王國敏（中交第二航務工程勘察設計院有限公司，湖北 武漢 430071）

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混凝土框架二階效應中美規(guī)范設計應用對比分析

王國敏
（中交第二航務工程勘察設計院有限公司，湖北 武漢 430071）

框架結(jié)構(gòu)因其結(jié)構(gòu)簡單、受力明確、施工便利，在工程建設中得到廣泛的應用。同時，由于框架結(jié)構(gòu)相對側(cè)移剛度較弱，其二階效應較為明顯。本文結(jié)合海外工程設計經(jīng)驗，通過對中美規(guī)范有關框架結(jié)構(gòu)二階效應內(nèi)容的對比研究分析，提供有關應用結(jié)論和建議，供設計人員參考。

二階效應；層間位移；撓曲變形；剛度

引　言

作用在結(jié)構(gòu)上的重力或構(gòu)件中的軸壓力，在產(chǎn)生了層間位移的結(jié)構(gòu)和撓曲變形的構(gòu)件中引起的附加內(nèi)力和附加變形，稱為結(jié)構(gòu)的二階效應。二階效應包括層間位移引起的彎矩增大的重力二階效應（稱為P-Δ效應）和受壓構(gòu)件撓曲變形引起彎矩增大的撓曲效應（稱為P-δ效應）。二階效應計算可采用有限元方法及簡化計算法。本文以中美規(guī)范有關框架結(jié)構(gòu)二階效應的相關內(nèi)容為主，結(jié)合海外工程設計經(jīng)驗，對比研究二階效應的簡化計算方法及相關規(guī)定，提供有關應用結(jié)論和建議。

1　中美規(guī)范簡化設計方法及相關規(guī)定

《混凝土結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》（GB50010）（以下簡稱“GB50010”）均按有側(cè)移框架考慮，分別給出P-Δ、P-δ效應計算方法；《Building Code Requirements for Structural Concrete（ACI318）and Commentary》（以下簡稱“ACI318”）則應判斷框架有無側(cè)移，再分別計算其二階效應。

1.1二階效應簡化設計方法

1）中國規(guī)范

GB50010給出的P-Δ效應的增大系數(shù)法計算公式如下：

其中：Δ=ηsΔ1；ηs=1/（1-∑Nj/DH0）。

式中符號含義見GB50010。

《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術規(guī)程》（JGJ3-2010）（以下簡稱“JGJ3-2010”）給出的P-Δ效應計算公式與公式（1）相同。

GB50010給出的框架結(jié)構(gòu)P-δ效應的增大系數(shù)法計算公式如下：

其中：Cm=0.7+0.3M1/M2；ηns=1+（lc/h）2×ζc/ ［1 300h0（M2/N+ea）］；ζc=0.5fcA/N，當Cmηm小于1.0時，取1.0。

式中符號含義見GB50010。

2）美國規(guī)范

美標ACI318給出的無側(cè)移框架二階效應（P-δ效應）簡化計算公式如下：

其中δ=Cm/（1-Pu/0.75Pc）≥1.0。

式中：

Mc為考慮二階效應的增大彎矩；

M2為受壓構(gòu)件乘了系數(shù)的端力矩較大值，如果橫向荷載作用在支點之間，M2取構(gòu)件上的最大值，M2恒為正且不小于M2，min，M2，min=Pu（0.6+0.3h），h為截面高；

Pc為臨界荷載，Pc=π2EI/（klu）2，其中 EI= （0.2Eclg+Eslse）/（1+βdns）或EI=0.4Eclg/（1+βdns），為了簡化計算，可以假定βdns=0.6，EI=0.25EcIg；

