梁曉飛，姚亞，羅正鴻

（上海交通大學化學化工學院，上海 200240）

流化催化裂化提升管反應器的CFD-PBM耦合模型：矩方法適用性比較

梁曉飛，姚亞，羅正鴻

（上海交通大學化學化工學院，上海 200240）

建立了描述FCC提升管中氣-固流動行為的CFD-PBM耦合模型，模型同時考慮了顆粒動力學和顆粒聚并破碎內核。討論了求解耦合模型中眾體平衡方程（PBE）的3種典型矩方法［即：正交矩方法（quadrature method of moments，QMOM），直接正交矩方法（direct quadrature method of moments，DQMOM）和固定軸點正交矩方法（fixed pivot quadrature method of moments，FPQMOM）］對模擬結果的影響。研究結果表明3種矩方法均能合理預測提升管內徑向和軸向顆粒體積分數和顆粒速度分布。通過將模擬結果與實驗結果進行比較，表明QMOM在反應器結構簡單情況下，計算結果更接近于實際情況。

流化催化裂化；計算流體力學；顆粒粒群衡算；矩方法

引　言

多分散流化床反應器（fluidized bed reactor， FBR）在現代工業(yè)上被廣泛使用，如工業(yè)化的烯烴聚合反應體系和流化催化裂化（fluid catalytic cracking，FCC）體系大部分在流化床中進行。為了能夠高效操作和優(yōu)化多分散流化床反應器，需要對它內部的流體動力學行為準確了解。隨著計算機硬件的高速發(fā)展，計算流體力學（computational fluid dynamics，CFD）逐漸成為一種能夠高效預測FBR內多相流動行為的重要工具。由于在多分散FBR中涉及顆粒的增長、聚并和破碎等行為［1-3］，顆粒粒徑會在一定范圍內分布以及變化。因此，為了得到符合真實情況的模擬結果，在該類反應器的CFD模擬中必須使用粒徑分布（particle size distribution，PSD）來表示顆粒相，不能再如傳統(tǒng)CFD模擬那樣只使用單分散分布［4-8］，而眾體平衡方程（population balance equation，PBE）是一種能夠描述顆粒多分散性的重要工具。PBE是數密度函數的一種連續(xù)形式，可以用來追蹤粒徑分布在位置空間、時間空間和性質空間上的變化，方程形式非常復雜，包括單變量積分和多變量積分，大部分情況下都只能通過數值方法求解［9］，而矩方法（method of moments，MM）則是一種能夠高效求解 PBE的數值方法，近年來得到了越來越多的研究和應用，并被不斷改進和提高。

矩方法由Hulburt等［10］提出，它的基本思想是將PBE在內坐標上積分得到矩的輸運方程，將直接追蹤PSD轉化為僅僅追蹤少量幾個低階矩，所以與CFD耦合時只需要添加幾個UDS（4、6、8個），計算量相比其他數值方法（例如直接離散法、蒙特卡洛法）大大減少。比較常用的矩方法有正交矩方法［11-13］（quadrature method of moments，QMOM）、直接正交矩方法［2， 14］（direct quadrature method of moments，DQMOM）、固定軸點正交矩方法［15］fixed pivot quadrature method of moments，FPQMOM）、截面正交矩方法［16］（sectional quadrature method of moments，SQMOM）、條件正交矩方法［17］（conditional quadrature method of moments，CQMOM）、擴展正交矩方法［18］extended quadrature method of moments，EQMOM）等。QMOM引入了高斯正交近似，將數密度函數的積分形式轉化為以特征橫坐標（abscissas）和特征權重（weights）表示的加和形式，從而簡化了方程，而特征橫坐標和特征權重則可通過PD（product- difference）算法［19］求得。DQMOM并不追蹤矩隨時間的變化，而是直接追蹤特征橫坐標和特征權值隨時間的變化，所以就避免了在每一時間步長內都使用PD算法而帶來的“反向求解問題”，使得計算效率和穩(wěn)定性大大增加，同時能夠很容易地將其擴展到多變量的體系中。FPQMOM在模擬計算前就指定特征橫坐標的值，且特征橫坐標的值不隨模擬時間的變化而變化，這樣就能避免計算過程中出現為負值的特征橫坐標。然后用一種簡單、高效的算法來求解模型中的一個范德蒙德（Vandermonde）線性方程組以得到相應的特征權重。該方法理論上可以追蹤任意數量的矩。SQMOM基于一級顆粒（primary particle）和次級顆粒（secondary particle）的概念，能夠同時追蹤矩和顆粒的粒徑分布的變化。CQMOM采用了一種不同于 PD算法的矩反向求解算法，該算法能夠確保計算得到的特征權重為非負值。EQMOM則將顆粒的數密度函數表示成非負的特征權重函數的和，使得在正交節(jié)點數較大時也能保證很好的數值精確度。

