林慧金　何京妮　李德安

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院　廣東 廣州　510006)

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用雙線擺測(cè)重力加速度

林慧金何京妮李德安

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院廣東 廣州510006)

在應(yīng)用單擺測(cè)量重力加速度時(shí)，造成誤差的主要因素有實(shí)驗(yàn)儀器引起的系統(tǒng)誤差和實(shí)際測(cè)量引起的隨機(jī)誤差.文中針對(duì)單擺做圓錐擺引起的系統(tǒng)誤差，采用了雙線擺代替單擺的方法來改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置，巧用萬能板來固定雙線擺，并使其與DISLab通用軟件相結(jié)合，能更精確地測(cè)量出重力加速度.

重力加速度系統(tǒng)誤差雙線擺實(shí)驗(yàn)裝置

1　引言

重力加速度是一個(gè)重要的物理常量，精確測(cè)量重力加速度在力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、天文學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用[1].用單擺測(cè)重力加速度是傳統(tǒng)的方法，此方法簡(jiǎn)單、容易操作，但該方法卻存在多種因素造成的誤差，針對(duì)這些因素，本文著重討論單擺做圓錐擺運(yùn)動(dòng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響，并由此對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行改進(jìn)，即利用雙線擺精確測(cè)量重力加速度.

2　實(shí)驗(yàn)裝置

2.1傳統(tǒng)單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置

在傳統(tǒng)的單擺測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)裝置是用一不可伸長(zhǎng)的輕線將小鐵球懸掛在支架上，支架下端放置有光電門，恰好讓小球自然懸掛于光電門的兩片感應(yīng)器中.由鋼卷尺測(cè)出鐵球邊緣到擺的支點(diǎn)O的距離L，用螺旋測(cè)微器測(cè)量鐵球直徑d.當(dāng)小球做小角度周期擺動(dòng)時(shí)，通過數(shù)據(jù)采集器采集數(shù)據(jù)，再通過DISLab通用軟件得到單擺的周期T和重力加速度g.

由檢索文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，單擺由于其速度方向和重力方向不共面，很容易變圓錐擺.對(duì)比單擺和圓錐擺的周期公式得到的重力加速度，發(fā)現(xiàn)圓錐擺帶來的系統(tǒng)誤差使得重力加速度的測(cè)量值偏大[2].

2.2實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)——雙線擺

基于傳統(tǒng)單擺測(cè)重力加速度引起圓錐擺的現(xiàn)象，筆者由此提出采用雙線擺來改進(jìn)實(shí)驗(yàn)儀器.

在一個(gè)擺球的小孔上系有兩根等長(zhǎng)的不可伸長(zhǎng)的輕線，輕線的兩端分別系在一根水平直桿的兩端上，若讓擺球繞鉛垂線轉(zhuǎn)過一角度，則擺球繞其平衡位置往復(fù)擺動(dòng)，那么該系統(tǒng)就構(gòu)成了雙線擺[3](如圖1).其主要優(yōu)勢(shì)有4方面.

圖1　雙線擺示意圖

(1)有效避免小球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)

利用雙線擺的兩根線將小球限制在圖1中的三角形平面內(nèi)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以有效避免實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的圓錐擺.具體原因有：其一，根據(jù)前人研究，雙線擺采用微角擺動(dòng)法來測(cè)量的相對(duì)誤差小于1%，而且結(jié)合長(zhǎng)擺線更能減少測(cè)量誤差[4].其二，雙線擺的小球受到3個(gè)力的作用而達(dá)到平衡，即在豎直和水平方向上，整個(gè)雙線擺系統(tǒng)都是很穩(wěn)定的，不容易受到周圍環(huán)境輕微振動(dòng)的影響，如人的呼吸、風(fēng)等.而單擺只有兩個(gè)力維持平衡，在水平方向上比較容易受到外界干擾而變成圓錐擺.

(2)巧妙運(yùn)用萬用板，打結(jié)固定雙線

在雙線擺測(cè)量重力加速度的時(shí)候，如何將此擺的兩根輕線固定好且不影響其簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最關(guān)鍵的問題.筆者一開始是直接利用原裝置的，但是由于鐵架臺(tái)難以使直桿保持水平，且輕線兩端距離容易因外界因素改變，實(shí)驗(yàn)不夠嚴(yán)謹(jǐn).筆者經(jīng)過多次嘗試，結(jié)合物理學(xué)科特色發(fā)現(xiàn)，空白的萬能板是比較適合作為固定雙線擺的材料，如圖2(a)、(b)所示.因?yàn)槿f能板上有分布均勻的小孔，且孔與孔的間隔是固定的，可方便調(diào)節(jié)并測(cè)量?jī)筛€的距離；且孔的大小與線的直徑差不多，通過打一小結(jié)在板上，就能避免小球在擺動(dòng)過程中輕線的移動(dòng).使用兩個(gè)鐵架臺(tái)將萬能板固定，通過調(diào)節(jié)即可保證萬能板水平，從而確保小球以預(yù)期的等效擺長(zhǎng)擺動(dòng).

(a)萬能板正面

(b)萬能板反面

(3)操作簡(jiǎn)易，適用于課堂教學(xué)

在課堂教學(xué)演示中，雙線擺裝置足夠簡(jiǎn)單，且實(shí)驗(yàn)效果好.通過與傳統(tǒng)單擺對(duì)比，可以幫助學(xué)生弄清小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的擺長(zhǎng)如何確定，并引導(dǎo)學(xué)生分析傳統(tǒng)單擺測(cè)重力加速度的不足，同時(shí)拓展學(xué)生測(cè)量思路，實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖3所示.

