題進(jìn)行分析，同時對現(xiàn)有發(fā)行雜志中存在的錯誤進(jìn)行了修正.

萬有引力與航天高考新題型

近期拜讀了“2015高考萬有引力與航天類試題評析”[1]一文，頗有感觸.遂結(jié)合自己對教學(xué)內(nèi)容的一些理解，再次對文中提及的一些新題加以鑒賞，以期對高三復(fù)習(xí)起到幫助.

【例1】(2015年高考天津卷)P1和P2為相距遙遠(yuǎn)的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星S1和S2，兩衛(wèi)星均做勻速圓周運(yùn)動，圖1中縱坐標(biāo)表示行星對周圍空間各處物體的引力產(chǎn)生的加速度a，橫坐標(biāo)表示物體到行星中心距離r的平方，兩條曲線分別表示P1，P2周圍的a與r2的反比關(guān)系，它們左端點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，則

A．P1的平均密度比P2的大

B．P1的第一宇宙速度比P2的小

C.S1的向心加速度比S2的大

D．S1的公轉(zhuǎn)周期比S2的大

圖1　a-r2關(guān)系曲線

評析：本題在“中心天體-環(huán)繞天體”模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新，注重對學(xué)生分析圖像數(shù)據(jù)能力的考查.在a-r2關(guān)系曲線中，P1和P2曲線的左端點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，可知P1和P2兩顆行星的半徑相同.但由于考生對行星內(nèi)部及外部的加速度分布情況認(rèn)識不到位，得出此條件還是有一定難度的.

先通過變式1討論行星內(nèi)部及外部的加速度分布情況.

變式1：設(shè)地球是一質(zhì)量分布均勻的球體，O為地心.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零.在下列4個圖中，能正確描述x軸上各點(diǎn)重力加速度g的分布情況的是

重力加速度與距離球心的長度成正比.正確選項(xiàng)為A.

故例1，a-r2關(guān)系曲線中P1,P2曲線的左端未畫出的應(yīng)是星球內(nèi)部的關(guān)系圖像.如果學(xué)生有這部分的知識儲備，再認(rèn)真審題——圖中縱坐標(biāo)表示行星對周圍空間各處物體的引力產(chǎn)生的加速度a，便能對兩行星半徑大小進(jìn)行判斷.

解答：A,C正確.

對于選項(xiàng)C，S1，S2到P1，P2球心的距離相等，又因?yàn)橐Ξa(chǎn)生的加速度數(shù)值大小與向心加速度的大小相等.由a-r2關(guān)系曲線可以判斷S1的向心加速度比S2的大.C選項(xiàng)正確.

對于選項(xiàng)D，由

得

中心天體質(zhì)量大的衛(wèi)星周期小.D選項(xiàng)錯誤.

【例2】(2015年高考山東卷)如圖2，拉格朗日點(diǎn)L1位于地球和月球連線上，處在該點(diǎn)的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運(yùn)動.據(jù)此，科學(xué)家設(shè)想在拉格朗日點(diǎn)L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運(yùn)動.以a1，a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小.以下判斷正確的是

A．a(chǎn)2>a3>a1B．a(chǎn)2>a1>a3

圖2　例2圖示

【例3】(2015年高考安徽卷)由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)(見圖3)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(圖示為A，B，C3顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況).若A星體質(zhì)量為2m，B和C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形邊長為a.求：

(1)A星體所受合力大小FA；

(2)B星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑RC；

(4)三星體做圓周運(yùn)動的周期T.

圖3　例3圖示

分析：(1)、(2)兩問是求一個質(zhì)點(diǎn)受到多個質(zhì)點(diǎn)的萬有引力.解題方法是先用萬有引力定律求各個質(zhì)點(diǎn)的引力大小和方向，再求矢量和.

對A有

對B有

Fx=FC-B+FA-Bcos60°

Fy=FA-Bsin60°

圖4

(3)、(4)問是本題的新意所在，由于3顆星體圍繞同一圓心做圓周運(yùn)動.(1)、(2)兩問已經(jīng)可以判斷出A,B兩個星體的向心力方向，交點(diǎn)D即此題目的圓心O，也是BC邊中垂線的中點(diǎn).由幾何關(guān)系可得

對任一天體而言，萬有引力提供圓周運(yùn)動的向心力.對C有

困惑：(1)根據(jù)本題的示意圖(見圖3)，三星體的軌道半徑很明顯是不等的.但經(jīng)過分析，三星體的實(shí)際運(yùn)行軌道應(yīng)如圖5所示，B和C應(yīng)在同一圓軌道上.經(jīng)過查閱相關(guān)資料，大多試題中采用是圖3.文獻(xiàn)[1]中采用的也是圖3.若這是命題者故意而為之，作為高考題，筆者以為這樣的做法不能被稱作新意，配置錯誤的插圖會直接影響學(xué)生的作答，影響思維邏輯的展開.若這是試題在傳播的過程中出現(xiàn)了錯誤，那有必要立刻加以改正.(2)題目中“繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動”這個條件該如何理解？這個條件并沒有直接指出3個星體都是在做角速度相等的勻速圓周運(yùn)動，這給學(xué)生解題也帶來了無意義的思維障礙.

圖5

【例4】(2015年高考新課標(biāo)Ⅱ卷)由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過調(diào)整再進(jìn)入地球同步軌道.當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時，發(fā)動機(jī)點(diǎn)火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運(yùn)行.已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度為1.55×103m/s，此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖6所示，發(fā)動機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B. 東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

圖6

分析：本題目考查的實(shí)為“速度的合成與分解”相關(guān)知識，與萬有引力的基本規(guī)律無太直接的關(guān)聯(lián).這也正是此高考題的新意所在，考查學(xué)生分析問題處理問題的能力.

如圖7,根據(jù)余弦定理

東偏南方向.

圖7

點(diǎn)評：對考生而言，本題的難度可能更多在于對插圖的理解.插圖上兩個方向，應(yīng)理解為轉(zhuǎn)移軌道與同步軌道交點(diǎn)處衛(wèi)星的線速度方向.作為高考題插圖，不能直觀地反映題目想表達(dá)的意思，無謂的增加考生思維負(fù)擔(dān)，值得反思.

總結(jié)：高考題的創(chuàng)新是建立在課程標(biāo)準(zhǔn)及考綱標(biāo)準(zhǔn)之上的，所以在高三復(fù)習(xí)的早些時候，依然要重視學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握.到復(fù)習(xí)的后期，可適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充習(xí)題，拓展學(xué)生的知識面.對教師而言，要及時分析高考新題，做到與時俱進(jìn).

1章克文.2015年高考萬有引力與航天類試題評析.物理教學(xué)探討，2015(9)：45～47

2016-04-01)