秦朝宇，李　偉，寧　君 ，孫　建（大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧　大連 116026）

基于快速終端滑模自抗擾的船舶曲線航跡跟蹤控制

秦朝宇，李偉，寧君 ，孫建
（大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧大連 116026）

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)船舶的曲線航跡跟蹤問(wèn)題，首先采用自抗擾控制技術(shù)，通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償系統(tǒng)的內(nèi)部和外界擾動(dòng)，將非線性快速終端滑模引入誤差反饋控制環(huán)節(jié)，并采用冪指數(shù)趨近律，設(shè)計(jì)出快速終端滑模-自抗擾控制律，提高系統(tǒng)的收斂速度和誤差跟蹤精度，減小系統(tǒng)的抖振；然后對(duì)野本船舶模型簡(jiǎn)化變形，構(gòu)造降維方程，將航跡跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為航向鎮(zhèn)定問(wèn)題。Simulink 仿真結(jié)果表明，控制器能夠?qū)崿F(xiàn)船舶對(duì)期望曲線航跡的快速、精確跟蹤，具有良好控制效果。

欠驅(qū)動(dòng)船舶；冪指數(shù)趨近律；快速終端滑模；自抗擾控制；曲線航跡跟蹤

0　引　言

為了達(dá)到安全航行及節(jié)省能源的目的，需要設(shè)計(jì)出有效的控制器使船舶按照期望的航線航行。但由于船舶是典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，缺少橫向推動(dòng)裝置，因此僅僅依靠基于向量的控制方法難以有效解決欠驅(qū)動(dòng)船舶的航跡跟蹤控制問(wèn)題［1］。同時(shí)，考慮到船舶的非線性、大時(shí)滯、大慣性等特點(diǎn)，很難設(shè)計(jì)出完全基于精確數(shù)學(xué)模型的控制器，因此，有必要進(jìn)一步對(duì)船舶航跡跟蹤控制進(jìn)行探索和研究。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)控制進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)［2］將重定義輸出和 Backstepping 方法引入控制器，提出全局 k 指數(shù)穩(wěn)定及狀態(tài)反饋航跡直線跟蹤控制律，但忽略了橫漂對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)造成的影響，難以實(shí)現(xiàn)曲線跟蹤控制；文獻(xiàn)［3］和采用 2 個(gè)級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)構(gòu)造出船舶航跡誤差跟蹤系統(tǒng)，通過(guò) Backstepping 技術(shù)和 Lyapunov 方法對(duì)變換后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)出船舶航跡跟蹤控制律，但它是基于精確數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)的控制器，局限性大，調(diào)參難度較大；文獻(xiàn)［4 - 5］設(shè)計(jì)的船舶航跡跟蹤自適應(yīng)控制律對(duì)模型參數(shù)不確定及外界干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，但由于調(diào)參個(gè)數(shù)較多，計(jì)算復(fù)雜，難于工程實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)［6］采用反饋線性化方法建立模型等價(jià)式，將其解耦為 2 個(gè)線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出動(dòng)態(tài)反饋控制律，確保跟蹤誤差穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)了存在干擾下的船舶航跡跟蹤控制；文獻(xiàn)［7］將非線性滑模迭代和增量反饋結(jié)合，設(shè)計(jì)出可應(yīng)用與船舶直線和曲線控制的非線性反饋控制律，克服了對(duì)精確數(shù)學(xué)模型的依賴，但多次對(duì)函數(shù)求微分增大了計(jì)算量，給工程應(yīng)用帶來(lái)很大阻礙。

本文利用自抗擾控制器（ADRC）中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）模塊對(duì)船舶內(nèi)部不確定擾動(dòng)和外界干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，使得系統(tǒng)不需要依賴于精確的船舶數(shù)學(xué)模型；將快速終端滑模（FTSM）切換面引入非線性狀態(tài)反饋（NLSEF）中，結(jié)合冪指數(shù)趨近律，設(shè)計(jì)出快速終端滑模自抗擾（FTSM-ADRC）控制律，在保證自抗擾控制器優(yōu)點(diǎn)的前提下提高系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，改善系統(tǒng)抖振，減少可調(diào)參數(shù)，易于工程實(shí)現(xiàn)。

1　船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

考慮受到恒定風(fēng)、浪和流的外界干擾，以及舵機(jī)特性的欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型如下：

