蘇　麗，王旭丹

（大連科技學院　基礎部，遼寧　大連　116052）

含定積分的等式與不等式的證明

蘇麗，王旭丹

（大連科技學院基礎部，遼寧大連116052）

文章列舉了多種證明方法，包括利用定義，利用性質，利用積分中值定理，許瓦茲不等式，變上限積分，泰勒公式等來完成含有積分的等式和不等式的證明問題.

定積分；等式；不等式；證明

在教學過程中會遇到很多含有定積分的證明題，由于題型多樣，所以解決起來需要一定的技巧.但其根本點是將數(shù)值問題歸結為函數(shù)問題，利用微積分的理論研究函數(shù)的性質，再根據函數(shù)的性質和特點來完成證明過程.

1　預備知識

1.1定積分的定義

1.2積分中值定理

若f（x）在［a，b］連續(xù)，則至少存在一點ξ∈（a，b）使得

1.3積分估值不等式

1.4許瓦茲不等式

設f（x）與g（x）在［a，b］可積，

1.5牛頓萊布尼茲公式

1.6泰勒公式

2　含有定積分的等式證明

例1設f（x）在［a，b］正連續(xù)，且f（x）最大值為M，

分析結論要證明極限值為f（x）的最大值，想到了利用兩邊夾法則，

證明因為f（x）在［a，b］正連續(xù)，所以存在x0∈［a，b］，使得f （x0）=M.

且?ε＞0，?δ＞0，使得M-ε＜f（x）＜M+ε，當x∈（x0-δ，x0+δ）

由ε任意性，令ε=0有

對上式取極限

例2設f（x）在［a，b］非負連續(xù)且嚴格單調遞減，對于任意的n，存在ξn∈［a，b］使得

分析此題結論形似積分中值定理，可利用題中提到的單調性.

因此有

又f（x）嚴格單調遞減，有a≤ξn≤a+2ε，所以

3　含有定積分的不等式證明

3.1利用許瓦茲不等式證明

分析因要證結論中被積函數(shù)是乘積的形式，考慮用許瓦茲不等式.

證明由已知條件（f x）在［a，b］上可導，?x0∈［a，b］使得f（x）=M，又因為f'（x）在［a，b］連續(xù)，利用牛頓萊布尼茲公式有

已知f（a）=0及許瓦茲不等式有

3.2利用積分中值定理證明

例4設f（x）定義在［a，b］，且?x∈［a，b］，f'（x）≥m＞0，

分析要證明的不等式有m，而f'（x）≥m＞0，因此考慮將左面的積分與f'（x）聯(lián)系起來，此時還可以積分出來.

3.3利用定積分的定義證明

例5設f（x）在［0，1］連續(xù)，且f（x）＞0.

分析此題可以利用均值不等式

證明在［0，1］中插入n-1個等分點，

上式兩邊取極限有

3.4利用變上限積分證明

例6設f（x）在［0，1］連續(xù)，且單調遞增，

分析課本上利用變上限積分證明出了牛頓-萊布尼茲公式，受此啟發(fā)我們可以用變上限積分構造輔助函數(shù)來解決一些證明問題.

3.5利用泰勒公式證明

將上面的表達式在［a，b］上積分，

在求解過程中，要善于觀察表達式特點，靈活運用所學知識，力求簡化證明過程.

〔1〕華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京：高等教育出版社，2000.

〔2〕同濟大學應用數(shù)學.高等數(shù)學［M］上海：同濟大學出版社，2004.

〔3〕劉玉璉，數(shù)學分析講義［M］.北京：高等教育出版社，1988.

〔4〕徐利治，王興華.數(shù)學分析的方法及例題選講［M］.北京：高等教育出版社，1983.110-112.

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2016-05-11