圖3　實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

(4)精確度高

使用數(shù)據(jù)采集器和DISLab通用軟件相結(jié)合，能有效地提高實(shí)驗(yàn)效率和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度.此外，根據(jù)測(cè)量結(jié)果，傳統(tǒng)單擺測(cè)量重力加速度的相對(duì)誤差為1.2%，而改進(jìn)的雙線擺測(cè)量重力加速度的相對(duì)誤差減小到0.064%，精確度大大提高.

3　實(shí)驗(yàn)原理與步驟

3.1實(shí)驗(yàn)原理

本實(shí)驗(yàn)采用單擺法測(cè)重力加速度.重力加速度公式

只需測(cè)量出小球的直徑d,雙線的長(zhǎng)度l和雙線兩個(gè)固定端的距離s，計(jì)算得出等效擺長(zhǎng)L，即可由DISLab通用軟件得到周期T和重力加速度g[5].

3.2實(shí)驗(yàn)步驟

(1)計(jì)算等效擺長(zhǎng)L.用螺旋測(cè)微器測(cè)量小鐵球的直徑d，用鋼卷尺測(cè)量出雙線的長(zhǎng)度l和雙線兩個(gè)固定端的距離s，利用勾股定理計(jì)算出兩個(gè)固定端連線的中心到小鐵球的距離L′，從而得到等效擺長(zhǎng)L.

(2)組裝實(shí)驗(yàn)裝置(如圖4).測(cè)出雙線的長(zhǎng)度后，在線上做好標(biāo)志，將線穿過萬能板的小孔并在標(biāo)志處打結(jié).調(diào)整兩個(gè)桌子和鐵架臺(tái)達(dá)到水平狀態(tài)，將萬能板水平固定在兩個(gè)鐵架臺(tái)之間，小鐵球懸掛在光電門的兩片感應(yīng)器中.

圖4　實(shí)驗(yàn)裝置圖

(3)測(cè)定重力加速度g.組裝完裝置后，讓雙線擺在擺角小于5°的條件下做往復(fù)運(yùn)動(dòng).利用數(shù)據(jù)采集器采集數(shù)據(jù)，通過DISLab通用軟件得到周期T和重力加速度g.

3.3數(shù)據(jù)處理

(1)小鐵球直徑d=19.460 mm，兩線的長(zhǎng)度均為l=100.10 cm，雙線的兩個(gè)固定端的距離s=9.00 cm，則雙線兩個(gè)固定端連線的中點(diǎn)到小鐵球的距離為

代入數(shù)據(jù)得

L′=1.000 0 m

那么，等效擺長(zhǎng)為

(2)結(jié)合數(shù)據(jù)采集器和DISLab通用軟件，操作一次得到10組周期T和重力加速度g的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將每次得到的10組T和g的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均值.重復(fù)3次實(shí)驗(yàn)步驟(3)，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1.

表1　雙線擺法測(cè)g實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

由此可知，用雙線擺測(cè)得的重力加速度平均值

g=9.788 5 m/s2

(3)在該裝置下，利用單擺法測(cè)量重力加速度，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2.

表2　單擺法測(cè)g實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

由此可知，用單擺測(cè)得的重力加速度平均值

g=9.895 0 m/s2

(4)本實(shí)驗(yàn)是在廣州完成的，廣州位于北緯23.1°，平均海拔高度為43.4 m.由重力加速度理論值計(jì)算公式

g0=(980.616-2.592 8cosφ+0.006 9cos2φ-

3.086×10-6H) cm/s2=

978.22 cm/s2=9.782 2 m/s2

其中，φ是緯度，H為海拔高度[6].

(5)雙線擺的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差為

單擺的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差為

由實(shí)驗(yàn)誤差可得，采用雙線擺的方法所得數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確.

4　結(jié)論

相對(duì)于傳統(tǒng)的單擺法，采用不平行的對(duì)稱雙線擺的方法來改進(jìn)實(shí)驗(yàn)儀器，可以通過簡(jiǎn)單的操作，有效地避免圓錐擺的出現(xiàn)，使得測(cè)量的重力加速更加精準(zhǔn).當(dāng)然，雙線擺的測(cè)量方法也存在一些不足，如擺線長(zhǎng)度的測(cè)量存在人為誤差、擺角的誤差等.本文只在雙線擺測(cè)量重力加速度的改進(jìn)方面做深入研究，但還未對(duì)雙線擺的兩線張開的角度做進(jìn)一步的研究，兩線張開的角度過大可能阻礙小球運(yùn)動(dòng)，也會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響.

1盛虹.單擺測(cè)重力加速度的研究.延安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014(02):28～30

2王金德.“單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)研究與誤差分析.銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2011(03):126～128

3吳秀芳,柳濤.雙線擺的周期及其測(cè)定.廣西物理,1998(02):40～43

4于治會(huì).一般雙線擺的振動(dòng)特性分析.強(qiáng)度與環(huán)境,1990(04):13～17

5張海軍.測(cè)量重力加速度的五種方法.中學(xué)物理教學(xué)參考,2012(04):24～25

6張冠芬.單擺智能化測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)的研究.菏澤學(xué)院學(xué)報(bào),2012(02):50～55

2016-04-10)