Pu為乘了系數(shù)的軸向荷載，Pu≤φPu，φ=0.75，Pu為橫截面標稱強度；

其他符號含義見ACI318。

美標 ACI318-1給出的有側(cè)移框架二階效應簡化計算公式如下：

式中：

M1為受壓構(gòu)件較小的乘系數(shù)的端彎矩，M1＜1.4（M1ns+M1s）；

M2為受壓構(gòu)件較大的乘系數(shù)的端彎矩，M2＜1.4（M2ns+M2s）；

M1ns、M2ns為不引起結(jié)構(gòu)側(cè)移的荷載作用下，用一階彈性分析計算出的乘了系數(shù)的柱端彎矩；

M1s、M2s為引起結(jié)構(gòu)側(cè)移的荷載作用下，用一階彈性分析計算出的乘了系數(shù)的柱端彎矩；

δs為有側(cè)移框架的彎矩增大系數(shù)，按下式計算：

如按式（6）計算得出的δs大于1.5，則應通過二階彈性分析按下式計算：

其中，∑Pu為樓層中所有乘了系數(shù)的豎向荷載之和，Pc見式（3）。

3）比較分析

中國規(guī)范不區(qū)分框架有無側(cè)移，分別計算P-Δ、P-δ效應。

美國規(guī)范要求按有側(cè)移與無側(cè)移分別計算P-Δ、P-δ效應。計算無側(cè)移框架的二階效應公式（3）中，按P-Δ效應的直線彎矩圖考慮，忽略P-δ效應；一般情況下，構(gòu)件撓曲變形的曲線彎矩圖所導致的側(cè)向位移比按P-Δ效應的直線彎矩圖大15%左右，如考慮該影響，則公式（6）中的“Q”可乘1.15；計算有側(cè)移框架二階效應彎矩增大系數(shù) δs時，如δs＞1.5，則應按公式（7）進行樓層穩(wěn)定性驗算，并要求受壓構(gòu)件、約束梁或其他結(jié)構(gòu)中包括二階效應在內(nèi)的總彎矩不得超過一階效應產(chǎn)生的彎矩的 1.4倍。

計算P-δ效應時，中國規(guī)范規(guī)定構(gòu)件的計算長度可近視取偏心受壓構(gòu)件相應主軸方向上下支撐點之間的距離，一般取層高；美國規(guī)范規(guī)定的受壓構(gòu)件的無支撐長度，可取樓板、橫梁或其它在對應方向提供側(cè)向支撐的構(gòu)件之間的凈距離。當框架梁截面高度較大時，兩者計算結(jié)果偏差較大。

剛度取值，在“極限狀態(tài)”下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件可能開裂而導致剛度退化，結(jié)構(gòu)計算中，結(jié)構(gòu)內(nèi)各類構(gòu)件的受力及變形狀態(tài)應與此相呼應。故考慮剛度退化的影響，能較合理的反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在該極限狀態(tài)下的內(nèi)力分布及變形規(guī)律，包含二階效應。

中國規(guī)范規(guī)定的位移限值均為彈性位移（見《建筑抗震設計規(guī)范》（GB50011）），且考慮二階效應后的位移限值不變。為使考慮二階效應后的位移值（含一階效應下的彈性位移）能與規(guī)范規(guī)定的彈性位移限值匹配，在考慮二階效應的結(jié)構(gòu)位移增大系數(shù)計算時，不考慮剛度折減，產(chǎn)生樓層側(cè)移的荷載取標準值。如計算的位移較大時，《建筑抗震設計規(guī)范》（GB50011）建議“宜適當考慮構(gòu)件開裂時的剛度退化，如取0.85EcIo”。

考慮二階效應的結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)力增大系數(shù)計算時，中國規(guī)范均要求考慮結(jié)構(gòu)剛度的折減。由于各類構(gòu)件沿長度方向各截面所受彎矩的大小不同，非彈性性能的發(fā)展特征也各有不同，導致構(gòu)件彎曲剛度降低規(guī)律較為復雜。為便于工程應用，通過考慮非線性性能的結(jié)構(gòu)分析，并參考試驗結(jié)果，按結(jié)構(gòu)非彈性側(cè)向位移相等的原則，給出按構(gòu)件類型的統(tǒng)一當量剛度的折減系數(shù)，見GB50010；為簡化計算并適當提高結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載力的安全儲備，JGJ3-2010提出剛度折減系數(shù)可近視取0.5。

