李雪嬌（浙江省臨海市杜橋中學(xué)）

三角恒等變換和解三角形，想說愛你不容易
——有感于高一習(xí)題課中一個(gè)習(xí)題的數(shù)學(xué)

李雪嬌
（浙江省臨海市杜橋中學(xué)）

三角恒等變換和解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因此三角恒等變換與解三角形是三角函數(shù)部分的重要內(nèi)容，也是這幾年浙江省數(shù)學(xué)高考必考的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。

三角恒等變換；解三角形；正弦定理；余弦定理；數(shù)學(xué)思想

在高考的大背景下，三角恒等變換及解三角形的教學(xué)是個(gè)重要內(nèi)容。考查時(shí)以中、低檔題為主，是高考得分的關(guān)鍵點(diǎn)，筆者對(duì)所在的學(xué)校高三學(xué)生解答三角題目的得分做了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)得分率并不高，容易出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，解答題得滿分的學(xué)生較少，我常把這種現(xiàn)象叫做“三角，想說愛你不容易！”針對(duì)高三出現(xiàn)的這種現(xiàn)象，筆者分析高一的學(xué)習(xí)是關(guān)鍵，要從高一開始做起，打好基礎(chǔ)。下面是筆者在高一必修5一節(jié)復(fù)習(xí)課時(shí)對(duì)例題的設(shè)計(jì)和講解，以此來復(fù)習(xí)和強(qiáng)化三角恒等變換及解三角形的知識(shí)。

例題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊為a，b，c且c cos B+ b cos C=2a cos B

分析：將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到比較明顯的邊的關(guān)系或角的關(guān)系.這類問題通常需要運(yùn)用正弦定理或余弦定理，并結(jié)合三角恒等變換公式將條件中的邊角關(guān)系統(tǒng)一到邊的關(guān)系或角的關(guān)系，即“角化邊”或“邊化角”.“角化邊”或“邊化角”是解決這類問題常見的思維出發(fā)點(diǎn).

（1）對(duì)于式子c cos B+b cos C=2a cos B，可以有以下幾種解法，

可對(duì)其利用正弦定理得到sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos B即

或者也可利用余弦定理得到

其實(shí)c cos B+bcos C是向量投影概念的應(yīng)用，即c cos B+bcos C=a，

所以由c cos B+bcos C=2a cos B馬上得到所以B=60°

（2）由（1）知B=60°，先用余弦定理b2=a2+c2-2a cos B求得ac，再可以用面積公式計(jì)算出結(jié)果。

我們的學(xué)生在（2）小題中存在的困惑是選擇公式時(shí)不夠準(zhǔn)確，糾結(jié)在余弦定理和面積公式三個(gè)式子里選擇哪個(gè)，筆者在教學(xué)中教給他們一個(gè)不是規(guī)定的約定，就是已知哪個(gè)角就用含有這個(gè)角正弦值的面積公式，用含有這個(gè)角余弦值的余弦公式。學(xué)生掌握得也較快。下面是對(duì)（2）小題進(jìn)行變式：

變6：若在開始的條件中，改變成在銳角△ABC中，那么從“變1～變5”中哪些結(jié)果會(huì)變。

分析：來看變2和變3，此題可以先寫出余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，再用基本不等式可得，又因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌叺玫?/p>

來看變4，此題可以先寫出余弦定理b2=a2+c2-2a cos B，再用基本不等式得到3=a2+c2-ac≥ac當(dāng)a=c時(shí)（ac）max=3，進(jìn)而能求出面積的最大值。

但是當(dāng)有了“銳角三角形”這個(gè)條件的限制時(shí)，用基本不等式還要會(huì)再加其他的條件來進(jìn)行求范圍，顯得有點(diǎn)麻煩，對(duì)于高一的學(xué)生有些難以接受。所以筆者就針對(duì)高一學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)上述的幾個(gè)變式采用了邊到角的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了兩條邊（即兩個(gè)未知量）到一個(gè)角（即一個(gè)未知量）的轉(zhuǎn)化。

若是任意三角形，則A的范圍容易確定0°＜A＜120°，則利用三角函數(shù)知識(shí)能求得（1）式和（2）式的范圍。

若三角形是銳角三角形，則確定A的范圍是關(guān)鍵，也是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)槭卿J角三角形，所以三角形的三個(gè)內(nèi)角都必須是銳角，可做這樣的限制。

再利用三角函數(shù)知識(shí)能求得（1）式和（2）式的范圍。

評(píng)注：

1.易錯(cuò)點(diǎn)撥。在解題過程中，由于三角恒等變換和解三角形中公式眾多需靈活運(yùn)用，且常需要對(duì)角的范圍及三角函數(shù)值的符號(hào)等進(jìn)行討論，甚至需要對(duì)題設(shè)中的隱含條件進(jìn)行挖掘，故解題時(shí)稍有不慎，就會(huì)出現(xiàn)漏解、增解等現(xiàn)象。合理運(yùn)用三角公式是解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角求值及解三角形這幾類問題的關(guān)鍵。高一的學(xué)生還要不斷地進(jìn)行訓(xùn)練。

2.利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行變換。數(shù)學(xué)思想與方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的概括，利用它來指導(dǎo)我們解題，會(huì)讓我們思維頓開。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，本題用到的思想方法主要有轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體化思想、特殊與一般化思想。

下面是我為上述這個(gè)例題準(zhǔn)備的反饋練習(xí)：

在選出的選項(xiàng)中求周長(zhǎng)的最大值________；

……

通過本題的教學(xué)，學(xué)生收獲比較大，本題目比較綜合，將三角恒等變換和解三角形綜合在一起，題中用到了恒等變換中的變角、降冪、輔助角公式、正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用正、余弦這兩個(gè)定理解決周長(zhǎng)和面積問題。通過變式講解，反饋題目做得較好，效果不錯(cuò)。

在高中數(shù)學(xué)解題中，變換是其主要工具之一，通過變換能夠?qū)?fù)雜公式簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)單明了，通過變換能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，利于學(xué)生理解?？傊獯鹑呛愕茸儞Q的題目的方法多樣，萬變不離其宗，要注意靈活運(yùn)用，最后借用名師教給我們的口訣，要努力做到“三看”，即

（1）看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算角轉(zhuǎn)化；

（2）看名，把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切；

（3）看式，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式。如果滿足直接使用，如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用。

·編輯謝尾合