在課題組以前的工作中，Yao等［20］已經模擬比較了QMOM、DQMOM和FPQMOM在烯烴聚合流化床反應器內的適用性，模擬結果顯示：（1）3種矩方法都能夠預測出合理的壓降隨時間的變化、時均顆粒體積分數的軸向和徑向分布以及穩(wěn)態(tài)時的氣相和顆粒相的溫度場分布；（2）固定軸點正交矩方法能夠預測出顆粒的聚并速率隨著粒徑的增大而變大這一符合實際的發(fā)展趨勢，而正交矩方法和直接正交矩方法則得出了相反的結果；（3）采用固定軸點正交矩方法時所消耗的 CPU時間要小于采用正交矩方法和直接正交矩方法時的CPU消耗時間，所以該方法的計算效率相對另外兩種矩方法更高。聚合體系中氣相產物在固相顆粒上生長，顆粒生長對顆粒粒徑影響較大［21］。而在FCC體系中原料油與高溫催化劑接觸、傳熱并立即汽化，油氣分子擴散至顆?？椎阑钚灾行姆磻?，隨后剩余反應物及產物再擴散到氣相主體。顆粒生長影響較小，顆粒粒徑主要受顆粒間碰撞和顆粒與壁面碰撞聚并破碎影響［3］。對于典型的多分散流化催化裂化流化床，已經有一些研究者對其進行過CFD-PBM耦合模擬研究。例如，Dutta等［3］采用DQMOM對工業(yè)尺度的FCC提升管反應器進行了CFD-PBM耦合模擬并將模擬結果與工廠數據進行了比較，結果表明使用粒徑分布來描述顆粒相所得到的模擬結果能夠改善只使用單顆粒分布得到的結果。Li等［22］對FCC提升管反應器內的湍動氣固流動和反應進行了 3D CFD-PBM耦合模擬，采用了QMOM來求解PBE，結果顯示進料入口區(qū)域處的流場和溫度場是整個反應器內最復雜的，同時還表明了PSD、顆粒聚并和破碎對提升管內的流場分布有著重要的影響。Li等［23］還使用QMOM對FCC提升管反應器進行了模擬，研究了進料噴嘴的位置和角度對反應器內動力學行為的影響，結果顯示進料噴嘴的角度和進料的速度對其有很大的影響，而進料噴嘴位置的影響則相對較小。但是，以前的工作還沒有將FPQMOM應用到FCC體系中，研究它在FCC體系中的適用性。此外，至今尚未有文獻通過比較不同矩方法求解結果來研究FCC體系的多分散性。

本文采用2D CFD-PBM耦合模型對FCC提升管中的湍動氣固流動進行模擬，比較了分別采用QMOM、DQMOM和FPQMOM 3種矩方法求解PBE得出的模擬結果，并將部分模擬結果同實驗數據進行了對比，以研究各矩方法在該體系下的適用性。

1　數學模型和數值模擬

本文所采用的 2D CFD-PBM耦合模型基于Benyahia等［5］所使用的模型，但是耦合了PBM，曳力模型采用EMMS模型［24］，3種矩方法QMOM、DQMOM和FPQMOM被選擇用來求解PBE。詳細的CFD模型方程見文獻［5］，下面詳細地描述了PBE 和3種矩方法的表達式，同時也給出了聚并、破碎內核的表達式。