式中：x，y 分別為以大地坐標(biāo)系為參考的船舶縱向位置和橫向位置；u，v 分別為船舶對(duì)地前進(jìn)速度和橫向速度；φ，r 分別為船舶的船首向和轉(zhuǎn)首速率；f（r）為船舶內(nèi)部轉(zhuǎn)首速率造成的擾動(dòng)，取，a 為已知常數(shù)，T 為船舶的追隨性指數(shù)；ω（t）為風(fēng)、浪和流對(duì)船舶造成的外界干擾；δ 為控制輸入，即舵角；b 為控制增益，，K 為船舶的旋回性指數(shù)。

本文將船舶模型與舵機(jī)系統(tǒng)組成串聯(lián)系統(tǒng)，船舶考慮舵機(jī)特性，可用以下方程表示：

2　FTSM-ADRC 控制器設(shè)計(jì)

2.1自抗擾控制結(jié)構(gòu)和算法

韓京清于 20 世紀(jì) 80 年代末提出了自抗擾控制技術(shù)，至今已被應(yīng)用到電力系統(tǒng)、化工過(guò)程等其他領(lǐng)域，取得了顯著的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益。

自抗擾控制器包括，跟蹤微分器（TD）、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（E S O）和非線性誤差反饋控制律（NLSEF）3 部分，其核心部分是ESO，主要用于實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)內(nèi)部和外界干擾。本文主要對(duì) NLSEF 進(jìn)行改進(jìn)，引入快速終端滑模面（FTSM），在冪指數(shù)趨近律的作用下，設(shè)計(jì)出有效的控制律。

針對(duì) 2 階非線性系統(tǒng)，參考文獻(xiàn)［10］，可得到跟蹤微分器的離散形式：

其中：h，r 分別為系統(tǒng)的積分步長(zhǎng)和快速因子；σ 為輸入信號(hào)，σ1，σ2分別為 σ 的跟蹤信號(hào)和跟蹤微分信號(hào)，即；為最優(yōu)綜合函數(shù)。

針對(duì) 2 階非線性系統(tǒng)：

根據(jù)參考文獻(xiàn)［11-12］可以得到系統(tǒng)（3）的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（LESO）如下：

2.2FTSM-NLSEF 設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制出現(xiàn)于 20 世紀(jì) 60 年代，通過(guò)設(shè)計(jì)滑模切換面，使得系統(tǒng)的狀態(tài)變量沿著滑模面滑動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)受到參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾時(shí)，能夠保持不變。正是這種特性使得其受到眾多學(xué)者的重視。

針對(duì) 2 階不確定非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)終端滑（TSM）設(shè)計(jì)的切換面為，其中 x1，x2為系統(tǒng)狀態(tài)，β ＞ 0，p 和 q（p ＞ q）為正奇數(shù)，將控制律設(shè)計(jì)為：

為克服傳統(tǒng) TSM 帶來(lái)的奇異問(wèn)題及其收斂速度問(wèn)題，本文引入快速終端滑模面（FTSM），不僅克服了傳統(tǒng)滑模的奇異問(wèn)題，也提高了系統(tǒng)的收斂速度。

式中：α ＞ 0；β ＞ 0；1 ＜ v ＜ 2；x1；x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，且。

結(jié)合船舶欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1），將船舶實(shí)際船首向和期望船首向的差值 φe，即船首向誤差作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，變形轉(zhuǎn)化為全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

式中：f（r）為系統(tǒng)的內(nèi)部不確定擾動(dòng)；ω（t）為外界風(fēng)、浪和流的干擾；φd為期望船首向；φ 為船舶實(shí)際船首向。

因此，可設(shè)計(jì)關(guān)于船舶船首向角誤差 e 的 FTSM：

式中參數(shù)與式（6）相同。

對(duì)式（8）求導(dǎo)：

采用取冪指數(shù)趨近律，保證系統(tǒng)能以較大的速度趨近于滑動(dòng)模態(tài)，并可有效減小系統(tǒng)抖振：

則有：

整理得：

通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)時(shí)估計(jì)出船舶內(nèi)部不確定擾動(dòng)和外界干擾時(shí)，即，在 NLSEF 模塊補(bǔ)償，得到最終控制律：

對(duì)于 FTSM-NLSEF 控制律，引入快速終端滑模，可提高系統(tǒng)的收斂速度，減少原始自抗擾控制器的可調(diào)參數(shù)；采用冪指數(shù)趨近律減小了系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的抖振。本文考慮了舵機(jī)（SE）特性。圖 1 為考慮舵機(jī)特性后的快速終端滑模船舶曲線航跡跟蹤控制器結(jié)構(gòu)圖。