ACI318規(guī)定：“彈性二階分析在考慮確定截面性質(zhì)時，應將軸向荷載的影響、構(gòu)件長度方向上的開裂區(qū)以及荷載特性持續(xù)影響列入考慮范圍”。用作強度設計分析中，所采用的剛度 EI要能體現(xiàn)構(gòu)件臨近破壞時的剛度，在預計接近極限荷載下的側(cè)向位移的二階分析中尤為重要。故ACI318在一階結(jié)構(gòu)位移計算、考慮二階效應的結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)力增大系數(shù)計算時，EI均采用折減后的剛度。

1.2整體穩(wěn)定判斷準則

1）中國規(guī)范

JGJ3-2010規(guī)定框架結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性應符合下式要求：

式中符號含義見JGJ3-2010。

《建筑抗震設計規(guī)范》（GB50011）（以下簡稱“GB50011”）規(guī)定：當結(jié)構(gòu)在地震作用下的重力附加彎矩大于初始彎矩的10%時，應計入重力二階效應的影響，如下式所示：

式中符號含義見GB50011。

經(jīng)對公式（9）轉(zhuǎn)換，可得以下公式：

即：

公式（11）是考慮重力二階效影響的下限，結(jié)合JGJ3-2010規(guī)定，當Di≥10∑Gi/hi時，可不考慮二階效應帶來的整體穩(wěn)定問題。鑒于高層建筑特點，JGJ3-2010在框架結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性上從嚴規(guī)定Di應大于或等于10∑Gi/hi。

2）美國規(guī)范

受壓構(gòu)件、約束梁或其他結(jié)構(gòu)中包括二階效應在內(nèi)的總彎矩不得超過一階效應產(chǎn)生的彎矩的 1.4倍。

計算有側(cè)移框架二階效應彎矩增大系數(shù)δs時，如δs＞1.5，則應按公式（7）進行樓層穩(wěn)定性驗算。

3）比較分析

在考慮彈性剛度折減50%的情況下，重力P-Δ效應控制在20%之內(nèi)時，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定具有適宜的安全儲備，JGJ3-2010以此（見公式8）作為整體穩(wěn)定性的最低要求。

ACI318通過二級彈性分析或按公式（7）進行樓層穩(wěn)定效應驗算，此時，δs是在∑Pu/∑Pc的基礎上作為整個樓層的平均值來計算，以此反映樓層中所有柱參與抵抗側(cè)移的柱之間的相互影響。

中美規(guī)范在重力P-Δ效應的計算公式中，均未考慮結(jié)構(gòu)存在的明顯扭轉(zhuǎn)位移的情況。故當結(jié)構(gòu)側(cè)向位移中存在明顯的扭轉(zhuǎn)位移時，以上計算方法可能低估離扭轉(zhuǎn)中心較遠的柱的重力P-Δ效應。在此情況下需要采用三維二階分析。

1.3忽略二階效應的準則

1）中國規(guī)范

忽略P-δ效應的準則：GB50010規(guī)定，彎矩作用平面內(nèi)截面對稱的偏心受壓構(gòu)件，當同一主軸方向的桿端彎矩比M1/M2不大于0.9，且軸壓比不大于0.9時，若構(gòu)件的長細比滿足以下要求時，可不考慮軸向壓力在該方向的P-δ效應：

式中：i為偏心方向的截面回轉(zhuǎn)半徑。

忽略P-Δ效應的準則：當高層建筑框架結(jié)構(gòu)滿足下列規(guī)定時，彈性計算分析時可不考慮重力二階效應的不利影響。

2）美國規(guī)范

忽略P-δ效應的準則：在滿足以下條件時的受壓構(gòu)件應允許忽略二階效應：

有側(cè)移框架：

無側(cè)移框架：

其中：M1/M2在柱以單曲彎曲時取正值，以雙曲彎曲彎曲時取負值；r為構(gòu)件截面的回轉(zhuǎn)半徑，對矩形截面，r可取穩(wěn)定方向截面尺寸的0.3倍，對園形截面，r可取園形截面直徑的0.25倍。