1.1眾體平衡方程（PBE）

PBE的一般形式表示如下

矩的概念首先由Hulburt等［10］引入，定義如下

Sauter直徑（d32）被用來表示顆粒的平均粒徑

將式（2）代入式（1）中得到

1.2不同的矩方法

1.2.1正交矩方法（QMOM）QMOM引入如下的高斯正交近似［11-13］

其中w和L使用PD算法從2N階矩求得［19］。

ii

通過引入正交近似，數密度函數的積分形式轉變?yōu)榧雍托问剑剑?）變?yōu)槿缦碌男问?/p>

1.2.2直接正交矩方法（DQMOM）DQMOM是在矩變換前引入高斯近似，直接追蹤權重wi和權重橫坐標ζi（ζi= Liwi），所以在模擬過程中不再使用PD算法（第1個迭代步除外），可以避免PD算法帶來的問題。wi和ζi的輸運方程表示如下［2， 14］

其中源項ai和bi通過求解如下線性方程組得到

其中系數A=［A1A2］是一個2N×2N階矩陣，表示如下

在式（9）中

式（14）中的源項和QMOM中的一樣，表示如下

1.2.3固定軸點正交矩方法（FPQMOM）固定軸點正交矩方法對顆粒數密度函數采用如下的近似［15］

其中Vi被指定為N階拉蓋爾-高斯零點，在整個模擬過程中保持不變。必須要指出，式（16）中對數密度函數所用的近似方法雖然和QMOM中的看上去形式相似，但是卻有本質上的差別。

根據式（16）的近似方法，k階矩可以表示成

式（17）可以寫成如下的矩陣形式

式（18）是范德蒙德方程組。然而它的系數矩陣很明顯是病態(tài)的，如果直接求解會導致結果精確度很差。因此，選用了一種特殊的算法來求解它以獲得wi［25］。

FPQMOM中矩的輸運方程表示如下

1.3介觀尺度行為內核

1.3.1聚并內核本文所使用的聚并內核和前面工作中所使用的一樣［20］

量綱1系數KK是顆粒溫度的函數

其中kk1= 4.0×10-10，kk2= 3.85。

1.3.2破碎內核本文所用的破碎內核選擇Ghadiri模型，表達式如下

其中Kb是破碎常數，在本文中的值為6.703×1013。子碎片分布函數（PDF）為

1.4CFD-PBM耦合方法

為了描述顆粒數密度函數的變化，將PBM耦合進CFD模型中。圖1是本文所使用的CFD-PBM模型的耦合方法示意圖，在每一個時間步長內，在CFD模型中，通過求解質量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程獲得顆粒體積分數、顆粒速度和顆粒溫度，然后這些值被傳遞到 PBM中以計算顆粒的聚并內核和破碎內核，接著求解 PBE得到Sauter直徑并傳回到CFD模型中以修正相間力，進入下一個時間步長。這樣，一個完整的 CFD-PBM耦合過程就建立起來了，CFD和PBM能夠起到相互促進的作用。

圖1　CFD-PBM耦合模型示意圖Fig.1　CFD-PBM coupled model

2　建模對象和方法

2.1模擬的反應器

圖2表示的是本文所模擬的提升管反應器［5］，但是由于提升管的高徑比太大，為了顯示出全部的細節(jié)，圖2并不是等比例縮放。如圖所示，提升管高14.2 m，內徑0.2 m，底部以5.2 m·s-1的速度均勻進氣體，距離底部0.3 m處的兩邊壁面各有一個直徑為0.1 m的進口，以0.476 m·s-1的速度同時進氣體和固體，氣體和固體從距離頂部0.3 m處的左右對稱的兩個直徑0.1 m的出口離開反應器。

圖2　反應器結構Fig.2　Reactor configuration

2.2模擬條件和方法

本文所用2D CFD-PBM耦合模型的大部分參數見表1和表2。顆粒的初始PSD見圖3，初始平均粒徑為7.6075×10-5m。在QMOM和DQMOM中，正交節(jié)點數N取3既能得到較高的精確度又能使計算消耗量在可接受的范圍內［2， 11］。而在 FPQMOM 中 N的值取 6，6階高斯-拉蓋爾零點的值為｛0.22284659， 1.1889321， 2.9927363， 5.7751436，9.8374323， 15.982909｝，然而根據本文體系的性質，選?。?.000022284659， 0.00011889321，0.00029927363， 0.00057751436， 0.00098374323，0.0015982909｝作為6階特征體積的值。