圖 1　FTSM-ADRC 控制器結(jié)構(gòu)圖Fig. 1　FTSM-ADRC controller structure chart

3　船舶曲線航跡跟蹤控制方法

對(duì)于航行中的船舶，在大地坐標(biāo)系下，假設(shè)其初始位置為 p（x，y），其中 x，y 分別為船舶的縱向和橫向位移，在受到風(fēng)、浪和流的影響時(shí)，船首向和計(jì)劃航跡向之間會(huì)形成一個(gè)風(fēng)流壓差角。為了使船舶沿著固定的曲線航跡行駛，構(gòu)造期望船首向角方程，在確保船舶縱向和橫向位置偏差和趨于 0 時(shí)，得到一個(gè)期望船首向 φd，通過(guò) FTSM-ADRC 控制器，使得船舶實(shí)際航向 φ 跟蹤 φd，從而實(shí)現(xiàn)跟蹤目的。

［14］，構(gòu)造期望船首向角方程如下：

證明：

討論：

證明完畢。

由上述證明可知，當(dāng)船舶偏航時(shí)，在期望船首向方程的作用下，將船舶航跡跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為航向鎮(zhèn)定問(wèn)題，縱向和橫向航跡偏差收斂于 0，船舶可以沿著期望的曲線航跡航行。

4　Simulink 仿真

以大連海事大學(xué)教學(xué)實(shí)習(xí)船“育龍”輪為對(duì)象，通過(guò) Simulink 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。船舶參數(shù)為：船長(zhǎng) 126 m，型寬 20.8 m，型深 11.4 m，平均吃水 8.8 m。船舶模型初始狀態(tài)和控制器參數(shù)如下：船舶模型參數(shù) K = 0.478，T = 216，a = 30，ω（t）=0.001，v=0.5，b=K/T；TD 模塊中參數(shù) r = 30，h = 0.05；ESO 模塊中參數(shù) η0= 5；控制律中參數(shù) β = 0.01，v = 5/3，α = 0.02，J = 0.01，δESO= 0.000 001，期望船首向角方程參數(shù) a0= 0.003，a1= 2.5，a2= 0.001。初始條件設(shè)置為：前進(jìn)速度 u = 7 m/s，v = 0，3 m/s，船舶初始位置在原點(diǎn)，計(jì)劃航跡為，即振幅200 m，當(dāng)船舶縱向前進(jìn) 5 000 m 時(shí)，完成 1 個(gè)周期。仿真結(jié)果如圖 2 ～ 圖 5 所示：

分析傳統(tǒng)線性滑模和采用了冪指數(shù)趨近律的快速終端滑模的船首向誤差如圖 6 所示，發(fā)現(xiàn)后者誤差更小，提高了控制精度。

圖 2　橫向位置Fig. 2　Horizontal positions

圖 3　舵角Fig. 3　Rudder angle

圖 4　船首向角Fig. 4　Heading angle

圖 5　船位Fig. 5　Position of vessel

圖 6　船首向角誤差Fig. 6　Heading angle error

5　結(jié)　語(yǔ)

為了簡(jiǎn)化船舶控制系統(tǒng)并改善其性能，在自抗擾控制器的非線性誤差狀態(tài)反饋模塊引入快速終端滑模，確保誤差較大時(shí)能快速趨于平衡狀態(tài)，提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，減少了可調(diào)參數(shù)；結(jié)合冪指數(shù)趨近律，減小了滑模的固有抖振，改善了系統(tǒng)性能。根據(jù)仿真圖像，當(dāng)船舶受到恒定外界干擾時(shí)，在 FTSMADRC 控制律的作用下，船舶能跟蹤期望曲線軌跡，控制器效果良好，具有較強(qiáng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)：

［1］郭晨，汪洋，孫富春，等. 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶運(yùn)動(dòng)控制研究綜述［J］. 控制與決策，2009，24（3）：321-329. GUO Chen，WANG Yang，SUN Fu-chun，et al. Survey for motion control of underactuated surface vessels［J］. Control and Decision，2009，24（3）：321-329.

［2］DO K D，JIANG Z P，PAN J，et al. A global output-feedback controller for stabilization and tracking of underactuated ODIN：a spherical underwater vehicle［J］. Automatica，2004，40（1）：117-124.

［3］曾薄文，朱齊丹，于瑞亭. 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的曲線航跡跟蹤控制［J］. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（10）：1317-1322. ZENG Bo-wen，ZHU Qi-dan，YU Rui-ting. Curve tracking control of an underactuated surface vessel［J］. Journal of Harbin Engineering University，2011，32（10）：1317-1322.

［4］孟威，郭晨，孫富春，等. 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的非線性滑模軌跡跟蹤控制［J］. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33（5）：585-589. MENG Wei，GUO Chen，SUN Fu-chun，et al. Nonlinear sliding mode tracking control of underatuated surface vessels［J］. Journal of Harbin Engineering University，2012，33（5）：585-589.