忽略P-Δ效應的準則：P-Δ效應只發(fā)生在有側(cè)移的結(jié)構(gòu)中，如結(jié)構(gòu)中某柱、某樓層滿足無側(cè)移框架的要求，則可忽略P-Δ效應。

如結(jié)構(gòu)中某柱的端彎矩因二階效應而增大的幅度未超過一階彎矩的5%，則該柱應允許假定為無側(cè)移。

如結(jié)構(gòu)中某樓層由下式計算得出的 Q值小于或等于0.05，則該樓層應允許假定為無側(cè)移：

式中：

∑Pu為所計算樓層中乘了系數(shù)的豎向荷載之和；

Vus為所計算樓層中乘了系數(shù)的樓層水平剪力之和；

Δ0為該樓層上下之間由 Vus產(chǎn)生的一階相對側(cè)向位移；

lc為受壓構(gòu)件長度，取框架結(jié)構(gòu)中節(jié)點中心之間的的長度。

為確定結(jié)構(gòu)使用性能，在撓度、振動和建筑周期的分析中，需要在各種使用荷載（不乘系數(shù)）下完成，結(jié)構(gòu)構(gòu)件在使用荷載分析中的慣性矩要體現(xiàn)所考查的不同使用荷載水平下的開裂程度，故美國規(guī)范規(guī)定在計算Δ0中所采用的EI均采用折減后的剛度。若由一階使用荷載，在考慮剛度折減情況下，計算得到框架層間位移，則ACI318規(guī)定可取用重力荷載之和的1.2倍、使用荷載（不乘系數(shù)）產(chǎn)生的樓層剪力以及 1.43倍的一階使用荷載計算得到框架層間位移，由上式計算Q值。

3）比較分析

GB50010只給出定性的判斷標準（當結(jié)構(gòu)的二階效應可能使作用效應顯著增大時，在結(jié)構(gòu)分析中應考慮二階效應的不利影響），未提供定量的判斷方法。GB50011、JGJ3-2010在判斷是否需考慮二階效應問題上，表達方式不同，但實質(zhì)規(guī)定一致。應用以上規(guī)范在判斷是否需考慮二階效應的不利影響時，樓層剪力應取標準值，彈性層間位移應取對應多遇地震作用標準值或水平力標準值產(chǎn)生的最大層間位移；結(jié)構(gòu)位移增大系數(shù)計算時，不考慮結(jié)構(gòu)剛度的折減；內(nèi)力增大系數(shù)計算時，考慮結(jié)構(gòu)剛度的折減，對梁，取0.4，對柱，取0.6，為簡化計算，折減系數(shù)可近視取0.5；根據(jù)JGJ3-2010規(guī)定第i重力荷載設計值Gi取1.2倍永久荷載標準值與1.4倍樓面可變荷載標準值的組合，考慮到不同的荷載組合對應的二階效應不同，工業(yè)建筑（如港口生產(chǎn)建筑）應采用對應荷載組合項中的柱底壓力設計值。

JGJ3-2010按結(jié)構(gòu)的彈性分析的二階效應對結(jié)構(gòu)位移的增量控制在5%左右，考慮實際剛度折減50%時，引起結(jié)構(gòu)側(cè)移的荷載產(chǎn)生的柱端彎矩增量控制在 10%以內(nèi)，作為忽略 P-Δ效應的準則；ACIA318-11按二階效應（考慮剛度折減）計算得出的側(cè)向荷載彎矩增量不超過5%作為忽略P-Δ效應的準則。兩者比較，美國規(guī)范嚴于中國規(guī)范。

2　計算對比

算例：圖1為兩層無圍護的混凝土框架結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)接塔，混凝土強度等級C35，fc=16.7 MPa，Ec=3.0×104MPa，設備活荷載考慮同時發(fā)生，不計地震作用，計算柱2的二階效應。