表1　主要物性參數Table 1　M ain physical parameters

表2　主要模型參數Table 2　M ain model parameters

本文的2D CFD-PBM模擬是在商業(yè)CFD軟件FLUENT 6.3.26（Ansys Inc.，US）的雙精度模式下進行的。離散格式采用一階迎風以獲得更快的計算速度。相耦合SIMPLE算法被用來求解離散方程組［29］。EMMS曳力模型［24］、DQMOM、FPQMOM和各個源項都通過UDF（user defined functions）和UDS（user defined scalars）定義并耦合到FLUENT中。為了得到更加準確的結果，特別地對文獻［5］中的網格進行了加密，徑向上為18個均勻網格，軸向上為383個非均勻網格，總網格數為6894。此外，本文模擬都是在型號為Intel Pentium G630，CPU主頻2.70 GHz，內存4GB的平臺上進行。

圖3　初始粒徑分布Fig.3　Initial PSD profile

3　結果與討論

這一部分分別比較了使用3種矩方法時，Sauter直徑隨時間的變化、時均軸向顆粒密度分布、時均軸向顆粒質量流率分布、時均壓降隨床層高度變化、不同高度截面上時均顆粒體積分數和時均顆粒速度的分布、時均顆粒體積分數和時均顆粒速度隨床層高度變化。用來進行對比的實驗數據取自文獻［5］，所用的時均值都取15～30 s。

3.1平均粒徑隨時間的變化

圖4是使用3種不同矩方法時，反應器內顆粒的平均粒徑隨時間的變化。由圖可以看出，在FCC體系中，由于破碎作用，顆粒的粒徑逐漸下降，同時這個下降趨勢隨著時間的推移趨于平緩。使用QMOM 時，粒徑下降的幅度比較小，而在使用DQMOM和FPQMOM的條件下，粒徑變化的趨勢較相似，下降的幅度都要比使用 QMOM的大。3種矩方法在源項處理上的差別造成了不同的平均粒徑變化趨勢。QMOM運用了PD算法實現矩向特征屬性和權值的非線性轉換；DQMOM在矩變換前引入高斯近似，直接追蹤權重wi和權重橫坐標ζi，在模擬過程中不再使用PD算法（第1個迭代步除外）；FPQMOM中矩向特征屬性和權值的轉換方程是線性方程，運用了Vandermonde線性系統(tǒng)的專門求解算法。

圖4　采用3種矩方法時預測得到的顆粒Sauter直徑隨時間的變化Fig.4　Evolution of Sauter diameter versus time predicted by QMOM， DQMOM and FPQMOM

3.2時均徑向顆粒密度的分布

圖5是使用3種不同矩方法時，時均顆粒密度在3.9 m高度平面上的徑向分布以及和實驗數據的對比。由圖可知，顆粒的分布呈現流化床中典型的“core-annulus”分布［30］，在靠近壁面處密度較大，而在中心區(qū)域則密度較小。使用QMOM得到的模擬顆粒密度整體要高于DQMOM和FPQMOM所得到的值，同時，在靠近壁面處，QMOM計算得到的顆粒密度的值相比DQMOM和FPQMOM要更加接近實驗值；但是在中心區(qū)域，DQMOM和FPQMOM得到的顆粒密度則要比QMOM所得到的值更加接近實驗數據?？傮w來說，三者都能得到比較準確的結果。此外，本文所得到的顆粒密度分布相比Benyahia等［5］所得到的分布（見文獻［5］的圖2）有些不同，Benyahia等得到的分布在靠近壁面0.3 m處有一個下降的趨勢，而本文所得到的結果則沒有這一下降趨勢，這也和實驗測得的趨勢相一致，驗證了Benyahia等［5］的結論：使用多分散顆粒相比單分散顆粒在靠近壁面處會得到更高的顆粒濃度。這是由于本文耦合了PBM模型，顆粒粒徑逐漸下降，這更符合FCC體系的性質，所以能夠得到更加真實的結果。