［5］朱齊丹，于瑞亭，劉志林. 欠驅(qū)動(dòng)船舶全局 K 指數(shù)航跡跟蹤的級(jí)聯(lián)反步法［J］. 船舶工程，2012，34（1）：47-51. ZHU Qi-dan，YU Rui-ting，LIU Zhi-lin. Cascaded backstepping approach for global K-exponential tracking control of an underactuated surface vessel［J］. Ship Engineering，2012，34（1）：47-51.

［6］韓冰，趙國(guó)良. 基于微分平滑的欠驅(qū)動(dòng)船舶航跡控制［J］. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25（6）：709-713，727. HAN Bing，ZHAO Guo-liang. Path tracking control of underactuated surface vessels based on the differential flatness［J］. Journal of Harbin Engineering University，2004，25（6）：709-713，727.

［7］卜仁祥. 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶非線性反饋控制研究［D］. 大連：大連海事大學(xué)，2008. BU Ren-xiang. Nonlinear feedback control of underactuated surface ships［D］. Dalian：Dalian Maritime University，2008.

［8］胡江強(qiáng). 基于遺傳優(yōu)化的船舶航向混合智能控制［D］. 大連：大連海事大學(xué)，2003. HU Jiang-qiang. Genetic-based hybrid intelligent control for ship steering［D］. Dalian：Dalian Maritime University，2003.

［9］霍學(xué)亮，任光，張均東，等. 基于 Simulink 的船舶舵機(jī)系統(tǒng)的建模與動(dòng)態(tài)仿真［J］. 大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33（S1）：74-76. HUO Xue-liang，REN Guang，ZHANG Jun-dong，et al. Modeling and dynamic simulation of steering gear system of ship based on simulink［J］. Journal of Dalian Maritime University，2007，33（S1）：74-76.

［10］韓京清. 自抗擾控制技術(shù)——估計(jì)補(bǔ)償不確定因素的控制技術(shù)［M］. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008：66-69. HAN Jing-qing. Active disturbance rejection control technique——the technique for estimating and compensating the uncertaintics［M］. Beijing：National Defense Industry Press，2008：66-69.

［11］GAO Z Q. Active disturbance rejection control：A paradigm shift in feedback control system design［C］//Proceedings of the 2006 American control conference. Minneapolis，MN：IEEE，2006：2399-2405.

［12］GAO Z Q. Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning［C］//Proceedings of the 2003 American control conference. Denver，CO，USA：IEEE，2003：4989-4996.

［13］張巍巍，王京. 基于指數(shù)趨近律的非奇異 Terminal 滑?？刂疲跩］. 控制與決策，2012，27（6）：909-913. ZHANG Wei-wei，WANG Jing. Nonsingular terminal sliding model control based on exponential reaching law［J］. Control and Decision，2012，27（6）：909-913.

［14］李榮輝，李鐵山，卜仁祥. 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶航跡跟蹤自抗擾控制［J］. 大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39（2）：5-8. LI Rong-hui，LI Tie-shan，BU Ren-xiang. Active-disturbancerejection control based underactuated surface vessel path following［J］. Journal of Dalian Maritime University，2013，39（2）：5-8.

Active disturbance rejection control for curve-path tracking of ship based fast terminal sliding mode

QIN Chao-yu，LI Wei，NING Jun，SUN Jian
（Navigation College，Dalian Maritime University，Dalian 116026，China）

This paper adopts extended states observer in active disturbance rejection controller to estimate and compensate the internal and external disturbances in real time ，which is specific to curve-path tracking problem of underactuated surface vessel. Nonsingular fast terminal sliding mode combined with power exponential reaching law are introduced to nonsingular state error feedback to design FTSM-ADRC control law，which improve the convergence speed and steady-state tracking accuracy of the system and reduce the chattering. Finally，designing a dimension reduction equation，the complicated path following is changed to the simple heading stabilization. Simulation results verify that the controller can follow an expected curve-path fast and accurately，and with good effect.

underactuated vessel；power exponential reaching law；fast terminal sliding mode；active disturbance rejection control；curve-path tracking

U664.82

A

1672 - 7619（2016）08 - 0057 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2016.08.012

2016 - 03 - 02；

2016 - 06 - 03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51179019）；遼寧省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目（LZ2015006）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（3132014022）

秦朝宇（1991 - ），男，碩士研究生，研究方向?yàn)榻煌ㄐ畔⒐こ碳按白詣?dòng)化控制。