圖1　算例示意

2.1依據(jù)GB50010計算二階效應

1）2柱柱底內(nèi)力及內(nèi)力組合如表1、表2。

表1　柱底內(nèi)力

表2　柱底內(nèi)力組合

2）P-Δ效應計算

當計算彎矩增大系數(shù)時，對構(gòu)件的彈性抗彎剛度ECI乘以折減系數(shù)：對梁，取0.4，對柱，取0.6，經(jīng)計算Δ=21.5 mm，考慮二階效應后，2柱上、下端彎矩M計算結(jié)果見表3。

表3　P-Δ效應

當計算位移增大系數(shù)時，不對剛度進行折減，經(jīng)計算Δ=21.5 mm，考慮二階效應后，2柱上端位移計算結(jié)果見表4。

表4　P-Δ效應（位移）

未考慮二階效應前，樓層（二層）層間位移角：1/588，考慮二階效應后，樓層（二層）層間位移角：1/538。

3）P-δ效應計算

M1/M2=402.61/406.53=0.99＞0.9；

lc/i=7 000/（0.289×500）=48.44；

34-12（M1/M2）=34+12×0.99=45.88；

lc/i＞34-12（M1/M2）。

故，應考慮P-δ效應，計算結(jié)果見表5。

表5　P-δ效應計算結(jié)果

2.2依據(jù)ACI318-11計算二階效應

1）2柱柱底內(nèi)力及內(nèi)力組合如表6、表7。

表6　柱底內(nèi)力

表7　柱底內(nèi)力組合

2）框架側(cè)移判斷

計算樓層側(cè)移時，對構(gòu)件的彈性抗彎剛度ECI乘以折減系數(shù)：對梁，取 0.35，對柱，取 0.7，經(jīng)計算Δ=19.9 mm，Δ0=1.6Δ=31.36。Q計算結(jié)果見表8。

表8　Q計算結(jié)果

Q=0.16＞0.05，為有側(cè)移框架，按公式（4）、公式（5）計算二階效應?？紤]二階效應后，2柱上、下端彎矩M計算結(jié)果見9。

表9　二階效應計算結(jié)果

2.3二階效應計算結(jié)果比較

表10　中國規(guī)范

表11　美國規(guī)范

3　結(jié)　論

1）結(jié)合以上算例，P-Δ效應只會增大由引起結(jié)構(gòu)側(cè)移荷載（如：彎矩、偏心壓力或水平力）或作用所產(chǎn)生的構(gòu)件內(nèi)力，而不增大由不引起結(jié)構(gòu)側(cè)移的荷載（如：較為對稱的結(jié)構(gòu)上作用的對稱豎向荷載）所產(chǎn)生的構(gòu)件內(nèi)力。受壓構(gòu)件中由軸向壓力在產(chǎn)生撓曲變形的桿件內(nèi)引起的曲率和彎矩的增量，當柱反彎點位于柱高中部時，柱中任一截面在考慮P-δ效應后的彎矩不會超過最大柱端一階彎矩，P-δ效應不會對柱截面受壓承載能力產(chǎn)生不利影響，此時，柱截面設計中沒必要考慮P-δ效應；當反彎點不在柱高中范圍時（即單曲率彎曲），P-δ效應增大后的柱中部彎矩有可能超過柱端控制截面的彎矩，此時，柱截面設計中就應考慮P-δ效應。

2）中國規(guī)范不區(qū)分框架有無側(cè)移，分別計算P-Δ、P-δ效應；美國規(guī)范要求按有側(cè)移與無側(cè)移分別計算 P-Δ、P-δ效應，在有側(cè)移的框架中，美國規(guī)范忽略構(gòu)件撓曲變形引起的曲率和彎矩的增量。

3）中美規(guī)范在判斷是否要考慮 P-Δ效應的公式相同，但因中國規(guī)范采用的是未折減的剛度、而美國規(guī)范采用的是折減后的剛度，故美國規(guī)范規(guī)定嚴于中國規(guī)范。