圖5　時均固相密度分布模擬值與實驗值對比Fig.5　Time-averaged solid density distribution in riser at 3.9 m compared w ith experimental data

3.3時均徑向顆粒質量流率的分布

圖6是使用3種不同矩方法時，時均顆粒質量流率在3.9 m高度平面上的徑向分布以及和實驗數據的對比。從圖中可以看出顆粒的質量流率也呈現“core-annulus”分布［30］，在中心區(qū)域，雖然顆粒的密度較小，但由于顆粒的軸向速度很大，所以流率也很大，而在靠近壁面處由于顆粒的濃度很大，容易凝聚成團，所以速度為負值，顆粒處于下落狀態(tài)。此外，使用QMOM和FPQMOM計算得到的顆粒質量流率相比DQMOM得到的值更加接近實驗值，DQMOM預測得到的顆粒質量流率的徑向分布非常不對稱，不符合實際流化情況。

圖6　時均固相質量通量分布模擬值與實驗值對比Fig.6　Time-averaged solid mass flux distribution in riser at 3.9 m compared w ith experimental data

圖7　提升管時均軸向壓降模擬值與實驗值對比Fig.7　Time-averaged axial pressure drop in riser compared w ith experimental data

圖8　不同床層高度時均顆粒體積分數和時均顆粒徑向速度分布Fig.8　Time-averaged particle volume fraction and particle velocity radial distribution at different height profile

圖9　時均顆粒體積分數和時均顆粒速度沿軸向變化Fig.9　Time-averaged axial variation of particle volume fraction and particle velocity

3.4時均壓降隨高度的變化

圖7是3種矩方法預測得到的時均壓降的軸向分布曲線并與實驗測得的壓降值的對比。由圖可以看出在反應器底部的壓降較大，這是由于底部顆粒入口的作用，使得顆粒濃度較大，壓降也較大。而后隨著反應器高度的增加，顆粒濃度的下降，使得壓降也逐漸下降。3種矩方法預測得到的壓降曲線比較類似，床層高度較低時（0～5 m）計算值與實驗值偏差較大，高度較高時（5～11 m）QMOM計算得到的壓降要大于DQMOM和FPQMOM，更加接近實驗值，這是因為使用QMOM計算得到的顆粒體積分數在此高度范圍內的值較大［圖9（a）］?？偟貋碚f，QMOM能夠得到更加準確的軸向壓降分布。

3.5不同高度截面上顆粒體積分數和顆粒速度的徑向分布

圖8是使用3種矩方法時，模擬得到的時均顆粒體積分數和顆粒軸向速度在不同高度截面上的徑向分布。由圖8（a）可以看出，使用QMOM計算得到的時均顆粒體積分數整體較大，并且在高度較高時超過DQMOM和FPQMOM計算得到的值的幅度更大。由圖8（b）可知，QMOM預測得到的時均顆粒速度比DQMOM和FPQMOM預測得到的值更小，這是因為QMOM模擬得到的顆粒粒徑更大（圖 4），所以速度自然也就更小了?？偟貋碚f，3種矩方法都能預測出合理的顆粒體積分數和顆粒速度的徑向分布，都呈現“core-annulus”分布［30］，這也符合一般的流化規(guī)律。

3.6顆粒體積分數和顆粒速度隨反應器高度的變化

圖9是使用3種矩方法時，模擬得到的時均顆粒體積分數和時均顆粒軸向速度的面平均值沿軸向高度的變化。由圖9（a）可以看出，QMOM預測得到的顆粒體積分數比DQMOM和FPQMOM得到的值更大，且在高度較高時更顯著。這也能更直觀地表明圖8（a）的結論。由圖9（b）可知，使用QMOM得到的顆粒速度要小于使用另外兩種矩方法所得到的值，這也同樣更加直觀地表明了圖8（b）的結論?？偟貋碚f，3種矩方法都能得出合理的顆粒體積分數和顆粒速度沿反應器軸向高度的變化。

4　結　論

針對FCC提升管中的氣-固兩相流動，分別使用QMOM、DQMOM和FPQMOM作為求解PBE的矩方法，并比較了使用3種不同矩方法時的模擬結果的異同。結果表明：（1）QMOM計算得到的顆粒粒徑要大于DQMOM和FPQMOM所計算得到的值；（2）在3.9 m高的截面上，使用QMOM相比DQMOM和FPQMOM預測得到的時均顆粒體積分數在靠近壁面處更加接近實驗值，而在中心區(qū)域則要偏離實驗值，同時QMOM和FPQMOM預測得到的時均顆粒速度相比DQMOM要更加符合實際；（3）床層高度較低時（0～5 m），3種矩方法預測得到的時均壓降軸向分布與實驗值偏差較大，高度較高時（5～11 m）QMOM計算得到的壓降要大于DQMOM和FPQMOM，更加接近實驗值；（4）整個反應器內，QMOM相比DQMOM和FPQMOM能夠計算得到更大的時均顆粒體積分數和更小的時均顆粒速度。

整體而言，QMOM計算得到值更加接近實驗值。這是由于所用模型還較簡單，沒有涉及反應器內部更加復雜的過程，其中分散相速度對內坐標依賴關系并不十分強烈，并且PD算法對該單個內坐標體系求解誤差較小，所以作為一種最經典的矩方法，QMOM完全能夠勝任描述這一過程的任務。對于更加復雜的FCC體系中各矩方法的適用性，將在接下來的工作中進一步探討。

符號說明

Bag——聚并引起的顆粒生成速率，s-1

Bbr——破碎引起的顆粒生成速率，s-1

Dag——聚并引起的顆粒消亡速率，s-1

Dbr——破碎引起的顆粒消亡速率，s-1

ds——顆粒直徑，m

d32——Sauter直徑，m

G ——顆粒生長速率，m·s-1

k ——矩的數量

L， Li， Lj——顆粒直徑，m

L0——初始顆粒直徑，m

mk——k階矩數密度函數

N ——正交節(jié)點數

Ts——固相溫度，K

Vi——特征體積，m3

β ——相間動量傳遞系數，kg·m-3·s-1

ρg——氣相混合物密度，kg·m-3

ρs——固相密度，kg·m-3

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Com parison of suitability of MOM s in solving CFD-PBM coup ling model for FCC riser reactors

LIANG Xiaofei， YAO Ya， LUO Zhenghong
（School of Chemistry and Chemical Engineering， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China）

A CFD-PBM coupling model was developed to simulate turbulent gas-solid flow in FCC riser reactors w ith consideration of kinetics of granular flow as well as agglomeration and core breakage of particles. Three representative methods of numerical moments， namely， the quadrature method of moments （QMOM）， the direct quadrature method of moments （DQMOM）， and the fixed pivot quadrature method of moments （FPQMOM）， were used to solve PBEs in the model and the simulation results were evaluated to compare the effect of each numerical method. All three MOM s could predict reasonably both radial and axial distributions of time-averaged volume fraction and velocity of particles in FCC riser reactors. Compared to DQMOM and FPQMOM， QMOM yielded calculations most agreeable to the experimental data w ith regards to time-averaged solid density distribution， solid mass flux distribution， and axial pressure drop. The study suggested that QMOM could be applied to solve PBEs in CFD-PBM coupling model for such simple structured reactors.

FCC； CFD； PBM； method of moments

date: 2016-03-31.

Prof. LUO Zhenghong， luozh@sjtu.edu.cn

supported by the National Basic Research Program of China （2012CB21500402） and the National Natural Science Foundation of China （U1462101）.

TQ 02

A

0438—1157（2016）08—3224—10

10.11949/j.issn.0438-1157.20160409

2016-03-31收到初稿，2016-05-16收到修改稿。

聯系人：羅正鴻。第一作者：梁曉飛（1990—），男，碩士研究生。

國家重點基礎研究發(fā)展計劃項目（2012CB21500402）；國家自然科學基金項目（U1462101）。