4）當需要控制結(jié)構(gòu)樓層側(cè)向位移時，樓層側(cè)向位移量應考慮因二階效應增大的側(cè)移量。

5）中、美規(guī)范簡化計算重力二階效應的基本公式相同，構(gòu)件的彈性抗彎剛度ECI折減幅度相近；美國規(guī)范活載分項系數(shù)較中國規(guī)范大，乘系數(shù)后的重力荷載較中國規(guī)范大，考慮P-Δ效應后，按美國規(guī)范計算的P-Δ效應后的側(cè)移荷載產(chǎn)生的彎矩增量略大于中國規(guī)范，總彎矩增量亦大于中國規(guī)范。

6）中國規(guī)范（GB50010）未對彎矩增大系數(shù)進行限制，JGJ3-2010對框架結(jié)構(gòu)在整體穩(wěn)定性上要求符合公式（8），即考慮 P-Δ效應的彎矩增大系數(shù)ηs≤1.25；美國規(guī)范規(guī)定側(cè)移框架二階效應彎矩增大系數(shù) δs＞1.5時，應按公式（7）進行整體穩(wěn)定驗算，且受壓構(gòu)件、約束梁或其他結(jié)構(gòu)中包括二階效應在內(nèi)的總彎矩不得超過一階效應產(chǎn)生的彎矩的1.4倍。故在高層建筑穩(wěn)定性要求方面，中國規(guī)范較美國規(guī)范嚴。

7）如本文算例所示，當結(jié)構(gòu)形式、截面及材料一定時，結(jié)構(gòu)的重力二階效應增大系數(shù)只與重力荷載相關，當重力荷載增大時，結(jié)構(gòu)的重力二階效增大系數(shù)亦增大。

8）中美規(guī)范在重力 P-Δ效應的計算公式中，均未考慮結(jié)構(gòu)存在的明顯扭轉(zhuǎn)位移的情況。當結(jié)構(gòu)側(cè)向位移中存在明顯的扭轉(zhuǎn)位移時，以上計算方法可能低估離扭轉(zhuǎn)中心較遠的柱的重力P-Δ效應。在此情況下需采取措施減少結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)位移并采用三維二階分析。

9）在“極限狀態(tài)”下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件可能開裂而導致剛度退化。為此，結(jié)構(gòu)計算中，結(jié)構(gòu)內(nèi)各類構(gòu)件的受力及變形狀態(tài)應與此呼應。故建議中國規(guī)范在計算結(jié)構(gòu)位移，包括計算結(jié)構(gòu)二階位移時，統(tǒng)一采用折減后的構(gòu)件剛度。

10）對高層建筑、受水平荷載及豎向荷載較大的工業(yè)建筑（如港口工程轉(zhuǎn)運站建筑），應重視并合理考慮二階效應。

［1］GB50011-2010 建筑抗震設計規(guī)范［S］.

［2］JGJ3-2010 高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術規(guī)程［S］.

［3］GB50010-2010 混凝土結(jié)構(gòu)設計規(guī)范［S］.

［4］ACI318 Building Code Requirements for Structural Concrete（ACI318）and Commentary［S］.

Comparative Analysis of Design Application of Second-order Effect of Concrete Frame Stipulated in Chinese and American Standards

Wang Guomin
（CCCC Second Harbor Consultants Co.，Ltd.，Wuhan Hubei 430071，China）

The framing structure has been widely used in the construction due to its simple structure，obvious stress and construction convenience.In addition，the frame structure is characterized with weaker stiffness of relative lateral displacement and more obvious second-order effect.Based on overseas engineering design experiences，by comparing，analyzing and studying the second-order effect of framing structure stipulated in Chinese and American standards，relevant conclusions and suggestions are put forward as a reference for the design.

second-order effect； interlayer displacement； flexural deformation； stiffness

TU375.4

A

1004-9592（2016）04-0068-06

10.16403/j.cnki.ggjs20160417

2015-11-18

王國敏（1962-），女，高級工程師，主要從事結(jié)構(gòu)設計工作。